星空浩淼
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渐近级数（上）
我发现有些问题在繁星客栈先后被反复问及，尽管它们事实上在这里曾经讨论过。为了避免重复甚至做无用功，把有些东西整理一下，如果对这里后面进来的网友有些许帮助，那是值得的。
在大学数学里面，渐近级数好象没有专门作为教材内容传授给学生，学生在物理书或文献中直接面对它们的出现和被利用，此时影响对理论的掌握和理解，容易被动。每当有这种情况出现时，就说明了我们的课程设置不够科学。
学过重整化理论的人可能知道，重整化过程中有一个“正规化”过程，把无穷大项表示为某个形式的有限项的极限（取极限时，就对应原来的无穷大项）。这个过程，其实就是一个偷梁换柱的过程：把原来的东西用渐近级数来替代。
一来由于网上写公式困难，二来目前没有时间精力去细致化严格化，所以我把以前在这里写的帖子合在一起再发一次，作为“上”半部，将来有机会再写下半部分，主要涉及物理应用。我写的非常科普，优点是好理解，如果有帮助，就来得很快不费劲，并且主要是自己的心得体会，有些东西书上找不到。
同时，每个章节后面附有当时的回帖讨论。
一
我突然发现自己有一个不好的毛病，喜欢抛一个话题：“准备下次或将来谈谈什么”，结果就没有下文。我自己在学业上“战线”拉得有点长，现在感觉有点力不从心。总是贪多贪广，恨不得将物理学各个领域都打通。主要考虑到在研究问题时知道得越多，思路才越开阔，但人生有限，知识无限，我现在不知该如何把握一个度，感觉每一样都是有用的。不知卢兄和sage等各位是如何把握的？
我曾经钻研过几天渐近级数，接着又忙其他的了。现在看来还是先知道一点就说一点，跟兴趣的各位交流探讨。我的谈论中是按照我自己的逻辑和观点来展开谈的，有些纯属个人看法。
“同理可得”是我们合法偷懒的一贯伎俩。因此我“不失一般性”，只考虑一元函数。没有数学公式的说明是困难的，我尽量克服。
开始的时候非常基本，却是基础。以自变量x为横轴，因变量y为纵轴，一元函数y=f(x)对应坐标平面上的一条曲线。在数值计算中，我们总是考虑)在自变量具体取值例如x=a时的函数y=f(x）的取值y=f(a）。函数有时是非常复杂的，我们只能近似求值。如果有另外一个函数z=g(x)在x=a处的取值z=g(a)很容易求，并且能够证明发现在x=a处，两个函数y=f(x)和z=g(x)的取值很接近，其差异不会改变我们所研究问题的实质，那么我们就来个偷梁换柱移花接木，总之是借鸡下蛋，利用z=g(x)来代表我们所讨论的函数y=f(x)进行研究（前提是仅当x趋于a时才成立），我们利用z=g(x)来进行我们在x=a附近的计算。
这时你不难看到，对于同一个我们要研究的对象y=f(x)，可以存在许多个不同“鸡”供我们借用，只要这些“鸡”在x=a处逼近y=f(x)就行，至于这些“鸡”在其他地方的行为如何甚至非法（例如发散）我们不用管。反之，同一个“鸡”z=g(x)，也不一定是只能供y=f(x)借用，它不必对你专一，同样可能被用来逼近其他难求的函数值。当然，有些情况下，二者却是一夫一妻制的，彼此只对对方负责。事实上，一夫一妻制的时候，y=f(x)和z=g(x)有时候就是同一个东西的两个不同表现而已——例如一个是另一个的无穷级数展开，这样的级数是“合法”的收敛的，此即我们通常所学的级数概念——要么收敛，要么发散，收敛的级数是合法的，才是有意义的，才是我们所要研究的对象——这种传统的大学教育，让我们遗漏了渐近级数这样一个好东东。
那种借鸡生蛋所用的鸡，正是渐近级数（准确地说是渐近级数的部分和）。一个函数的渐近级数里面包括我们通常所说的函数的级数展开，包括一致收敛的展开，从这种意义上来讲，渐近级数含义更广泛，它还包括发散的级数（其中比较有趣的是可和级数，后面会专门讲到）。
然而，在使用方法和通常考虑问题的切入点上，一个函数的渐近级数与这个函数的收敛展开级数是不同的。即收敛的概念与渐近的概念是不同的：
1）“收敛”表示将级数的自变量固定，让级数展开的项数趋于无穷时，级数的部分和与函数无限接近；而“渐近”是指将渐近级数的展开项数固定，让自变量趋于某个值时，渐近级数的部分和趋近函数。
2）收敛的级数其部分和与函数无限接近，是指余项的绝对值趋于零；而渐近级数的部分和趋近函数时，绝对误差可以很大，只要求相对误差小就行（即舍去的与保留的相比是一个小量）。
3）收敛的级数，展开项数足够大时，后面的项总趋势越来越小地趋于零；而渐近级数后面的项可能越来越大直至趋于无穷大。但只要在x趋于a是，它们才会小于前面的项。
从几何上看，一个函数与它的渐近级数在x=a附近是微分同胚的吗？我猜测是，大家以为呢？
未完待续。
附：讨论
卢昌海
凭记忆补充一两句：
我记得渐进级数的部分和与原函数的差别（即余项）是在 x 趋于无穷大时小于部分和中的最后一项，即：
x^n R_n -> 0 （当 x 趋于无穷大）（R_n 为余项）
因此渐进级数的部分和只有在 x 趋于无穷大时才会任意地逼近原函数，其误差被部分和中的最后一项所控制。
期待下文ing ...
