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萍踪浪迹

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（原创）Dirac代数与旋量分析

（原创）Dirac代数与旋量分析
作者：萍踪浪迹（王善钦）
事后诸葛往往感觉数学和物理发展中有很多奇怪的事情，比如光子场的二次量子化在1927年就已经由Dirac完成，Jordan等人也随后完成电子场的二次量子化，而相对论性量子场方程在1928年得出时却反倒没有满足量子场中粒子的产生和湮灭情况。所有这些使得电子的相对论性量子场方程即Dirac方程注定是量子场论的过渡形式，必须经过二次量子化，定义出产生算符和湮灭算符，才可以自洽应用。

即使如此，Dirac方程的伟大意义也无法削弱，它自动给出电子的内禀角动量，而不再像此前的量子力学那样强加上去，也因此体现了第一性理论的无穷魅力。它还给出了氢原子的精细结构和电子磁矩的精确计算。

Schrodinger方程采用了非相对论Halmilton函数经过代换后得到，因此注定了它的非相对论性，1927年，Klein和Gordon给出的方程，以相对论的能量动量关系式出发，得出了Klein-Gordon方程，这个方程是二阶方程，无法解决负几率困难。

1928年，Dirac在保持相对论性的前提下，将二阶方程降为一阶，从而使方程个数增加一倍，同时为了保持线性性质，他给出了电子的四分量方程即著名的Dirac方程。也开始了旋量分析的伟大转折。

在Dirac方程的讨论中，γ矩阵（Dirac矩阵）是核心课题，γ_1，γ_2，γ_3，γ_4有着重要的对易关系，令i，j=1，2，3，4，则γ_i平方为1，γ_iγ_j=-γ_jγ_i，这样我们可以得出以下组合：

1，1个独立元

γ_i，4个独立元，γ_1，γ_2，γ_3，γ_4

γ_iγ_j，6个独立元，γ_1γ_2，γ_1γ_3，γ_1γ_4，γ_2γ_3，γ_2γ_4，γ_3γ_4

γ_iγ_jγ_k，四个独立元，γ_1γ_2γ_3，γ_1γ_2γ_4，γ_1γ_3γ_4，γ_2γ_3γ_4

γ_iγ_jγ_kγ_l，1个独立元，γ_1γ_2γ_3γ_4

我们记γ_5=γ_1γ_2γ_3γ_4，为手征元。

以这16个（1+4+6+4+1）独立元为基矢量可以张成数域上的16维线性空间，正如我们所知，一元数R是数域上一维线性空间，二元数C是域上2维线性空间，四元数Hamilton数是域上4维线性空间，八元数Cayley数是域上8维线性空间。现在出现的这个16维线性空间中的数称为十六元数，也称为Clifford代数或者Dirac代数。由于物理文献中大多称为Dirac代数且它在物理中的重要作用大多因Dirac矩阵而起，所以我们采用Dirac代数这个称谓。

将Dirac代数的16个基记为γ_A，容易知道，γ_A都满足Hermite性。我们可以计算出Dirac矩阵乘积求迹的情况，奇数个Dirac矩阵乘积的迹以及γ_5的迹都为零。利用对易关系可以得出其他情形下的乘积求迹情况，由以下结论：

Tr（γ_A）=0，当γ_A≠1

Tr（γ_Aγ_B）=4δ_AB

从上面的结果可以进一步证明16个γ_A的线性独立性，并可证明其满足正交性和封闭性。

Dirac矩阵的表示有Pauli表示和Majorana表示。大多数量子场论都提及二者但采用前者。Dirac方程的相对论协变性是明显的，但是电子的四分量波函数ψ的变换规则与一般张量的变换是不同的。实际上ψ是Lorentz群的双旋量表示，由双旋量的二次形式可以形成双旋量的各种张量。ψ复共轭与γ_A和ψ三者乘积形成5种Lorentz张量：标量，矢量，反对称2阶张量，赝矢量，赝标量，独立元个数分别为：1，4，6，4，1。这些张量关系对于讨论量子场的相互作用有着极其重要的作用。

从形式上说，将矢量开方就可以得出旋量，这一点恰恰是Dirac方程的重要一步，Dirac将Klein-Gordon方程两边都开方，得出能量算子，得出了Dirac旋量，他首先完成了Minkowski时空中能量算子平方的开方，引入4维Minkowski时空 E^3，1中的旋量。

但是在旋量研究这一点上伟大的Euler实在太过超前。1770年Euler将三维Euclidean空间E^3中的矢量开方得到旋量，他研究了矩阵（x^2+y^2+z^2）I^2=W^2， W=xσ_1+ yσ_2+ zσ_3，，写成（2，2）矩阵，第一行为（ z，x-i y），第二行为（x+i y，z），所以det W= -（x^2+y^2+z^2）。将整个空间转动，令旋转轴为矢量（m，n，l），则转角为θ=2arctan1/2（m^2+n^2+l^2）^（1/2）。

在这里θ的表达式中有因子2，所以必须旋转两周后旋量才会回到原处，因此旋量W成为矢量V的2重覆盖。凭借这个精彩的研究，Euler发现了SO（3）的第2种表示，即旋量表示。

