kanex
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乱谈与zeta有关的一个东东
首先，假设我们有一个群。
怎么把群和拓扑联系起来？我们可以据此构造一个Eilenberg-Maclane space，例如最简单的K(G, 1)。
从Hirzebruch-Riemann-Roch，我们可以算它的Holomorphic Euler characteristic：dimH0 - dimH1 + dimH2 - ...
大家会想，如果这个级数发散会如何？很显然，对于有torsion的群，我们得到的都会是一个无穷级数。
例如SL(2, Z)会得到zeta(-1)。具体怎么得到的，研究中。
从group cohomology的角度我们也可以算一个dimension，不过如果级数无穷，这个也是无穷。
不过，还是有办法硬算某某群的Euler characteristic。
我们举个例子，最经典的SL(2,Z)。现在让我们找找它的torsion-free normal subgroup－－嗯，取commutator就可以了，还是free的，有两个generator。所以它的Euler Characteristic就是一个点减两个边，等于-1。SL(2,Z)除一下它，等于12。
所以，X(SL(2,Z)) = -1/12 = zeta(-1) !
事实上，早在1971年，G. Harder就说：X(SP(n,z)) = zeta(-1) * zeta(-3) * ... * zeta(1-2n)。
这个结果很漂亮，自然的想法是进一步试图构造出对应于riemann zeta的拓扑空间。至于有没有成功的例子，我不知道。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-15, 05:32:26 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈与zeta有关的一个东东
写得很好。
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帝乡明日到，犹自梦渔樵
| 发表时间：2005-11-15, 14:01:40 |
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kanex
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Re: 乱谈与zeta有关的一个东东
这篇怎么没人回复。。。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-19, 08:18:56 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈与zeta有关的一个东东
我不是回复了吗？
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| 发表时间：2005-11-19, 08:26:19 |
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星空浩淼
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Re: 乱谈与zeta有关的一个东东
“大家会想，如果这个级数发散会如何？很显然，对于有torsion的群，我们得到的都会是一个无穷级数。”
这个地方，容易让人误解楼主混淆“发散级数”与“无穷级数”两种概念。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-11-19, 09:01:50 |
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kanex
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Re: 乱谈与zeta有关的一个东东
噢，这个的确是很模糊地说一下：不无穷就肯定不发散，无穷就挺可能发散；具体什么时候发散什么时候不发散是另外的事，自有理论去关心。
我不是数学系的，所以说话不严格 ；）
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-19, 09:05:00 |
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星空浩淼
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Re: 乱谈与zeta有关的一个东东
只有针对无穷级数，才会去关心它的敛散性
只有无穷多项相加的“无穷级数”，才是人们常常感兴趣的级数。
这是高等数学的内容，跟是否学数学专业无关。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-11-19, 09:14:18 |
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Alex