星空浩淼
一般地讲，说是趋于某个特定值更好，更有一般性，其前提就是，只要在趋于这个值时，渐进级数后面省略的部分是所保留的最后一项的小量即可（就是你所说的）。只要趋于某个特定值时，展开的每一项趋于零就行（除了开头的常数项）。不一定是趋于无穷大时才能让展开的每一项趋于零，这因研究问题的变量而定。
卢昌海
嗯，是我记得不够全，我说的只针对 Σ a_n/x^n。一般来说让对固定 n 的余项趋于零的 x 不见得要趋于无穷大，可以是趋于依问题而定的某个展开点。
二
前面说到，为了求x=a时的函数y=f(x）的取值y=f(a）。我们用另外一个函数z=g(x)在x=a处的取值z=g(a)来近似求，并且函数z=g(x)可看作y=f(x）在x=a处的渐近级数部分和。即y=f(x）是借用z=g(x)这个鸡来下蛋的，只要y=f(x)和z=g(x)在x=a处附近很接近。
对于函数y=f(x），我们当然想能够求x在定义域取任何一个值时的函数值，如果在x取不同的值时借用不同的鸡去下蛋，那也太麻烦了。这时候，我们当然想只寻找一个无穷级数的函数z=g(x)去作为通用的鸡来近似求解y=f(x)在不同地方的取值——即，对于不同的x，我们就用无穷级数z=g(x)的不同项数的部分和来近似y=f(x)，于是，函数y=f(x)自变量x的变化就与另一个的级数部分和的所取项数变化对应起来。一旦这样的级数z=g(x)找到，我们就说z=g(x)是函数y=f(x)的渐近级数。一种极端的情形是，z=g(x)本身就是函数y=f(x)的一致收敛级数的展开（例如一致收敛的泰勒级数展开），此时它们是同一个东西的不同面貌而已。因此收敛级数只是渐近级数的一个特例，但是即使渐近级数对应收敛级数的时候，我们对渐近级数的用法和通常的收敛级数的用法也是不同的，其区别见上一节。
在一般情形下，一个函数可以对应多个渐近级数，其中最有趣的是包括发散的渐近级数。有时候用渐近级数展开的办法求y=f(x)在x=a处的值，你会发现用发散的渐进级数要比收敛的渐进级数（例如函数“合法”展开的的泰勒级数）更好，在同样多项的求和近似中，发散的渐进级数居然比收敛的渐进级数收敛的更快，求和后的误差更小！关于这个，可以用函数y=f(x)的曲线图在x=a处的性态与不同的渐进级数部分和在该处曲线性态进行对比来理解。此时我们宁愿利用发散级数而不是收敛的级数。
那么发散的渐近级数其数学上的合理性应该如何理解呢？下一次接着说。我上课去了。
三
由于编辑公式麻烦，所以这里只是通过初等式子来说明道理。
考虑等式4x=1。如果你直接由此解出x=1/4当然好，这样就直接“一下子”地得到问题的“整个儿”解，完全解，exact解。我可能广义地称之为“非微扰解”（只要不是通过微扰逐级近似给出的解，从语言逻辑上讲，都叫做非微扰解）。
然而，并不是所有问题的解都是那么爽快地一下子整个儿让你得到。此时比较常用的办法就是用迭代展开的办法近似求解。
例如由4x=1得x=1-3x，由于左边的x与右边的x是同一个东西，因此可以用左边的x(=1-3x)代替右边的x得x=1-3(1-3x)。这个过程可以无穷地进行下去（即进行无穷迭代过程），最后得到x=1-3+9-27+81-......。我知道这个时候你可能想说什么，你先别急，听我娓娓道来。
显然，对于同一个式子，我们做不同的变形后，可以得到不同的迭代表达式。例如由4x=1得x=1-3x之后，进一步得x/3=1/3-x,即x=1/3-x/3。时得到的无穷迭代展开式是x=1/3-1/9+1/27-1/81+......。传统教材教导我们说，前一种x=1-3+9-27+81-......是非法的魔鬼，后一种x=1/3-1/9+1/27-1/81+......才是我们想要的天使。
科幻电影很多，除了科学家却很少有文学作家幻想另一个星球的知识文明结构形态是怎么样的。如果其他星球的“人们”其科学发现先后顺序，其科学内容的发展轨迹跟我们不同，那么他们的数学和物理教材可能跟我们有很大差别，对同一个东西除了描述语言和描述角度不同之外，甚至连理解方法和观点都跟我们不同，却又能跟我们殊途同归，异工同曲，同样建造一个发达文明。
