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萍踪浪迹

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（原创）从Minkowski时空到瞬子模空间

（原创）从Minkowski时空到瞬子模空间
作者：萍踪浪迹（王善钦）
从流形（manifold）观点分析，Minkowski时空流形是Poincare群作用下的齐性流形。在Poincare群的十个生成元中，四个坐标轴的平移和三个不涉及时间轴的旋转均不改变时空线元，这很好理解。而三个伪旋转则是著名的Lorentz变换。

Lorentz变换不改变时空线元，选取不同参照系，各个参照系中的时间和空间的测量是不一样的，时间延缓和长度收缩是众所周知的事实。但是同时我们知道时间和空间作为统一体，其“长度”在各个惯性参照系中上一样的。

将时空线元以如下形式表达：ds^2=dx^2+dy^2+dz^2-dt^2，其不变性在经典电动力学中都已经是显见的事实了。这是后来Einstein半开玩笑地把相对论称为“绝对论”的原因之一。同时，数学家Klein也认为相对论是不变量理论。

这使得我们可以把相对论与单位圆上的点类比，点在单位圆圆周上运动时，x绝对值增加则y绝对值减少，x绝对值减少加则y绝对值增加，但是，dx^2+dy^2是不变的。从复平面上单位圆分析，则可说成是，单位圆上矢量模长不变。我们可以看到Minkowski时空线元也是如此，令w=it，则ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^2，可以看成是五维空间中的四维球面，空间坐标变化与“虚时间”坐标变化互相“抵消”，相对论的许多奇怪结论在这样的类比下就一目了然。

将时间虚化的工作绝不是某些人士宣传的那样由Hawking引入（这些人只懂Hawking，不懂物理，以致于我都怀疑Hawking的物理，因为那些片面的吹捧实在让我倒足了胃口），也不是绝大多数人认为的那样由Minkowski在1908年引入，事实上早在1904年数学大师Poincare就已经走出这一步。很遗憾，他老人家很多工作都由于主观和客观原因的种种影响而没没有深入下去，这个工作也是这样。Minkowski是在他过去最反感的“懒狗”学生Einstein创立出相对论以后透彻理解这个理论后将时空理论纳入几何体系中的。

我们知道在路径积分（泛函积分）中就是将时间虚化后进行处理。路径积分理论形式以精炼的方式给出了量子场论的重要关系，例如微扰展开，Ward-Takahashi等式，并在量子场论和量子统计里被广泛应用。量子场论中的许多重要物理量，例如Green函数和S矩阵都可表示成产生泛函的对外源的变分。

将三个空间坐标记为空间矢量q，时间极为t，对于时空中两点，我们就可以以（ q_1，t_1）和（ q_2，t_2）来标记,粒子在t_1位于q_1处，那么它在t_2位于q_2处的几率振幅记为

F（q_2，t_2；q_1，t_1）≡< q_1，t_1| q_2，t_2>，这就是著名的Schwinger变换函数。

知道了Schwinger变换函数就知道了量子场论中的大量实质性物理。而Schwinger变换函数可以表现为对于q的路径积分。当然我们必须定义时间段的切分和本征矢的完备性和正交归一性。

同样， Green函数也可以翻译成路径积分形式，引进Schwinger的技巧，在Lagrangian中引进一个外源项L_e=J(t)•q(t),定义W[J]，一旦我们求出W[J]，就可以得出量子场论中的各种Green函数，例如非常重要的n点Green函数。

在具体的计算过程中，我们必须采用时间向虚轴延拓的方法，也就是所谓的Wick旋转，这就从直接意义上继承了Poincare的思想但是又极其精彩地深化了这个思想。将时间虚化的Wick旋转相当由Minkowski时空转变到Euclidean时空。

根据Wightman公设，如果我们能在Euclidean空间构造一套场论，再将其中Euclidean时间代以虚的Euclidean时间，我们就得到物理的Minkowski空间里的场论。从而我们得出Euclidean空间的产生泛函W[J]，计算出W[J]后再延拓回实时间，就得到了物理上的Green函数。由W[J]所得到的函数，一般包括有复杂的Feynman图，其中也包括由一些不相连的图形组合而成的图形，也可包括单粒子可约图形。这里，时间虚化后再实化起到了极其重要的作用，我们也可以看出相对论思想与相对论性量子场论不绝如缕的关系。

