星空与道德
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Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
给定一个射影，光滑，3维的Calabi-Yau, 记作X，A是他的同调群H_2(X,Z)中的一个同调类。
映射 f:C --> X，满足 [f(C)]=A, 而且
C是亏格为g的代数曲线，奇点最坏是结点（可以想成黎曼面）。
f 叫做稳定映射，如果他的自同构群是有限的。
模空间M_g(X,A)定义为所有这样的稳定映射的空间，要求他具有一定的范性。实际上它是一个奇点非常坏的Scheme，一般来说reduced,reducible,not connected.
幸好这个空间的期望维数是零，也就是说可以定义这个scheme期望的长度（length）。这个值的几何意义是这种稳定映射的期望个数。
也就是说，一般来讲这种稳定映射的个数是有限的，我们可以数出来有多少个，但这是个分数，不一定是整数，记为N_{g,A} 。
现在定义一个potential,Gromov-Witten patition function如下
Z(X;u,v)=\sum N_{g,A}u^{2g-2}v^{A}
这里的求和是对 g>=0, A \in H_2(X,Z).
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这个函数的具体形式是很多人都想知道的（包括Yau等）。对于某些具体的X，有人已经得到一些结果，都是模形式。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-26, 04:45:03 |
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yinhow
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
如果存在镜像CY， 这两个GW不变量有什么联系？
Wealth in sufficient measure grants its possessors the right to their ensuthisams.
| 发表时间：2005-10-26, 06:30:18 |
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星空与道德
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
在镜像对称中，X上的Gromov-Witten可以转化为镜像X'上的Hodge theory的问题，而后者往往简单很多，基本上是ODE，这样使得计算成为可能。
如果两边都是Gromov-Witten，两边都是同一类的东西，两边都不能算，镜像对称这个理论就没有那么大震撼了。
原来版本的镜像对称在数学上太难了，很多人后来以此为启发提出一些另外的对应理论，如
1. Gromov-Witten不变量与BPS states的counting.
2. Gromov-Witten and Donaldson-Thomas correspondence.
Vafa甚至大胆猜测有一个对偶的理论可以使得Donaldson Polynomial的计算简单，如同镜像对称使得Gromov-Witten的计算简单一样。不过他真的只是猜猜，什么具体idea也没有。如果有的话也在未成熟阶段不便公开。我更相信前者。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-26, 19:57:41 |
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星空与道德
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
下一次说说Donaldson-Thomas theory.
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-26, 19:59:16 |
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yinhow
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
谢谢星空兄的精彩解答，期待你的系列介绍文章。
Wealth in sufficient measure grants its possessors the right to their ensuthisams.
| 发表时间：2005-10-26, 21:14:07 |
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季候风
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
Vafa最近的文章都是关于"topological string"的，到底什么是"topological string" ?
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-10-26, 22:49:07 |
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星空与道德
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
Vafa最近的文章都是关于"topological string"的，到底什么是"topological string" ?
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这个我也不清楚，你可以向几位物理大师讨教。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-27, 04:56:12 |
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萍踪浪迹
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
如同镜像对称使得Gromov-Witten的计算简单一样。不过他真的只是猜猜，什么具体idea也没有。如果有的话也在未成熟阶段不便公开。我更相信前者。
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有点类似于Langlands纲领了
现在对于C-Y空间的很多研究都是处于猜测阶段
什么时候有光明很难说
看过一些这方面的文献
包括模簇之类的东西
感觉还是大有可为的
可惜我这方面拥有的文献不全面
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
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帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-10-27, 05:15:16 |
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星空与道德
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
我曾经认真想过如果要教授代数的Gromov-Witten理论应该如何下手，最后我得到的结论是要从简单情形入手，不能一开始就拿模空间出来吓唬人。而且我也找到了好的途径。但我没有机会和时间实践我的想法。
我认为可以从3维复射影空间中一般3次曲面上有27条直线这样一个经典结果入手，介绍现代代数几何的计数问题处理方法。理解这个以后，开始学习模空间基本概念，然后运用到计算Stable map在计数中的local contribution问题，这有点像平面上两条曲线在一个交点处的相交几重的问题，比如相切算作两重以上相交，为得到不变量不能只算一个交点。当然这里问题复杂得多。有机会的话我可以在这里介绍一些。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-27, 18:51:51 |
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萍踪浪迹
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
我认为可以从3维复射影空间中一般3次曲面上有27条直线这样一个经典结果入手，介绍现代代数几何的计数问题处理方法。
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Mumford说射影几何就是一堆垃圾装在垃圾袋里
但是他还特意说“CP3中三次曲面上有27条曲线”这个定理是垃圾袋中的宝石
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| 发表时间：2006-02-15, 12:51:59 |
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萍踪浪迹
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
Quantum product on the big phase space and the Virasoro conjecture
Authors: Quantum product on the big phase space and the Virasoro conjecture
Authors: Xiaobo Liu
Comments: LaTex file, 53 pages
Subj-class: Algebraic Geometry; Differential Geometry
We first study the quantum product on the big phase space defined by gravitational Gromov-Witten invariants. We then use this product to give an interpretation for various topological recursion relations and also use it to study the Virasoro conjecture proposed by Eguchi-Hori-Xiong and Katz. We will give a recursive formulation to the Virasoro conjecture and study properties of relevent vector fields, which will be useful in proving and applying the Virasoro conjecture for all genera. In the genus-2 case, we will prove that the genus-2 Virasoro conjecture can be reduced to the $L_{1}$ constraint for any manifold. In the case when the quantum cohomology of the underlying manifold is not too degenerate (in particular, is semisimple) we will prove an explicit formula expressing the generating function of genus-2 Gromov-Witten invariants in terms of genus-0 and genus-1 data. This result reduces the genus-2 Virasoro conjecture to a genus-1 problem for such manifolds.
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季兄，这个Xiaobo Liu 是不是你？
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| 发表时间：2006-02-15, 13:06:03 |
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季候风
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Re: Calabi-Yau上的Gromov-Witten不变量
当然不是了。这位老兄今年要在数学家大会上做45分钟报告。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-02-15, 21:42:58 |
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