回过头来接着说。数学家们为了追求数学上的严密，有时候会牺牲一些东西，错过一些漏网之鱼。好在跟数学关系很铁的物理这个时候会出来弥补。物理学家的伟大之处就在于，他们不但会擅长利用一切可以利用的数学资源，而且反过来又不受数学本身的约束，当他们觉得数学不符合自己所愿时，或者不好用时，就自己发展一些新的数学工具来现炒现卖，甚至因此而弥补了传统数学的不足，修正其谬误。因此他们不光是为数学提供课题而影响数学的发展方向和结构内容。
如果我们推敲和比较前面两种迭代展开的过程，会发现，我们看不出凭什么x=1/3-1/9+1/27-1/81+......会比x=1-3+9-27+81-......高人一等，二者从逻辑上来看是完全平等的，合理的。而且在更多的情况下，对于非常复杂情形（例如积分方程的迭代展开），我们事先并不知道哪种
迭代展开才是“合法的”，因为我们所做的每一步从逻辑上讲都是无懈可击的，并且都是一视同仁的，从同一个原始表达式出发，使用完全相同的方法和步骤。以前的数学家们要我们马后炮地根据最后得到的展开结果是否收敛，来反过来说谁合法谁不合法，实在令人别扭，是为了维护数学的尊严（严密性）——其实是一种错觉导致的虚惊一场——而强加给我们的，当然感觉不自然了。事实上，后面将要谈到，物理学家们和应用数学家们（我怀疑后者follow前者）在研究实际问题时，这两种展开（本文中的初等例子只是象征性的，打的比方）方法都在合法地使用着，而且有时候后者比前者更适用更有优势。
尽管这初看起来令人迷惑，其实迷惑的根源在于你对无穷的理解。无穷有两个面孔，有时候它只是一个“过程”而不是一个“状态”，是一个在无限地延伸变化着的东西而不是一个已经完成的静态量或固定之物，这种无穷在逻辑派别中称为“潜无穷”观点；有时候，例如在非标准分析中，在测度理论中，无穷被看作是象普通的有限的数一样，这是“实无穷”的逻辑派别观点。历史上两种观点争论不休。在我看来，这两种观点都对，是互补的，各有自己适用的范围和条件。潜无穷的观点不会带来逻辑悖论（即是一致的），然而是不完备的；实无穷则反过来，是完备的，却包含“一个量既是零又不是零”这样一个悖论命题。根据哥德尔定理，我们不可能让一个理论同时满足一致性和完备性的条件。也许这个世界就是这样互补的。当年有记者问哥德尔，他的那个定理跟量子力学中的不确定关系有什么联系时，被这为被称做“逻辑学界的Einstein”愤怒地赶了出来（哥德尔跟Einstein关系密切）。我为他的这一举动感到遗憾。
人类的科学发展是在迷惑和与矛盾斗争中进行的，几乎每一次的迷惑与矛盾归根结底都跟无穷有关。罗素悖论可以翻译成一种跟无穷有关的东西，理论物理也是常常是在考虑如何排除无穷中发展（例如紫外灾难之于量子力学，白天黑夜都是无穷亮之于有限宇宙论，还有重整化的出现，重整化对付不了量子引力理论时而出现当今的诸多理论，等等）。
对于无穷级数的理解，更一般地，应该潜无穷地理解成级数的部分和在无限延伸的过程，是一个表达式而不是一个已经确定的量或函数。只要这样你才能统一地理解前面两种级数展开皆为合理的结论。并且我们可以反过来，根据无穷迭代过程的“逆过程”将级数还原成原来的函数，这就是“可和”的本质含义之所在，将级数还原成原来的函数就是求可和级数的和函数的过程。“可和”是一个包含“收敛”在内的更具一般性的一个概念。因此真正代表“非法的”“没有用的”级数，是那种不可和的发散级数。
总之，只要是从同一个原始表达式出发，利用类似的推导过程和迭代方法，如果可以给出多个不同的级数展开，则不管它们是收敛的还是发散的，都是平等合理的。我们把它们统一地称为原函数的渐进级数。实际计算中，到底使用哪个展开级数好，这要看哪一个级数在给定的精度或给定的求和项数下收敛得最快。前面已经说过，对于同一个待求的问题，有时候发散的级数比一致收敛的级数收敛得更快。
从有限到无限之间，有时存在一个鸿沟和突变。例如一些结论在n有限时都成立——不管n有多大，可是，只要一旦你取n=无穷大，原来的结论就不成立了。这在逻辑上被称为“欧米伽不完备性”。此时证明中的归纳法不在适用。
未完代续
附：讨论
卢昌海
当年印度数学奇才 Ramanujan 的一封声称证明了包括
1+2+3+ ... +n+ ... = -1/12
在内的若干结果的信被送到 Hardy 案头时，Hardy 与 Littlewood 认出了这个“荒唐”级数的含义：
