星空浩淼
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曾经关于连续统假设的一个想法
几何从度量几何，相似几何...到拓扑学，对于对称变换的要求越来越宽松。拓扑学研究那些只需要满足拓扑变换不变性的性质。我不知道，拓扑学是不是几何学中最后的“底限”呢？即还有没有比拓扑学对对称变换条件更“宽松”的几何呢？
我曾想过，可不可以进一步放松条件，发展一种几何，专门研究在基数（或者“势”）不变下保持不变的那些性质。假如存在这样一种几何，那么就可以用几何的方法来研究象“连续统假设”这样的问题了。
我曾经不知道，分形几何对“连续统假设”这样的问题是否有启发，因为一一能够对应的集合其基数（或者势）是一样大的，一个2维的几何连续体与一个2.5维的几何连续体，二者包含的几何点是一样多吗？——这决定于在分形几何中如何定义一一对应。一个2维的几何连续体与一个3维的几何连续体二者包含的几何点当然是一样多的。
我还不知道，是否每一种代数问题，都可以翻译成某个相应的几何问题。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-10-03, 21:36:27 |
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星空浩淼
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Re: 曾经关于连续统假设的一个想法
补充一下：
我们知道，空间维数是一个拓扑不变量。如果我上面所说的那种几何存在，则此时空间维数在这种几何下不再是一个相应的几何变换不变量了。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-10-03, 21:42:27 |
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卢昌海
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Re: 曾经关于连续统假设的一个想法
:: 我曾想过，可不可以进一步放松条件，发展一种几何，专门研究在
:: 基数（或者“势”）不变下保持不变的那些性质。
基数是一个范围极大的东西，几乎所有的几何研究对象都包含在了同一个基数下。在基数下不变的性质基本上就是对所有连续体（甚至可能包含某些非连续体 - 如 Cantor 集）的性质。所有整数维连续体的基数X都是一样的（它是否等于X_1则不是ZFC可以证明的）。所有可以嵌入某个整数维R^n的分形F都对应于一个从F到R^n的内映射（即F上的恒等映射），因此F的基数不大于R^n的基数X。另一方面，F是连续体，我们只要能构造一个从任一整数维连续体（哪怕是维数低于分形维数的连续体-比如一维线段）到该分形连续体某部分的一一对应，就可以证明F的基数不小于X，从而证明F的基数等于X。
以上只是一个大致思路，后半部分需要予以构造。
连续统假设往往给人一种ZFC对基数的描述非常薄弱的错觉，其实虽然存在如连续统假设那样无法证明的东西，但ZFC对基数的描述仍然是相当具体的。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-10-04, 06:33:29 |
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萍踪浪迹
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Re: 曾经关于连续统假设的一个想法
我感觉星空兄的想法实现起来不容易
我没有具体试过但是直觉上认为很难将这种思想具体化
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥|
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-10-04, 07:50:24 |
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星空浩淼
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Re: 曾经关于连续统假设的一个想法
谢谢昌海兄和萍踪兄的回答，你们说的都很有道理。这个话题，我只能停留于一个idea上。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-10-04, 22:51:29 |
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流浪者
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水的蒸发。。。
抛砖引玉几句吧：
相等基数的集合，我们不妨理解成水。其集合上的操作，不妨看成水的变化。
2维水--->3维水，一种非平凡的理解，就是地表面的水，蒸发成空间的水蒸汽。
2.5维水--->3维水，简单的图象，可以看成是树和叶表面的水，蒸发空间的水蒸汽。
一棵树的叶分布，或者根分布，基本上是分数维数。或许，这成了植物学。
虽然离开了拓扑，但是没有离开相变。依然可以建立物理学。
| 发表时间：2005-10-05, 02:54:49 |
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