萍踪浪迹
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微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
写了几篇长篇的体力有点吃不消，来篇短篇幅的帖子。
在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。
一个流形与平坦空间等距时其Riemann截面曲率恒为零。因为这个原因，所有维数的球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。
但是还有局部共形平坦这个概念，如果G=exp{ρ}•g，则称G与g之间的变换是共形变换。曲面间的变换为共形变换当且仅当它们的第一基本形式成比例。与共形变换有重大关系的是Weyl共形曲率张量，它是流形上的（1,3）型张量场，在共形变换下保持不变。当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以Penrose总是强调曲率=Ricci+Weyl。
一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的。所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：维数大于或者等于三的共形平坦的Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=λg，而这就是Einstein流形的定义。式中Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，λ为常数。Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。
对于三维连通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为Einstein流形，称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。
再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射不改变截面曲率。
反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定的。甚至在三维Euclidean空间的曲面上都无法成立这个性质。在局部情形，必须加上测地线的限制，应用Jacobi场的性质才能作到这一点。这就是著名得Cartan等距定理。这个定理是Jacobi场的精彩应用。它的大范围推广是Ambrose和Hicks作出的，所以称为Cartan-Ambrose-Hicks定理。
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| 发表时间：2005-10-03, 13:02:56 |
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轩轩
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
所有维数的球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。?
局部平坦===处处平坦？？？
我感觉很奇怪，一个拓扑是2球面的东西，比如一个气球，当然可以被压在玻璃上。与玻璃接触的那部分气球，显然是平坦的。
在没有度量之前，没有截面曲率吧？？？？为什么从截面曲率反推出度量来？
引力是非局部的，量子力学也是非局部的。《相对论通俗演义》
i will love you till the null infinity.
| 发表时间：2005-10-04, 00:15:41 |
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萍踪浪迹
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
我感觉很奇怪，一个拓扑是2球面的东西，比如一个气球，当然可以被压在玻璃上。与玻璃接触的那部分气球，显然是平坦的。
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你压气球时做的是拓扑形变
度规已经改变
所以不是等距变换而是共形变换
如果你把一个篮球也这样压的话肯定吃力
如果你压的是橙子的皮,肯定破裂
它们都不是等距变换
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| 发表时间：2005-10-04, 02:09:59 |
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萍踪浪迹
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
为讨论方便，在这篇帖子里，我没有区分映射和变换这两个不同地概念，前者是对任意两个流形而定义，后者则是同一个流形的映射。
度规确定联络，联络表示Riemann截面曲率，再缩并为Ricci曲率
反过来的问题就艰难地多
但是把球压在平面上就直接涉及了度规了
这种映射的度规是成比例的,而不是相等的
所以只能是共性映射而不是等距映射
这里并没有涉及到有截面曲率反求度规的微分方程问题
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| 发表时间：2005-10-04, 07:43:28 |
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leo2000
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
"Penrose总是强调曲率=Ricci+Weyl"
Could you tell me which math book has the discussion of this
equation?
数学是贵族的游戏.
| 发表时间：2005-10-05, 06:22:26 |
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萍踪浪迹
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
Could you tell me which math book has the discussion of this
equation?
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《皇帝新脑》
但是片面强调这个等式这容易引起误解
因为Weyl曲率张量的表达式中有截面曲率
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| 发表时间：2005-10-06, 04:49:25 |
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萍踪浪迹
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
更重要的是，Weyl曲率张量表达式中有Ricci曲率张量和数量曲率以及度规张量的复杂组合
所以过分强调Riemman=Ricci+Weyl这个等式是容易引发初学者误解的，虽然可以硬性分割。
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| 发表时间：2005-10-06, 05:00:11 |
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Re: 微分几何中的等距变换、共形变换与Einstein流形
摘录S T Yau的《几何三十载》的一个片段：
在黎曼幾何學中，研究甚麼空間有這種 Einstein 度量是一個最基本的問題，這個問題可以比喻為在空間上找一個最和階的度量。最簡單的 Einstein 度量是常曲率空間，局部來說，它與圓球、歐氏空間或雙曲空間其中一個等價。整體來說，它由離散群來決定，例如在二維的黎曼曲面上存在曲率等於負一的度量，它們是 Poincare 圓盤 D 通過 SL (2, R) 中離散子群 G 作用的商得出的，它可以寫成 D/G 。
可以證明在二維或三維空間中， Einstein 空間一定是常曲率空間。二維空間的拓樸的基本結構就全部由這些度量來決定。
在三維空間的時候， Thurston 猜測說任何三維空間都是由有限個擁有簡單的黎曼度量的空間聯結而成的，其中最基本的是常曲率空間，其次是一些由二維空間通過圓纖維構造出來的三維空間。
Thurston 猜測包含了 Poincare 猜測。 Poincare 在二十世紀初猜測任何一個單連通的三維空間都與三維球同胚。單連通的定義是說在此空間中任何一個閉曲線可以連續收縮成一點。
Thurston 和 Poincare 的猜測可說是三維空間結構的最基本問題。Thurston 本人研究傳統的三維拓樸方法和雙曲幾何，其中重要的是 Mostow 剛性定理和黎曼曲面上的曲線分佈的理論，得到漂亮的結構性定理。
但是 Thurston 的方法需要假定存在所謂不可壓縮的曲面，這樣才可能進行空間的切割，除非有新的想法，不大可能將整個猜測證明。
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| 发表时间：2005-10-11, 05:21:24 |
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