1/1^(-1) + 1/2^(-1) + 1/3^(-1) + ... = ζ(-1) = -1/12
即该级数给出了 Riemann ζ 函数在解析延拓区中的一个数值。这一点连同对 Ramanujan 其它结果的欣赏最终促成了 Ramanujan 与 Hardy 的传奇合作。发散级数功劳大大的！
四
1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+。。。。。。=1/2
1+0-1+1+0-1+1+0-1+。。。。。。=2/3
1-1-0+1-1-0+1-1-0+。。。。。。=1/3
上帝有时好象也爱和稀泥，走中庸之道。
初一看，上面三个级数中，后两个不过是在第一个基础上多加了0，而第二个级数和第三个级数只是放0的顺序不同而已。然而这三个级数的和却不同。
假如你象通常一样，对上面的级数从左到右地逐项进行计算，你的脑袋里所储存的中间数据是：
1）对于第一个级数，是1，0，1，0，1，0，1，0。。。。。。就这样在1和0之间上下波动来回振荡，这样无穷进行下去，“最后的”结果却是取中庸，为（1+0）/2=1/2。
2）对于第二个级数，是1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0。。。。。。就这样在1，1和0之间轮回，这样无穷进行下去，“最后的”结果却是取中庸，即为三者的平均值（1+1+0）/3=2/3。
2）对于第三个级数，是1，0，0，1，0，0，1，0，0，1，0，0。。。。。。就这样在1，0和0之间轮回，这样无穷进行下去，“最后的”结果却是取中庸，即为三者的平均值（1+0+0）/3=1/3。
更复杂的情形，需要用曲线图配以几何的方法来做类似说明，例如可以分析为什么
1-2+3-4+5-6+。。。=1/4
以上分析到目前为止，仅限于本人所有（大家放心，结果是对的）。这个话题系列的以前部分地方也跟传统理论有所不同。
无穷是神奇的，因而也是令人迷惑的。例如古人给出的“人跑不过乌龟”，飞矢不动悖论等等。可以说，数学发展所经历的三次数学危机，都可以归结为跟无穷有关。魏尔说过：数学是无穷的科学。选择公理带来的分球怪论（例如，根据选择公理，你可以得出这种结论：你把一个金球通过无穷分割之后可以组成跟原来的金球完全一样的两个金球，有人还在电脑里面模拟了这个过程）令我们对无穷这个东西敬畏。当然，你可以不承认选择公理，但这样一来麻烦更大，并且带来的怪论就更多了。推动物理学的发展的动力之一也跟无穷有关，前面已经说过。
话说拉登和布什终于面对面了，仇人相见分外眼红。拉登拿出一个两分钟之内将会引爆的微型炸弹抛向布什，布在过了一分钟时将炸弹反抛给拉，拉在半分钟之后又抛给布，布又在1/4分钟后抛给拉，拉又在1/8分钟之后抛给布，布又在1/16分钟之后抛给拉。。。。。。就这样无穷地抛下去，可以对我们旁观者而言，当这个炸弹抛了无穷多次时，总共也就两分钟时间，正好爆炸。那么最后炸弹到底落在谁的手上呢？是布什死了还是拉登死了？当炸弹在拉登和布什之间来回抛时，如果炸弹在布什手上时代表1，在拉登手上时代表0，这样传递无数次之后，上帝还会来个和稀泥让炸弹在二人中间爆炸吗？
补充：
我们知道，一个n维空间建立n维坐标架来描述时，可以任意选择n个线性无关的向量来作为坐标基。例如，在一个n维空间，通过一组n个正交完备的基矢，支撑n维正交完备的坐标系。
正交（或线性无关）意味着各个坐标轴矢量之间不能相互表达（表示或描述），一个基矢不能表达成其他基矢的线性组合；
完备意味着该空间任一个矢量都可以用这组基矢线性组合表达出来；
其实还有一个一致性问题：一个矢量不可能同时对应两种的基矢线性组合表达。
公理系统在逻辑中常称为形式系统。比如公理化之后的整个量子力学体系，可是看作一个公理系统；公理化之后的量子场论，可以看作一个公理系统。
一个公理系统包含N个公理，称为N维公理系统，这N个公理必须满足独立性，完备性和一致性。跟上面进行类比：
独立性（如同正交性），是指各个公理之间不能相互推出，一个公理不能被其他一个或几个公理共同推出；
完备性意味着任一个正确的命题都可以在这个公理系统中推出。如果命题（包括定理）A被公理a(1),a(2),a(3)共同推出，则称A可以表达为A=a(1)+a(2)+a(3)（公理a(1),a(2),a(3)的“线性组合”）
