萍踪浪迹
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（综述）代数簇双有理等价与奇点消解
虽然发现这里有很多精通代数几何的高手，但是为了向初学者普及一下，就写点初等的东西，献丑献丑。以后会抽空陆续写这个话题，从古典代数曲线到Riemann面到意大利学派与法国学派的代数曲面工作，再到法国学派尤其是Grothendieck的工作，以及模曲线等一系列课题，慢慢积累，大家共同讨论：）
代数几何的基本研究对象是（代数簇）的性质，古典意义下的代数簇定义是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点集合。代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。从20世纪20年代起，van der Waerden，Noether的抽象代数工作使这个概念本质代数化。Weil模仿微分几何中流形的定义方法，将代数簇从外在空间中解脱出来，从而形成了内蕴定义的代数簇，这个成就相当于Gauss在1827年的内蕴微分几何工作以及Riemann在1854年的推广。由Weil得出的代数簇称为抽象代数簇。这个拓展的意义是重大的，因为后来永田雅宜和Hironaka就构造出无法同构于射影空间中子集的抽象代数簇，从而使得代数簇的古典定义显得过于狭窄。Serre指出，微分流形与解析空间作为环式拓扑空间的统一定义也可以类推到代数簇，于是代数簇被定义为一个戴环空间（ringed space）。1958年，Grothendieck在Eddingberg国际数学家大会上设想了通过与概形理论相联系进一步推广代数簇概念的可能性。从而将代数簇定义为域k上有限型的约化概型。
复数域上所有代数簇都具有复解析空间结构，因此可以应用拓扑学和超越方法给予研究。同时，由于复解析空间是复流形的推广，所以研究中自然可以应用微分几何和多复变函数论的相关工具。但是现在代数几何的一个重要方向是有限域上的代数簇研究。著名的Weil猜想就是在这个框架中进行讨论的。
代数簇V上所有以代数式定义的所有函数全体形成一个函数域，称为V的有理函数域。它是基域的有限生成扩域。代数簇V关于基域的维数可以定义为V的有理函数域在基域上的超越次数。
一个代数簇V_l到另一个代数簇V_2的映射称为双有理映射，如果它诱导V_l的有理函数域到V_2的有理函数域之间的同构。如果两个代数簇V_l与V_2分别有稠密开集U_l与U_2，可以建立起U_l与U_2之间的同构，则V_l与V_2是双有理等价的。这个等价于V_l与V_2的有理函数域同构。
奇点消解就是对于任意一个代数簇找出一个非奇异代数簇与其双有理等价。
我们可以先看代数曲面的情形，此时双有理等价的定义方式更加初等一些。
两个曲面S_1, S_2之间的一个有理映射φ：S_1→S_2是指从S_1的一个Zariski开集到S_2的一个态射。如果φ有一个有理逆映射ψ：S_2一S_1，则它称为一个双有理映射，这时S_l和S_2称为双有理等价的。双有理等价是曲面的一个重要的等价关系。两个双有理等价的曲面具有相同的几何亏格、不规则性和Euler-Poincare特征标，但Chern数和Picard数不一定相同。
在代数曲面研究中还有“爆发”这个重要概念。爆发是一类特殊的双有理映射。下面的定理说明所有的双有理映射都可以由爆发及其逆映射组合面成：
1)光滑曲面的任一双有理态射都是由爆发复合而成的。
2)设φ：S_1→S_2为光滑曲面的一个有理映射，存在一个曲面S以及两个态射：φ_1：S→S_1和φ_2：S→S_2，其中φ_1是由爆发复合而成的，则存在φ：S_1→S_2。
爆发在曲面的一个双有理等价类中建立了一个半序关系。关于这个半序关系的一个极小元称为极小曲面。双有理等价于给定的曲面S的极小曲面也称为S的极小模型。根据爆发和(-1)-曲线之间的关系，一个曲面S为极小曲面当且仅当月中不含(-1)—曲线。由上述定理立即得到，任一曲面S都有极小模型，我们可以把其中的(-1)-曲线一根一根地收缩掉，而由于每收缩一次，曲面的Picard数都下降1，最多经过有限多次收缩，一定可以得到一个极小曲面。
代数曲线的奇点消解本质上正规化，因此是不难的，我们看看曲面中曲线的嵌入奇点解消定理：
设C是曲面S中的一条既约曲线，则C的奇点可以通过从S出发的有限多次爆发之后被解消。严格原象和完全原象的概念也可以推广到由N次爆发复合而成的一般双有理态射的情形。
对于代数曲面自身奇点的消解定理，十九世纪末开始就有许多代数几何学家对此进行研究，但是由于都是应用超越方法，得出的结果都不够严谨。第一个严格证明是Walker与Zariski于20世纪30年代给出的。Zariski对特征为零的域给出了代数曲面奇点消解的纯代数证明，1944年他给出了特征零域上三维代数簇奇点消解的证明。对于特征为p（有限域特征必定为素数p，这是抽象代数的基本结论）的域上的代数曲面的奇点消解于1956年得出。
但是对于三维及三维以上的代数簇，其奇点消解非常困难，1967年，Hironaka证明了解决了特征零域上n维代数簇奇点消解问题。当然，他的证明是在概形的框架下描述的。Hironaka这个结果而获得Fields奖。
而特征为p的域上的代数簇或者推广些说概型的奇点消解仍然没有解决。
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| 发表时间：2005-11-17, 23:44:19 |
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轩轩
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
o , nice paper, 佩服佩服kodaira的嵌入定理我一点也不懂得
twistor与sheaf上同调关系密切 我也不懂得
科普一点的话 希望你下次来讲讲一系列 campbell whitney nash kodaira 嵌入定理
你在南京这几年跟哪位老师学的那么多数学??
难道全是自学的??
witten有300多篇文章,评价他我用2个字:大文豪.
《相对论通俗演义》
i will love you till the null infinity.
| 发表时间：2005-11-18, 00:17:07 |
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
都是自学的。
Kaidaira的消灭定理是很精彩的。
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| 发表时间：2005-11-18, 00:27:28 |
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
一个导师所能教你的，永远只是他自己熟悉的那一小块领域的东西
想多学就只能自学，这是一个极其艰苦的历程
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| 发表时间：2005-11-18, 00:30:36 |
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萍踪浪迹
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
模簇双有理等价方面有一个很有名的结果：Mumford的稳定曲线的模空间与Satake（佐武）的紧致化模空间之间有一个典范的双有理态射，它把所有具有相同的Jacobi簇的曲线所对应的点映到同一个点。
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| 发表时间：2005-11-18, 08:54:10 |
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那一剑的寂寞
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
萍踪浪迹,你能否讲讲范畴论,我越来越感到这个东西的重要性了,这不仅仅是一种抽象的形式,在对代数几何和同调代数这样的学科,真的是太有用了.
| 发表时间：2005-11-18, 12:04:10 |
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萍踪浪迹
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
你能否讲讲范畴论,我越来越感到这个东西的重要性了,这不仅仅是一种抽象的形式,在对代数几何和同调代数这样的学科,真的是太有用了.
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一堆抽象东西
当年自己也犯晕
有空会写一点简单介绍
但我不是这方面的学者，恐怕也只能写到简介的程度
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| 发表时间：2005-11-19, 05:55:33 |
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星空浩淼
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
萍踪兄，你现在写的速度已经超过我看和消化接受的速度：-）
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-11-19, 08:48:40 |
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萍踪浪迹
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Re: （综述）代数簇双有理等价与奇点消解
呵呵，不用担心消化不良
我下周就要暂时停工了：）
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| 发表时间：2005-11-19, 09:15:44 |
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