星空与道德
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Donaldson-Thomas理论
这个理论的基础建立在Thomas博士论文的一个结果上，其实这不是很难的东西，被有些人冠以Donaldson的大名有点哗众取宠。Thomas选择了一个大数学家不想去做，而小人物没有能力做的问题，有点属于捡漏的味道。内行人都知道，他的结果完全建立在丘成桐的学生李骏的开创性工作基础上，稍稍推导一下就有的结果，属于李骏知道但没有工夫去写下来的内容范畴。（大数学家一直有很多这样的问题，不过他们太忙了，只能留给学生，但要是学生也不多，那就只能拱手让给别人了）
言归正传。
给定一个光滑射影的3-fold X, 考虑它上面的理想层（ideal sheaf)，每个理想层 I 对应X的一个子概型Z（subscheme），所以我们有下面的正合列（exact sequence）,
0 ---> I ---> O_X ---> O_Z ---> 0.
现在我们考虑理想层I的模空间，记作M_n(X,A)。这里A是同调群H_2(X,Z)中一个同调类，n是一个整数。
这个记号的意思是要求M_n(X,A)中的点对应的理想层I满足下面条件，
同调类[Z]=A, 欧拉示性数\chi(O_Z)=n。
不难知道模空间M_n(X,A)的期望维数（Expected dimension）是零。所以他存在一个virtual number, 定义为virtual cycle的degree,记作N'_{n,A}.（以后有机会详细介绍）
现在可以定义Donaldson-Thomas partition function
Z(X;q,v)=\sum N'_{n,A}q^nv^A
其中的求和是对n和非零的A。
另外考虑A=0,我们有
Z(X;q)_0=\sum N'_{n,0}q^n
将Z(X;q,v)除以Z(X;q)_0，结果记为
Z_{DT}(X;q,v)
这个叫做reduced partition function.按照q,v展开后，他的首项变成为1。（所以从partition function到reduced partition function这个过程其实是normalize首项系数）
猜测1：固定A, 则Z_{DT}(X;q,v)的展开中v^A的系数是q的有理函数，在变换q-->1/q后这个有理函数保持不变。
回顾上次讲到的Gromov-Witten partition function Z(X;u,v)
Z(X;u,v)=\sum N_{g,A}u^{2g-2}v^{A}
这里的求和是对 g>=0, A \in H_2(X,Z).
如果在求和中要求A不为零，我们得到的结果记作Z'(X;u,v),令
Z_{GW}(X;u,v)=expZ'(X;u,v)
则Z_{GW}(X;u,v)按照u,v展开后的首项也变成为1。
猜测2： Z_{DT}(X;q,v)=Z_{GW}(X;u,v)，其中q=-exp(iu).
这两个猜测是由四个人MNOP在2003年11月提出的。他们验证了X是local toric的情形。一般情形还差得很远。传闻说他们将稿子寄给Gromov-Witten的专家Y.Manin，但后者回复说这不是正确的方向，Manin当然认为只有Kontsevich的Homological mirror symmetry才是正确的方向。但即使再著名的数学家也有犯错的时候，上面猜测的简明优美特性无疑还是吸引了不少数学家朝这个方向努力。我也是这个队伍中的一个人，如果有兴趣，可以参与讨论。我可是专业的，不是民间数学家哦！
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-27, 18:32:23 |
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萍踪浪迹
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Re: Donaldson-Thomas理论
好文章
先来支持一下，以后再细细研究
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帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-10-28, 10:52:22 |
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星空与道德
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Re: Donaldson-Thomas理论
先来支持一下，以后再细细研究
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这可是一个陷阱，细细研究搞不好不是几年时间哦！
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-28, 18:24:13 |
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yinhow
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Re: Donaldson-Thomas理论
这里有量子场论处理方法的影子，如取期待值和有效作用量。
.纵英游，叠鼓清笳，骏马名姬。
| 发表时间：2005-10-28, 21:39:33 |
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星空与道德
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Re: Donaldson-Thomas理论
这里有量子场论处理方法的影子，如取期待值和有效作用量。
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这里的Expected dimension和量子场论的不一样。数学上量子化还没有走的很远，现在最流行的恐怕是Deformation quantization. 就是把量子化当作非交换的形变理论，这很有可能是正确的途径。因为交换的形变理论极为有用，而且成果辉煌。
这里的Expected value指的是将方程组做一个Perturbation到一般位置后的解的情况。也就是将相关的方程组变成不相关的。
痛苦的人没有悲观的权利！ ——尼采
| 发表时间：2005-10-31, 12:42:57 |
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yinhow
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Re: Donaldson-Thomas理论
我指的是如果把A看作外源的话，相当于量子场论中有源的配分函数比上无源（A=0)的配分函数。 把这项取对数，对外源A取变分，然后取极限A=0， 就得到各项GREEN函数。（可能不大正确）。
.纵英游，叠鼓清笳，骏马名姬。
| 发表时间：2005-10-31, 19:37:23 |
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星空与道德
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Re: Donaldson-Thomas理论
待我好好学习一下你说的东东再来和你讨教。
神哪，告诉我，Calabi-Yau 3-fold有多少种？
| 发表时间：2005-10-31, 20:53:24 |
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yinhow
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Re: Donaldson-Thomas理论
呵呵，你学我提到的东西容易，我学你的难。
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| 发表时间：2005-10-31, 21:26:44 |
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萍踪浪迹
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Re: Donaldson-Thomas理论
（大数学家一直有很多这样的问题，不过他们太忙了，只能留给学生，但要是学生也不多，那就只能拱手让给别人了）
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不过也要那个人有足够的能力
Thomas至少还抓得住机会
Yau说他学生中最出色的是李竣
我前几天刚看了李的一篇讨论模簇的论文
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| 发表时间：2005-11-02, 10:56:14 |
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