一致性意味着从这个公理系统中不能同时推出A和-A来，其中-A是A的否定命题；或者等效地，同一个命题不能对应两个不同的“线性组合”例如不能同时有A=a(1)+a(2)+a(3）且A=a(1)+a(2)+a(4）。
n维空间中选择n维坐标架的标准是方便性简单性。同理，在N公理系统中我们可以任意选择N个满足独立性，完备性和一致性的命题作为公理。从这些N个公理出发，给出我们的整个理论大厦。选择的标准，也是因我们所研究的问题而定，看那种最方便最简单。
附注：
1）上面没有考虑哥德尔不完备性定理，不影响我们分析问题的实质；
2）如果一个公理系统W由W={a(1),a(2),a(3)}组成,则H={-a(1),a(2),a(3)}可能对应另外一个公理系统（-a(1)是a(1)的否定命题）。例如通过否定欧氏几何中的平行公理得到非欧几何。
人们想如法炮制，当人们证明了连续统假设与现有理论其他公理之间是独立的和相容的（即有一致性）的时候，意味着该假设可以作为一个公理，人们试图通过否定连续统假设来获得一个新的理论系统，但发现这样做代价很大；选择公理引起分球怪论之后，人们也想通过否定选择公理获得另一个理论系统，但发现那样做怪论就更多。
附：讨论
yinhow
(1), 模2的特征
(2), 模3的特征
(3), 模6的特征
L(s,Kai)函数在s=0的值
L(s,Kai)有函数方程
其中Kai是Dirichlet特征
卢兄也可以讲讲这个函数的故事
小弟精力有限, 心有力而余不足
星空浩淼
谢谢yinhow参与！
你能详细介绍一下你上面所说的属于数学中的哪个领域以及大致内容吗？我很感兴趣。
进一步地，象下面级数（即在1和-1之间有k个0的情形）
1+0+0+。。。-1+1+0+0+。。。-1+1+0+0+。。。=（k+1)/(k+2)
1-1-0-0-。。。+1-1-0-0-。。。+1-1-0-0-。。。=1/（k+2)
它们分别属于模几的特征？
还有
1-2^2+3^2-4^2+5^2-...=0
属于模几的特征？
无论数学还是物理，同样一个东西，可能同时存在多个不同角度上的理解。在传统理论中，我对可和级数的认识还限于初等的（例如Cesaro求和法，Holder求和法，Abel求和法，Borel求和法以及Euler求和法等等），象你上面谈到的从更高层次（应该也更具一般性和统一性）的角度上看这个问题，我还没有涉及过。在这里交流的一个好处正是如此，通过互通有无来提高。
我记得在胶球理论中所用到的QCD求和规则中，主要采用Borel求和法。如果采用你说的那种深度上的认识（我怀疑是跟超弦理论相关的数学工具——如果有一天我想了解超弦，可能主要是想认识那里的数学，看能否借鉴于其他领域，呵呵）
我在这个话题的系列中，试图给出从另一个角度来直观看待这些级数的小窍门。可惜编辑公式不方便，而且没法画图，不然用几何的方法更妙更有一般性。
yinhow
科学最奇妙之处我觉的就在于各部分有神秘的联系.
我提到的内容可以在潘承桐的<<解析数论>>和冯克勤的<<代数数论>>中找到.
卢兄以后的系列可能也会提到: ZETA函数正规化.
有一个个人主页可以参考一下:
Emilio Elizalde
http://www.ieec.fcr.es/recerca/cme/eli.html
举个简单的例子:
L(s, Kai(3))=Sum[Kai(3,n)/n^s, {n,1,Infinity}]
=3^(-s){Zeta[s, 1/3]-Zeta[s,2/3]}
Zeta[0,a]=1/2-a
L(0,Kai(3))=1/3
就是星空兄最后一个例子的结论
星空浩淼
谢谢yinhow!
我总想将数学学到今后不需要再学的地步，在除了跟引力理论有关的领域以外的其他领域可以任意驰骋，结果发现这个目标恐怕永远无法达到——数学是学不完的，学术有专攻，只能借助于交流讨论跟合作了。
我这学期开了门非线性科学课程，想自己另外深入一点学习，结果发现那里使用李群和微分几何的方法是我以前没有见过的——跟物理学其他领域的使用方法和角度都不同，真是令我沮丧。
没想到我有一天还要关心起解析数论来。
yinhow
学无止境, 学海无涯.