如上面所说，我们能够自由采用时间虚化技巧，是由于对Wightman公设的默认。在Euclidean空间中，我们在无穷远出加上一点，就可以将非紧致的Euclidean空间紧致化，从而成为紧致的同维球面，比如，复平面在经过这样的处理后成为扩充复平面，可以与Riemann球建立共形映射。同样道理，四维Euclidean空间紧致化后在共形等价意义上成为四维球面。我们将物理上的四维Minkowski空间，经过Wick旋转后成为四维Euclidean空间，经过紧致化后可以很方便地分析其中的光锥结构以及其他更重要的课题。

将Minkowski空间的分析过渡到Euclidean空间后进行紧致化，化为四维球面的分析，在规范场论研究中起到重要作用。我们考虑四维球面上2形式及其对偶形式，当没有与物质场耦合作用时，其作用量可以写成其上2形式F与其对偶形式*F的外积（wedge product）求积分后与-1/4的乘积。这里*为Hodge星算子（Hodge star operator）。

从这个方向走，我们可以讨论Yang-Mills场的自对偶解即瞬子。瞬子的定义必须先通过定义Hodge星算子* 的定义才可以得出。为了不涉及过多的解释，我先跳过这个定义。微分形式在Hodge星算子*的作用下，本征值为1和-1分别对应自对偶解和反自对偶解，分别称为瞬子解和反瞬子解。

对于四维Minkowski空间，微分形式在*作用下可以写成：*F=+/-iF

对于四维Euclidean空间，微分形式在*作用下可以写成：*F=+/-F

两者虽然只相差一个因子i，但是差别巨大，因为对于Minkowski空间的规范场，规范群不能为紧致Lie群而只能为非紧致Lie群，而Euclidean空间的规范场没有这个限制，这使得我们考虑Euclidean空间，所以许多著作中瞬子解的讨论通常以Euclidean空间为基础的原因之一。在四维Euclidean空间E^4中，连续两次用*，很容易得出：**F=F。

自对偶规范势A对应自对偶规范场F，F即为瞬子。瞬子解的自对偶性质是拓扑不变的。以规范群G中的元素g作用于A上得g（A），以g（A）为联络得出的规范场也是自对偶的。在规范场论中，联络的重要性不低于曲率的重要性（但是我并不轻易认同“联络的重要性大于曲率的重要性”这个看法），将所有瞬子解“模去”规范群作用，即略去规范群自由度后就可以得到自对偶规范势A的模空间，这就是瞬子解模空间的由来。我们可以讨论它的维数。定义Yang-Mills椭圆复形后可以定义其解析指标，看到这里，细心而具有一定基础的读者应该联想到Atiyah-Singer指标定理了。不错，就是根据Atiyah-Singer指标定理，我们可以直接计算瞬子模空间维数。

至此，我这篇文章的主要目的已经达到，大家可以看出从Poincare对于时间虚化的粗糙工作到Einstein不经意的深化与Minkowski的直观化，到量子场论的辉煌应用，直到Yang-Mills规范场论瞬子解的讨论，我们看到了一个看似形式化的“虚化”操作之中蕴涵了多少神奇与惊叹。1982年Donaldson应用四维Poincare猜想的肯定结果（Freedman）结合瞬子的讨论，证明四维Euclidean空间E^4具有的微分结构非唯一，一举震动了数学界和物理学界。Donaldson还发现，一个瞬子系列的极限可以为一个Diracδ函数，使得δ函数成为联系四维流形与瞬子模空间的关键。Donaldson将四维Euclidean空间中的瞬子复射影平面上的代数向量丛相联系，解决了E^4中所有瞬子种类问题，并以同样技巧研究Dirac的磁单极问题，将磁单极模空间与单复变有理函数空间等同。这里我们又戏剧般地看见了Poincare与Dirac的伟大身影，确实，Poincare和Riemann一样给我们时代的数学以无比重大的影响，同时也和Riemann一样深深影响物理学，Riemann有他的几何学，而Poincare有他的拓扑学。虽然我们知道Poincare只提出了三维情形的Poincare猜想，但是多维的推广是很容易被想到的，他构思了一条智力的深河，别人加上一瓢水，于是无数数学的老鼠跳进了这条深河。一如Weyl神情悼念Hilbert时所形容的那样，无数老鼠被那个吹笛手的美妙绝伦的笛声引诱进那条数学的深河。Hilbert如此，Poincare也是如此。这里，我们也看到了沉默寡言的Dirac的神来之笔，他的许多思想也像Poincare那样没有深入研究，但是却给后世那么多富于成果的研究课题。

2005-11-16 凌晨2：36

漫漫长夜不知晓日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵

发表时间：2005-11-15, 13:19:07