kanex
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问两个关于级数的初级问题
(1) 在某点的展式是否唯一地决定函数？（如果我们知道函数的一些性质，例如连续/可微/紧致等等）似乎不一定，例如e^(-x^2)和1在x=0点的Laurent级数展开一样。但是否有什么“更强”的级数展开/变换可以唯一区分呢？
(2) Abel Summation 和 Borel Summation 是否永远得到相同的答案？有无更强的发散级数求和变换。
谢谢。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-09, 00:31:41 |
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kanex
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Re: 问两个关于级数的初级问题
啊哈，e^(-x^2)不是compact的
也许答案是可行...
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-09, 00:38:40 |
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星空与道德
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Re: 问两个关于级数的初级问题
一个收敛半径大于零的级数解析延拓以后可以得到一个函数（可能是多值的，也就是在黎曼面上定义的）， 所以如果是函数是解析的，则它可以由一点处的展开决定。
一般可微函数显然没有这种性质。一个交换代数的定理说明了解析函数的性质很像代数。Euler的无穷小分析从级数展开开始，所以他做的都是代数（或叫算术）。他也认为微积分实质就是算术。那时的微积分基本上只处理解析的情形。
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2005-11-09, 05:24:05 |
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那一剑的寂寞
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Re: 问两个关于级数的初级问题
在复变里，解析函数和其级数是相互唯一决定的。其他的情况要具体问题具体分析。
还有一个变发散级数为收敛级数的求和的方法，那就是Fejer（费舍尔，不知道写错了没有）求和，在Fourier级数中有一个很优美的定理：任何连续的函数在Fejer求和的意义下其Fourier级数都收敛于这个函数本身，由它可以非常简单而且是构造性的证明Weierstrass多项式逼近定理。
Fejer求和有时又称为薛戈求和法，就是那个和波力亚合写《分析中的问题和定理》的薛戈。
| 发表时间：2005-11-09, 23:07:48 |
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