理解和欣赏这种"美"
最好能创造这样的"美丽"
轩轩
bush的最后的悖论实际上就是阿基里斯永远追不上乌龟？？
我一直没有真的搞清楚芝诺悖论的数学原因
一个感觉是这个与schwarschild度量下的黑洞探险者进入黑洞花了无穷长的坐标时间好象/
莫非？？？
卢昌海
我记得方励之的《力学概论》（名字可能记错）中用芝诺悖论的分割方式建立了一种芝诺时钟，用这种方式他把芝诺悖论表述为：芝诺时钟走到无穷只对应于普通时钟的有限时间（有点象轩轩说的Schwarschild 度规下的外部坐标时间与自由下落观测者的本征时间的关系）。
方励之在末了说了这样一段话（大意），我印象很深：我们的普通时钟是否也象芝诺时钟呢？现代宇宙学的研究给出的结论是肯定的。我到现在也不知道他指的具体是什么。是笼统地说我们的观测时空在数学上是可以延拓的呢还是指有具体的证据表明用宇宙中的物理过程（比方说原子钟的周期）定义的时钟具有与芝诺时钟类似的特点？
星空浩淼
1）bush的最后的悖论实际上就是阿基里斯永远追不上乌龟？？
这应该是两个类型的悖论，但都是跟无穷有关的悖论
2）我一直没有真的搞清楚芝诺悖论的数学原因
一个感觉是这个与schwarschild度量下的黑洞探险者进入黑洞花了无穷长的坐标时间好象/
莫非？？？
据我所知，芝诺悖论的数学原因有多种说法。本人过去倾向于“无法用可数无穷的离散点集合来描述连续的不可数无穷个点集合”的解释，但是现在我不同意这种解释：
1）芝诺悖论所涉及到的是用可数无穷多个区间来涵盖一个较大的区间的问题，而不是“用可数无穷的离散点集合来描述连续的不可数无穷个点集合”的问题。
2）一个连续区间，可以存在有限覆盖或可数无穷个覆盖
3）换个角度来看，Dedekind的可分性定理也允许用可数个点来划分一段区间。
我现在的观点是：
1）从认识论的角度来看，与“schwarschild度量下的黑洞探险者进入黑洞花了无穷长的坐标时间”进行类比的解释是比较合理的（这种解释方励之和刘辽等人都有过），即这种悖论是存在于人们认识心理上的，存在于我们的思考方式或理性错觉之中——我们把时间分段的次数变成了我们的思考问题时的心理时间，尽管每次分段的长度不同，但每次的“次数”给了我们均等的感觉；
2）从本体论的角度来看，物理学中的不确定性原理也会让自然界本身不可能有这样的悖论。在时空间隔极短的情况下，我们根本无法预言人和乌龟的准确速度和位置，也无法确定时间上的先后次序。而且还会存在非线性相互作用的规律在起作用；
3）随着物理学的发展，尤其是关于量子时空理论的发展，人们对这个问题可能会补充进一些新的认识。
总之，这个几千年之前的问题，到目前为止，未必就已经得到了准确的答案。越是基本的问题，越难回答。我觉得大家在这里交流各述己见，各人时对时错都很正常，不要怕出错。最重要的是讨论与共同提高。
我很想同时知道其他各位是如何看待这个问题的。
我刚提交，发现昌海兄也发了一个回复。
我也是没有看懂方励之到底是如何解释清楚的，可能刘辽相对而言要解释得清楚些。
在古代这个悖论出来后，就有哲学家认为这个悖论只会存在于我们的理性之中，刚好表明了我们对自然认识理解能力上存在局限性，人脑的思维能力并不是无限的。
有时候，在有些问题上，自然科学家（包括数学家和物理学家）并不比哲学家高明。
卢昌海
我倒不觉得 Zeno 悖论在现在还有什么令人困惑的地方，它只是把完成无限多个步骤与需要无限多的时间混淆在了一起。或者用级数的语言来说它把一个收敛级数也纯以项数而论视为无穷。方励之的解释在这点上很切中要害（我只是觉得他最后有关物理时间的评论太语焉不详）。
星空浩淼
昌海兄回答“它只是把完成无限多个步骤与需要无限多的时间混淆在了一起。或者用级数的语言来说它把一个收敛级数也纯以项数而论视为无穷。方励之的解释在这点上很切中要害（我只是觉得他最后有关物理时间的评论太语焉不详）”。
这个回答本身也是切中要害！比我的回答“我们把时间分段的次数变成了我们的思考问题时的心理时间，尽管每次分段的长度不同，但每次的“次数”给了我们均等的感觉”要清晰明了得多。
当年方励之后面的论述反而把我弄糊涂了。
这个悖论的一个糊弄人的地方是：它让人感觉是，赛跑的人尽管无穷地接近乌龟，但“总是”在乌龟之后，不管这个“后”是多么的接近于零。
可能有时候，整体分析是不能完全还原成多个局域分析之和。按悖论中的那种局域分析方法，最多能分析“追上”，似乎无法进一步分析“超过”。而整体分析，比较两个速度乘以时间之后的两个位移大小即可判断。
我现在同意昌海兄的说法：芝诺悖论不再令人迷惑。
卢昌海
楼顶文章末尾的悖论厉害之处在于把那些原本越来越微不足道的时间放大了，即无论那些时间间隔多小，一个具有有限效果的事件完成了 - 炸弹的位置交换了，从而使情况变得更奇特。
这个悖论的关键在于炸弹的位置是在 Zeno 时间中定义的（并且也只在 Zeno 时间中定义）。而最后问的却是在炸弹爆炸的时候（即普通时间 t=2 分钟时）炸弹的位置。
但是整个的 Zeno 时间只对应于普通时间 [0，2）- 注意右端为开区间。即普通时间 t=2 并不在 Zeno 时间的覆盖范围内！炸弹的位置在这个时刻根本就没有定义过。换句话说问题所问的是一个函数 - 炸弹的位置作为时间的函数 - 在定义域之外的数值，因此我们无法回答。这并不构成实质意义上的悖论。
我们也可以不用 Zeno 时间之类的术语来分析这个悖论：它的要害在于悖论所提供的确定炸弹位置的方法只适用于时间 t<2 的情形，却似是而非地要让我们来确定 t=2 时的炸弹位置。
星空浩淼
昌海兄的分析有道理！
作为观点互补兼互动（你的观点启发我，反过来产生进一步的观点），我也进一步谈一下前面两个悖论（其实应该是“佯谬”，“悖论”的概念在逻辑学中是有专门所指的，那是一种客观存在的逻辑实体），供交流：
1）假定炸弹从拉登开始，扔到布施对应炸弹位移了1，则炸弹从布施扔回拉登时又位移了-1，此时总位移对应0。于是，炸弹在两人之间来回传递时，炸弹在拉登那里对应位移0，在布施那里对应位移1，经过无限趋近于2分钟的时间，产生无数次来回传递，则根据炸弹的位移量来判断炸弹最后所在的爆炸位置，此时炸弹的位移量为
x=1-1+1-1+1-1+1-1+......
