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萍踪浪迹

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（讨论）泛论数学危机的转移、消除与数学中的无限

***************泛论数学危机的转移、消除与数学中的无限***************
*******************作者：萍踪浪迹（王善钦）*******************
星空兄认为数学危机只是被转移而没有被消除，因此和Godel不完备定理一样都应该和广义相对论中的时空奇点类比。鉴于这个讨论的重要性，我另开一帖，也同时为了让大家在这里尽情讨论“数学基础”（加引号是为了不使大家把这个数学分支与基础数学这个庞大体系相混同）。
我们知道，在Schwarzschild真空外部解中，r=2M处度规的第2个对角元因发散而无意义，而在r=0处度规的第1个和第2个对角元都无意义。r=2M的伪奇性可以消除，但是这上面的奇特效应仍然存在，例如，星体坍缩到这个半径之内时就会形成所谓黑洞，在这个半径之内，时间轴和空间轴对换，无穷远处的观测者会看到r=2M处的时间无限延缓乃至于时间停留。同样，关于无穷小的特性虽然经过Cauchy和Weierstrass的严格定义而消除了神秘感，但是作为非标准分析中的一个“数”，它仍然有其特点，那就是不满足Archimedes性质，Archimedes性质时说：数a小于数b，恒存在足够大的n，使得n?a大于b，无穷小不具备这个特征，这说明这个概念仍然是奇特的，当年的数学大师为这个数学水妖长期折磨也就不足为奇。集合论的进化是否真如星空兄所说的那样时转移了危机而非解决了危机呢？从正统观点看，当然不是这样。但是从非正统观点看，也未必尽然。（什么是非正统观点？如果下了定论，那就是铁板钉钉的正统观点了，而原来的正统观点就是错误观点了。）从非正统观点看，最多只能说可能对可能错。
如果我们坚持Cantor的原始的集合概念，那么我们逃不过Russell悖论，采用ZFC系统，虽然内在缺陷无法完全消除，但是至少可以解决Russell悖论，从这个角度看，它确实如同Kruskal延拓消去Schwarzschild半径处的伪奇性一样。但它带来的新困难则是另外的话题，就如广义相对论解释了水星近日点反常进动后，量子引力的困难是后话，能不能因为它自身量子化与重正化的困难就说它对于反常进动的解决是在转移困难而不是解决困难？显然是不能这样说的。所以公理集合论中的ZFC确实解决了第三次数学危机，哪怕它因此引起第四次数学危机，我们仍然要承认它解决了第三次危机。
还有一点我们要谈及，正如Picard所说：“如果Newton和Leibniz知道连续函数未必可微，微分学间无从建立。”有时候错误的知觉反倒可以使人大胆前进。我大学时就有一个看法就是：“非标准分析中关于无穷小的精确定义，在Newton和Leibniz的思想中很可能已经形成但是却没有精确的语言来描述它，尤其是Leibniz的无穷小的思想已经是很清晰了。所以Robinson在很大程度上只是用精确的数理逻辑方式解释了Leibniz的无穷小的思想。”我当时觉得这个想法对Robinson很不恭。到后来，我看到了Robinson自己的原话，他说他做的事情其实只是在复现Leibniz的无穷小思想，并认为Leibniz就是非标准分析的祖师。那时侯我对数学危机地看法就得到印证了（但愿不是冬瓜印。附注：古代中国禅宗僧人常常找一些著名的高僧印证自己是否“开悟”，如果找对人，就是钢印。如果找到一个半吊子，被胡乱忽悠一番却认为自己真的开悟了，这就是冬瓜刻成的印，冒牌、无力且模糊不清。所有学自然科学和数学的人都要注意，不要因为自己的观点和某位权威不谋而合感到自豪，说不定你找的就是一个冬瓜印，比如数学哲学界的Kline和科学哲学界的Kuhn之流）。
无穷小以及集合论中的危机，其实就是这样的二重体，它们看上去很荒唐，但是确实因为定义不当引起的，就像Schwarzschild半径处的坐标奇点是因为坐标的选择不当引起一样。而时空奇点却是和Godel不完备定理一样永远无法消除。
无穷远观测者看到Schwarzschild面上时间停止，而在那里自由下落的宇航员却仍然看到时钟滴答作响，接着就惨叫一声，不知道谁愿意千山万水地跑那里送死。那里是伪奇点，无论在方程中有多么古怪，在无穷远看来有多么奇特，它还是伪奇点，别指望在哪里捞到什么便宜，到了那边照样往下坠。数学危机也是伪危机，不论它们的解决是多么曲折坎坷，它们还是伪危机，如果指望以这个话题来干什么自曝家丑或者以哲学观点攻击数学的话，也只会徒劳无功。所以天体物理学合相对论专家都在实质上关系时空奇点（比如有鸵鸟之嫌的“宇宙监督原理”的提出），数学家也只要对类似于Godel不完备定理之类的结论留心（免得被当作数学傻子）。
由于第二次数学危机中的解决以及公理集合论都和无限有着紧密联系，所以接下来谈谈无限。数学中的无限有潜无限与实无限两种概念，它们看似对立却又有千丝万缕的联系。
