那一剑的寂寞
发表文章数: 148
武功等级: 罗汉拳
(第六重)
内力值: 171/171
数学中一些分解定理
除了PID上的有限生成扭模的分解外，在数学中还有一些可分解的结构，分门别类的讲：1，矩阵论里面的。任一非零的多项式矩阵都等价于一个Smith标准形，这可以算做一个分解定理，属存在性的；与此类似有，每个n阶复矩阵A都与一个Jordan形矩阵相似，由于是相似，所以这也算是一个分解定理，在下面的抽象领域的论述里，我将要讲一个与之类似的定理，在结构上来说，并无本质上的的不同。在酉空间C^n，for each A in the C^(n*n)，都存在酉矩阵U，使得U^HAU=TT为一上三角矩阵，T的主对角线上的元素都是A的特征值，这是一个非常重要的定理，是许多重要定理的证明的出发点，它可以简述为任一复矩阵都酉相似于一个上三角矩阵，它是属于Schur的，是不是立即想到了群表示论，能看出此定理的表示论意义的人，就一个字：牛。我非常喜欢矩阵，可能与我看华先生的多复变有关，华先生从如此简单的矩阵论导出如此美妙和高深的多复变结论，这让我感到很震惊，可能华先生与Grothendieck是两种完全不同的类型，华先生喜欢和善于从简单的东西导出非常深刻的内容，而Grothendieck则乐于和精长从一套庞大和极端抽象的机制出发，同样的解决非常具体而又困难的问题，对我来说，这是两道任督二脉，目前我一处都还没有打通。打通了任一脉都将成为绝顶高手，要打通两处，就如同练就少林七十二绝技，好象在人的历史上，这两者都还没有实现过（我一直好奇《天龙八部》里面的那个扫地僧是不是达到了七十二绝技的境界，武学和数学真的是气韵相通啊），言归正传，矩阵论中还有一个QR分解，这再数值代数中起着重要作用，QR分解定理：任意n阶的复矩阵A都可表为一酉矩阵Q与一上三角矩阵R的乘积，即A=QR，当A可逆时，R还可以取为有正对角元的上三角矩阵，此时Q，R还具有唯一性；若A为实矩阵的话，则Q，R也可取为实矩阵。还有一个有用的分解定理，这就是矩阵的奇异值分解定理：对任一m*n型的复矩阵A，都存在两酉矩阵P和Q，使得P^HAQ成为一个标准的对角形矩阵。矩阵论里还有一些分解定理，由于叙述上的困难就在此打住了。2分析里的一些分解定理，当然有一些不一定有非常强的结构性，但是很漂亮。分析里当然有很多非常深刻的分解定理，但我这里只说一些我熟悉和容易“科普“的定理。 首先我要讲的是单位分解定理，这个定理在整个数学里都是非常重要的，它的作用是把一个整体的问题分解为一些局部的问题，用它可以很轻松的证明广义函数论里面的局部化原理，是单位分解定理的一个很典型的应用。Arithmetic曾告诉我，广义函数论对本科生是很有必要的训练，和Fourier分析一道，都是培养分析感觉的好材料。有些学（甚至是研究生），对广义函数忘而却步，其实，广义函数的本质是非常简单的，就是对偶（Duality），你可以认为它只是数学分析中分部积分的一种抽象推广。单位分解定理是说：设A is subset of R^n，对A的任意开覆盖omiga，则必存在一组在R^n中具有紧支集的光滑函数族T={f_n(x)}，使以下结论成立：
1， 0<= f_n(x)<=1;
2， {supp f_n(x) } 是局部有限的；
3， sigma f_n(x) =1（for all n ），这里不会发生收敛问题，为什么？
4， 对任意的 f_n(x) ，其支集必位于omiga中的某个开集中。在复分析里，有Weierstrass分解定理和Mittag—Leffler主部分解定理，前者针对整函数，后者针对亚纯函数，但都没有什么结构性可言，而且不容易书写，所以就暂且不论。Fourier分析中Parseval等式，可能也算得上是一个分解定理，这个等式在Fourier级数中很重要。再就是微分拓扑中的关于紧致超曲面的分离性质，事实上这是一个分解定理：设M是R^(n+1)中的紧致超曲面，则R^(n+1)\M恰有两个连同分支，一个无界，称之为R^(n+1)\M的外部，一个有界，称之为R^(n+1)\M的内部，它们以R^(n+1)\M为共同的边界，从而我们有：任何一个紧致超曲面M都可定向，这是一个很重要的结论，由此就可以引出Gauss映射和Gauss曲率，而关于偶数维超曲面M的Gauss曲率沿着该超曲面的积分问题就是著名的Gauss—Bonnet公式，内蕴地证明此公式是Chern一生最得意的的工作之一，好象Chern曾说过，流形的定向是一个很重要的问题。我们再来看看调和分析，在调和分析中有著名的Calderon—Zygmund分解理论，大家知道，在实变中，往往需要把一个L可积分的函数分解成两部分，一部分有较好的分析性质，而另外一部分的一些特性，我们可以认为的控制，而不会使它太“坏“，这个思想可以运用到关于奇异积分的研究里，1952年，Calderon和Zygmund为了研究奇异积分的存在性和有界性，创立了以他们名字命名的的奇异分解理论，是一种与空间的分解（在实变里我们经常这样做）相结合的函数分解方法，由于C—Z涉及到可积函数的平均值，所以可以在Hardy—Littlewood极大函数里得到应用，这就是：根据C—Z分解，可以获得H—L极大函数Mf（x）的分布函数的逆向估计，从而使我们对Mf（x）的可积性有更深刻的认识。