即对应一个无穷级数之和。因此我判断最后炸弹在x=1/2处即两人中间爆炸——尽管，这纯属一个思维实验，物理上没法实现。按照实证主义哲学，这只能是一个伪问题。然而，下面这个问题就不是伪问题了。
2）在日常生活中，一个来回晃动的物体最后总是停留在中间位置。即，一个做阻尼减幅震荡的物体最终停留在中间位置（好象可以给出更好的例子，这会儿我想不起来）。我们以中间位置作为原点，物体的位移x在一边为正，在另一边为负，我们通过符号函数sign(x)与1，-1对应起来（x为正时，sign(x)=1;x为负时，sign(x)=-1)。不难分析，做阻尼减幅震荡的物体，要经历无数次来回震荡才会趋于中间位置x=0(对应sign(x)=0,在1，-1的中间）。
3）再谈一下芝诺佯谬。你前面已经说的够清楚了，但我这里还是试图进一步清晰完善到不需要多少思考就能完全明白的地步。
（1）定量模型化
为简单起见，假定人的速度是乌龟的两倍，并且二者开始计时进行比赛时，以人所在位置作为位移的原点，而乌龟在位移a(1)处，人到a(1)处是要花一秒钟（称从原点到a(1)对应一秒钟的路程，始终以人的速度为标准）。当人经过一秒钟到达a(1)处，乌龟则向前位移了1/2秒的路程到达a(2)处（“1/2秒的路程”是以人的速度来衡量的，始终以人的速度为标准，下同）。同理，当人又经过1/2秒钟到达a(2)时乌龟又向前位移了1/4秒路程到达a(3)处；人又经过1/4秒时间到达a(3)时乌龟又向前运动了1/8路程到达a(4)处。。。当人经过1/2^(n-1)秒钟到达a(n)时，乌龟又向前运动了1/2^n秒的路程到达a(n+1)。。。
现在，我们用S1(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)和S2(n)=a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)+a(n+1)来分别描述人和乌龟相对于原点（即人的初始位置）的位移，对应的运动时间为T(n)=1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)。
当以上过程无穷进行下去时，相当于n趋于无穷大，此时总的时间T(n)趋于2秒钟，而人的位移和乌龟的位移趋于相等（即人赶上了乌龟）：S1(n)=S2(n)，或a(n)=a(n+1)=0。
（2）芝诺佯谬的分析
我觉得人们在芝诺佯谬面前感到困惑，同时包含了两个思维错觉：（A）正如昌海兄所说，将级数的无穷项数n（或无穷多个思维的操作步骤）错成了无穷的时间（“分析问题时的心理时间”)，而实际时间应该是T(n)趋于2秒钟；（B）总是认为a(n)比a(n+1)要差那么一点点（即人总是在乌龟之后：人处于位移S1(n)时，乌龟处于位移S2(n)=S1(n)+a(n+1)）。而按照级数收敛定理，n趋于无穷时，a(n+1)=0，S2(n)=S1(n)（即人终于赶上了乌龟）。
（3）等效模型
其实在芝诺佯谬中，乌龟可以去掉。考虑一个人在两秒中所跑过的总路程S，再将S按如下方式分解成无穷多项之和：人跑过一秒钟的路程a(1)加上人跑过1/2秒的路程a(2)加上人跑过1/4秒的路程。。。，即S=a(1)+a(2)+a(3)+.....。由于以上（2）中分析的原因，人们认为这个式子的右边无法还原成左边的S。这就是这个佯谬的本质所在。
yinhow
星空兄的有趣的例子有几个特征: 一是分母上是周期系列, 而且一个周期内所有的数加起来是零;
二是分母都是一. 我补充一下, 也举个例子,譬如说{1,-1,1,-1,0}, 但分母是自然数1,2,3,4,5...