旋量的表示与空间度规直接相关，因为我们是用度规缩并后开方得到旋量的。Euler研究的是E^3中的旋量，而Dirac研究的是E^3，1的旋量，但是我们并不需要将度规限制到等距这么严格的程度，事实上，旋量结构只依赖于度规的共形等价类，即旋量结构具备共形不变性。由于E^3，1的光锥结构共形不变，因此de Sitter空间的迷向矢量（模为零的矢量，也称为零模矢量，null vector）决定了时空的光锥结构，迷向矢量开方得到的旋量是最简单的旋量，Cartan称之为纯旋量，而Dirac旋量描述的是电子的波函数，电子速度小于光速，在时空图中的运动形成的世界线位于类时区，因此不是纯旋量可以描述。不过，纯旋量的研究仍然具有重要理论意义，因为我们经常从特殊情况出发，然后以这种情况为对照的模型来研究更复杂的情况，比如说微分几何中就应用Jocobi场理论对常曲率空间与普通空间的一些性质进行比较，得出大量有意义的“比较定理”，用的就是特殊情形与一般情形的对照研究。

什么情况下，旋量为纯旋量？在维数小于7时，奇数维空间的Dirac旋量和偶数维空间的Weyl旋量都是纯旋量。而四维时空的Dirac旋量显然不是纯旋量。纯旋量在超引力和超弦理论中有重要作用。只有Ricci平Kahler流形（Calabi-Yau流形）上才存在可平行纯旋量场，相应和乐群可以由U（n）约化为S U（n）。所有经典Lie群都是R上n为线性空间线性变换群GL（N，R）的子群，但是旋量群则不是，它们是SO（O）群的覆盖群。7维以下的旋量群并不需要由Dirac代数来实现，但是7维以上的旋量群则必须通过Dirac代数的矩阵表示实现。

事实上，用经典的Pythagoras定理可以研究出z^2=x^2+y^2可以得出2分量纯旋量。从中也可以看出，古老的东西在赋予新的意义后可以焕发出的迷人光彩。在实际研究中，为了得出旋量表示，我们常常将空间复化，因此旋量通常与流形的切丛复化有关，流形是否具备近复结构（almost complex constructure）往往决定了它是否具备（局部）旋量结构。流形若有近复结构，且近复结构可积，则成为复流形。

E^3，1中选定Minkowski度规后得出η_μν=diag（1，-1，-1，-1）或者η_μν=diag（-1， 1， 1， 1），依不同约定而采用。此时时空线元可以采用Einstein求和约定写成ds^2=η_μνdx^μdx^ν，上标和下标必须有严格对应，确保协变矢量和逆变矢量的对应。我们知道，在n维矢量空间中，协变矢量和逆变矢量一般不相等，在取定正交坐标系后，二者相等。但是在Minkowski空间中，虽然取定了“伪正交”坐标系，使得度规可以写成对角形式，但是协变矢量和逆变矢量还是不一样的，所以必须写清指标。

研究de Sitter空间的迷向矢量（零模矢量）即光锥上的点，由于ds^2=0，所以可以写成t^2-x^2-y^2-z^2=0，化为x^2+y^2+z^2= t^2。

用t=1的超平面横截这个光锥，得出x^2+y^2+z^2=1。这个操作称为天空映射，通过将（x，y，z）化为复坐标的球极投影变换和逆变换，可以解出光锥各个迷向矢量坐标（具体计算参阅侯伯元与侯伯宇教授的优秀著作《物理学家用微分几何》，科学出版社，2004.8，256），从而得出迷向矢量的2分量旋量。

旋量变换形成旋量群，为相应Lorentz群的2重覆盖。4维流形上有四种基本旋量场，逆变旋量场，协变旋量场，逆变共轭旋量场，协变共轭旋量场，由这四种基本旋量场构造张量积可以形成流形上各种张量场。

旋量分析的重要性还表现在将各种张量场写成旋量场后使得分析变得非常简洁。尽管这个过程比较让很多人痛苦，但是我想说，如果旋量学不好，张量分析的功底也可能有问题。将电磁场张量F_ab（熟知它是反称2阶张量）写成旋量形式相当于将Hodge星算子作用于场量上进行本征空间分解（依其本征值为1和-1而分解），从而可以根据Hodge星算子的本征值很容易将F_ab分为三种：实张量，自对偶张量，反自对偶张量。对于引力场，我们应用旋量分析，可以得出著名的Petrov分类。

上面说过，旋量结构在局部上依赖于流形的共形等价类，但是流形上整体旋量场的存在性则要受到拓扑限制，只有其上的第一和第二Stiefel-Whitney示性类为零时，其上的SO（N）标架丛才可以提升到Spin（N）（n维旋量群）标架丛，从而具备旋量群结构。其中，第一Stiefel-Whitney为零是为了保证流形的可定向性，将O（N）标架丛约化为S O（N）标架丛。流形上附加结构的整体存在性往往受到强烈的拓扑限制，自旋结构如此，其他结构也如此。比如，紧致Hermite流形上最高阶上同调群非零，而紧致Kahler流形上所有实偶数维上同调群都不为零，Calabi-Yau流形是特殊的Kahler流形，要求第一Chern类为零从而是Ricci平Kahler流形。这些结果告诉我们拓扑学在这些问题中的基本重要性。

2005-11-16， 17：30

漫漫长夜不知晓日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥
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红叶晚萧萧，长亭酒一瓢
残云归太华，疏雨过中条
树色随山迥，河声入海遥
帝乡明日到，犹自梦渔樵

发表时间：2005-11-16, 04:33:54