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Bertrand猜测的扩展--Sylvester-Schur定理
定理:n,k是正整数,n≥2k,则数列n,n-1,n-2,......,n-k+2,n-k+1这k个数中,必有一数存在大于k的质因数.
证明如下:k=1,2,3,5极易由反证法得到,k=4,6可由k=3,5推出
| 发表时间：2005-10-03, 04:59:42 |
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Re: Bertrand猜测的扩展--Sylvester-Schur定理
由站长"Bertrand猜测"一文推论1.2,可得组合数C(n,7)若可被(p^s)整除,则p^s≤n,因此若C(n,7)不含大于7的质因数,则C(n,7)=(2^a)(3^b)(5^c)(7^d)≤(n^4),左边是一7次多项式,在n=24时不等式已不成立,因此n≥24已得矛盾.对7≤n<24,直接计算得证.
但这里证明仅对k≤10的情形进行了证明.下面对k≥11的情形加以证明.
| 发表时间：2005-10-03, 05:14:12 |
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Re: Bertrand猜测的扩展--Sylvester-Schur定理
打断一下,Erdos与Selfridge在1975年证明Diophantus方程x(x+1)...(x+n-1)=y^k
k>1,n>1仅在y=0时有整数解,我最近才知道,但无法找到证明.
| 发表时间：2005-10-03, 21:49:57 |
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