求和是:S=1-1/2+1/3-1/4+0/5+....=Pi*Square[50-10*Square[5]]/25
可以推广到分母是自然数的N次方
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| 发表时间：2005-11-10, 07:19:34 |
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星空浩淼
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Re: 渐近级数（上）
我需要对楼顶文中有一句“根据哥德尔定理，我们不可能让一个理论同时满足一致性和完备性的条件。”做一下补充说明：
这里的“完备性”跟数学中一般所说的完备性其含义有所不同。这里的“完备性”是指一个公理系统中不存在不可判定的命题。即一个公理系统如果是完备的，那么它可以推导出所有的真命题，可以给出一切真理，因而是一个包罗万象的理论。反之，如果一个公理系统，对某个命题是真是假无法作出判定，那么它就不可能完备。用这个标准来看，到目前为止，没有一个公理系统是完备的，例如欧氏几何不能给出非欧几何中所有的定理；现有数学理论无法判定（证明）连续统假设。
关于哥德尔定理，在客栈其他帖子里面也谈到过几回，这里不多谈。一个最最通俗的理解，就是由“上帝是万能的”给出“上帝能否造出自己举不起来的石头”这一悖论来。
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| 发表时间：2005-11-10, 07:43:33 |
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星空浩淼
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Re: 渐近级数（上）
再补充一下：
以前发这些帖子的时候，这里人比较少。现在这里来了不少数学高手，我把这个发在这里，可以起到被大家纠正和补充的作用。相对于这里的各位，我这种帖子未免有班门弄斧之嫌。
我文章的原题为“从渐近级数说起”，内容不是太专业地谈论渐近级数，而是谈论一些有关渐近级数“花边新闻”。由于公式编辑和画图的限制，有些很有趣的内容只好省去不谈。
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| 发表时间：2005-11-10, 08:18:25 |
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sage
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Re: 渐近级数（上）
was I around when you posted this?
I did not see its relevance to renormalization theory, or Olbers paradox.
It is known that quantum field theory is an asymptotic expansion. On the other hand, this is not related to the renormalization.
| 发表时间：2005-11-11, 23:29:00 |
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星空浩淼
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Re: 渐近级数（上）
It is known that quantum field theory is an asymptotic expansion.
你说的对。事实上，即使是严格的泰勒级数展开，也可以看作一种特殊的渐近展开。即渐近展开包含收敛级数展开，而不仅仅是发散级数。
On the other hand, this is not related to the renormalization.
渐近级数及其求和概念比较广泛。例如在一种求和意义上存在和，在另一种求和意义上可能不存在。我前面谈得很含糊，却又无法展开讲。
我之所以迟迟没有写下半部分，因为这要求我先要好好复习和补充学习一下quantum field theory 及某些原始文献（有些东西教材上找不到），还要进一步熟悉一下渐近级数理论。这方面的资料在国内不好找。以前我翻过五六本书（包括目前中科院研究生采用的教材），但感觉很不够。
前面我写的更多是自己的心得，而不是书上现成能找得到的，而我翻过五六本书是为了进一步熟悉和确认。
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| 发表时间：2005-11-12, 08:20:13 |
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星空浩淼
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Re: 渐近级数（上）
由于编辑公式和画图不方便，在渐近级数（上）中，即使谈自己的心得，也仅仅谈到一部分。
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| 发表时间：2005-11-12, 08:22:57 |
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星空浩淼
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Re: 渐近级数（上）
sage兄和昌海兄有时间的时候，不妨也给我们大家侃侃这方面的知识，大家各自角度不同，合起来就比较全面了。以前昌海兄转帖高亦鸿（理论所研究员）的“胡侃发散级数”，文章写得非常好（虽然里面某些地方说的不完全准确），很有趣，很令人长见识。
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| 发表时间：2005-11-12, 08:31:51 |
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卢昌海
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Re: 渐近级数（上）
现在客栈里数学高手多了，该请他们来谈发散级数了。:)
我接下来可能会写一些物理方面的主题，原先我主页上没有数学方面的文章，现在倒过来变成数学方面的文章最多了（客栈也有这个趋势，数学类原创文章大有超过物理类的势头）。我写的下一个主题或许会是有关广义相对论及量子场论中的能量条件的。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-11-12, 09:09:53 |
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XXFF
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Re: 渐近级数（上）
用这个标准来看，到目前为止，没有一个公理系统是完备的，例如欧氏几何不能给出非欧几何中所有的定理；
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
首先先统一"完备性"定义,按哥德尔的"完备性"定义,欧几里得几何可以构造成完备的，因为无论多难的(欧氏)几何题，都是能解的,即欧氏几何中的所有命题都是可判定的（非对即错），而＂非欧几何＂的命题在欧氏几何的系统外。欧氏几何是完备的,一致的,那哥德尔定理错了吗?没有,哥德尔定理的正确可以反证欧氏几何体系肯定没包含初等数论，欧氏几何的复杂程度与数的复杂程度不在一个数量级上。
XXFF
| 发表时间：2005-11-12, 20:24:49 |
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星空浩淼
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Re: 渐近级数（上）
XXFF兄说的我不太赞同。传统数学可以化归为形式数论系统
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| 发表时间：2005-11-13, 21:46:38 |
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