这些都是调和分析（交换非抽象的）里的经典内容，而奇异积分理论则是当代调和分析里最辉煌的篇章。分析中还有很多这样的漂亮的分解定理，我想写但是不能写了，否则后面我非常想写的就写不上了，在Arithmetic的警告和指引下，我的分析功底还差强人意，超过一般的研究生（呵呵，王婆卖瓜了）。接下来我要聊聊抽象代数里面的一些分解定理。3，抽象领域，首先就是在1中我提到过的与矩阵的Jordan标准形的存在性相似的一个定理，这就是有限交换群的结构定理：一个有限Abel群可唯一的分解为素数幂循环群的直和，非常干净的一个定理，有Dirac的风格，蕴涵了很强的结构性，通过模论的语言，你会看到它和矩阵的Jordan标准形的存在性是一回事，这是一个很好的练习，大家不妨做做。我的体会是精熟矩阵理论，对学习抽象代数有很大的好处，有时它们往往在说同一件事情。下面专门讲一下代数几何中的代数簇分解。首先来一下通感，如果把代数簇（或者理想）比作整数，则不可约簇（或者不可约理想）就相当于素数，空代数簇相当于1和—1，算术基本定理的对应物就成了把一个代数簇分解为一些不可约代数簇的并，或者是把一个理想分解成一些不可约理想的交。由Hilbert基定理可以保证代数簇分解的存在性，于是我们有：任一非空代数簇都可以分解为有限个不可约代数簇的并集。在最简分解（即不多不少的意义上）下还是唯一的，尽管有了如此分解，但是不可约簇仍然是一个很复杂的东西，它的性质有时很难把握。先丢下扫兴的东西，让我们去逛逛代数数论吧，在代数数论中有几个比较优美的分解定理，比如Galois 扩域中的素理想分解，主要讲Gal（L/K）对一族理想分解因子的可迁性以及对理想的K共扼的封闭性。若定义数域K的代数整数环为O_k（其实这是一个定理），则有：任何O_k中的分数理想均可唯一表为素理想的乘积，对Ok中的每一个理想而言，也有素理想分解，此时分解还是唯一的。与O_k有关的还有一个著名的分解定理，这就是Dirichlet单位定理：设K为n次数域，K到C中有r_1个实嵌入 和r_2对复嵌入，r_1+2 r_2=n，则U_k=W_k # V_k （这里表示直和），其中，W_k是K中的单位根群，V_k是秩为r= r_1+ r_2—1的自由Abel群（U_k是O_k中的单位群，注意与单位根群的区别），我记得这个定理的证明用了三个引理和三页纸的篇幅，并且使用了几何数论中的Minkowski定理。最后让我们来欣赏一下Lie群和Lie代数中的一些分解定理。首先我要说的是E.Cartan定理：令G为一紧连通Lie群，T为一包含于G的极大环面，则G is the union of gTg^(-1) , the g is ergodic to the G，也就是把G分解为T的一些共轭类，这个定理在研究紧连通Lie群的几乎所有问题时都起着关键的作用，其证明比较难。接下来的这个定理称为Levi分解，一般又叫做Levi—马力茨夫定理：Lie 代数可以唯一分解成根基和半单子代数的直和，证明的大致思路与复半单Lie代数表示完全可约性的证明差不多，Levi首先证明了复的情况，随后Whitehead给出了对复，实都适用的证明，最后苏联数学家马力茨夫又证明了Levi分解的唯一性，这是一个将Lie代数表示论用于研究Lie代数本身的性质的一个很好的例子。在Lie代数中，我们已经知道一般Lie代数的可解性和幂零性都归结为线性Lie代数的可解性和幂零性，所以，只要着力研究线性情况就行了，于是有关线性变化的一些性质就成为了需要，这就是Jordan—Chevally分解定理：设f是C上n维线性空间V的线性变换，则有下面的分解：
1， 存在唯一的一对线性变换f_1和 f_2满足：f_1和 f_2分别为半单，幂零线性变换；f_1* f_2（表示乘积）可 交换；f=f_1+f_2；
2， 存在C上的多项式P（x）和Q（x），使得f_1=P（f）， f_2=Q（f）。这个定理非常优美，即使你没有学过Lie代数，在高代中它也是很有用的，有出人意料的应用。
| 发表时间：2005-11-09, 10:07:02 |
 作者资料
|
萍踪浪迹
发表文章数: 1983
武功等级: 深不可测
内力值: 645/645
Re: 数学中一些分解定理
我非常喜欢矩阵，可能与我看华先生的多复变有关，华先生从如此简单的矩阵论导出如此美妙和高深的多复变结论，这让我感到很震惊，可能华先生与Grothendieck是两种完全不同的类型，华先生喜欢和善于从简单的东西导出非常深刻的内容，而Grothendieck则乐于和精长从一套庞大和极端抽象的机制出发，同样的解决非常具体而又困难的问题
====================================================
有点道理，但是rothendieck不是为抽象而抽象，而是有着非常明显的动机的
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
-------------------------------------------------
红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-11-15, 14:03:31 |
作者资料
|