尽管人们认为潜无限这个概念是由Aristotle提出，但是这个朴素的概念实际上是人类与生俱来观念。人们从直觉上认同潜无限，那就是无限之后再加东西，可以不断地加，无限没有尽头，用Aristotle的话说：“只有潜能上的无限，不会有现实的无限。”他拒绝无限进入数学，认为数学家“不需要无限，也不使用无限。数学大师Gauss就是这个信念的支持者。
在极限论中Weierstrass采用了ε-δ与ε-Ν的语言，本质上使通过有限认识无限，以有限的外推来把握无限的过程。这其实还是一种潜无限的思想，它把无穷小和无穷大作为变量以潜无限的形式硬塞入自己的理论中，但却在在实质上承认了无限的终结，过渡到实无限。这种应用潜无限观念行实无限运算的传统其实很久就形成，以级数求和为例，如果只是从潜无限来计算，那是永远也无法得到最后结果的，只能任意逼近结果，但是实际操作中就直接写出和，这本身就是就是终结无限过程，从而就是一种实无限。因此，如果我们不承认实无限而坚持知觉上认同的潜无限的化，那就连级数求和都做不下去，更何况深入的数学分析。
真正突破这个桎梏的实Cantor的集合论。他用单射和双射集合的势，也就是通常所说的个数的推广。在潜无限的标准下，整体是大于局部的，但是在实无限中，整体可以等于局部。实数轴区间上的点的个数可以等于整个实数轴上点的个数，我们只要做个正切函数就可以将一个区间上的点与R上的点一一对应。
超穷数的精巧定义，在当时的数学界引起轩然大波，Cantor的老师Kronecker因不同意Cantor的观点而对他进行野蛮的人身攻击和学术压迫，这是Cantor患精神病的一大原因。但是，我认为这不是最主要的原因，Cantor的幼子夭折使他精神受到致命打击。但是，人们都把帐算在Kronecker头上，这老家伙的名声就臭了。其实Kronecker在数学上的贡献是很大的，类域论中有著名的“Kronecker青春之梦”，高木贞治就是因为解决这个猜想而成名的。微分几何中的Gauss曲率有时候又称Gauss-Kronecker曲率，还有证明的Kronecker符号（两指标相等时取1，不等时取0），但他对自己学生不择手段的压制败坏了他的名声。连Weyl在Hilbert去世后写的纪念文章中都没有忘记挖苦Kronecker，把他说成是古希腊神话中的一个强盗，这个强盗把抓到的人放在自己的铁床上，个头超过床的长度的就锯脚，个子没有达到床的长度的，就把他强行拉到床那么长。
Cantor理论之所以有许多认反对，就是因为它实在不可思议。很多学过“数学基础”这门课甚至于只看过数学科普书的人都知道，根据他的理论，直线上的点的“个数”等于平面上点的“个数”。那么，空间的维数的意义何在？幸好后来Brouwer证明了维数是拓扑不变量，不同维数空间使无法同胚的。人们对空间维数的信心终于回来了。关键问题就在于Cantor在直线和平面间建立起的映射不是同胚映射（因为不连续）。但是，这个结果也够惊世骇俗，他被视为那个时代的异端。实际上Cantor证明了更一般的情形，那就是直线上的点与n维空间的点等势，1877年他得出这个结果后写信给Dedkind说：“我看见了，但是我不相信。”连他自己在直觉上都无法相信这个结果，何况别人。Poincare不相信实无限自然不接受Cantor的理论，著名数学家Schwarz原先是他至交，但是因为无法忍受他的理论，和他断交了。
Cantor却仍在坚持自己的理论，虽然他声称不相信自己得出得结果，但是他在直觉和逻辑之间选择了逻辑。在无限集得情形，选择公理是极其重要的。若集族中的每个集是可数集，则其并集是可数集。没有选择公理，这个性质就无法成立。
Cantor当年就把这个公理当做自明的公理使用，但是它的地位有如Euclid第五公设一般受人怀疑。从选择公理出发，Banach和Tarski证明了著名的分球怪论。
所不同的是，没有第五公设，可以创造出non-Euclidean几何，没有选择公理，集合论乃至整个数学就一片混乱，比如连续函数变成不连续，空间维数不唯一，可测集不可测。所以抛弃选择公理更加导致的结果更严重。公理集合论所研究出的很多结果都是“消极”的。比如Cohen就证明了在ZFC集合论系统内无法判定连续统假设的真伪，ZFC体系的局限性就可见一斑了。
公理集合论在解决了第三次数学危机，却在自身发现了麻烦，但是这种麻烦的起因和解决方式至少在现在还是不清晰的，唯一可以肯定的是，它的产生仍然和无限这个概念有关，即使我们仍然保留潜无限的地位，我们仍然可以说第二次数学危机和第三次数学危机的实质仍然无法和广义相对论中的时空奇点相提并论，而是与坐标奇点在更大意义上相似。我们毕竟已经解决了或者说基本解决了它们，而广义相对论中时空奇点时无法消除，就像数数学中的Godel不完备定理永远无法驱逐一样。

漫漫长夜不知晓日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵

发表时间：2005-10-01, 06:12:52