kanex
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乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
论坛里的高手没时间写这个，那我就来班门弄斧胡说八道一番了，呵呵。
简单地说，Atiyah-Singer就是Gauss-Bonnet加Grothendieck–Hirzebruch–Riemann–Roch再推广到一般的Compact Manifold without Boundary上的Elliptic Complex。当然后面还有Atiyah-Patodi-Singet，Callias-Bott-Seely等等推广，总之名字越来越长 ：）
下面看看A-S的具体形式。我看的书是物理学家写的，可能符号与系数有点出入。
ind(E,D) = (-1)^(m(m+1)/2) Integrate_over_Volume_of_M[ch((-1)^r*E_r)*Td(TM^c)/e(TM)]
E是bundle。D是Fredholm Operator，嗯，就是Finite Dimensional的Elliptic Operator，Elliptic Operator能构建出Elliptic Complex，例如大家喜闻乐见的de Rham complex，还有什么Dolbeault Complex，Spin Complex，Signature Complex等等许多，总之就是DD=0。Elliptic Operator的严格定义还要费点小小周折。
ind(E,D)是什么？就是dim ker D - dim coker D，等于dim ker D – dim ker D+。当然这个等号还要个theorem证。ind(E,D) = sigma_i=0_to_m[(-1)^i*dim H^i(E,D)]。这个以前的定理有过了。
后面的东西比较杂，不过和大家之前见过的还是八九不离十，呵呵。Chern－－做bundle天天碰这些Characteristic Class，Todd――又碰了，Euler――……
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结语：本人资质愚钝，想不到这种推广的深刻意义有多大。倒是想做做Categorify，恐怕会让背后的东西更清晰明确一些。不过我想肯定有人做过了。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-18, 11:35:40 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
这个定理的预备知识实在太多，写起来几乎无从下手
从代数几何上看，是最自然的
因为本身就是Riemann-Roch在代数曲线上的分析入手的
Grothendieck的推广已经在数学形式上走向颠峰了
至于APS等等，相比之下，反倒不怎么样
这个定理的证明比较有趣但很难
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| 发表时间：2005-11-19, 05:59:01 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
Elliptic Operator的严格定义还要费点小小周折。
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我代劳了：）
微分算子在余切丛空间中可以引入与其对应的象征（symbol）
相当于在x点领域对截面作Fourier变换
微分算子的类别由其最高次微分项决定
因此对算子的最高阶项进行Fourier变换
称为此微分算子的主象征（leading symbol）
当k处于除去原点的复仿射空间中
若算子的主象征的行列式不为零
则称为Elliptic Operator
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| 发表时间：2005-11-19, 06:49:48 |
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卢昌海
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
惊艳啊，kanex 一段时间没来，学了新招了。鼓励ing！
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2005-11-19, 07:19:10 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
例如大家喜闻乐见的de Rham complex，还有什么Dolbeault Complex，Spin Complex，Signature Complex等等许多，总之就是DD=0。
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Dolbeault上同调与de Rham 上同调各有所长，应用很广
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| 发表时间：2005-11-19, 07:26:04 |
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kanex
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
萍踪的定义我知道，不过觉得对物理来说严格的定义不怎么重要，所以没写了。
过一阵再剖解一下左右为何相等。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-19, 08:21:37 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
萍踪的定义我知道，不过觉得对物理来说严格的定义不怎么重要，所以没写了。
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我当然知道你知道了
所以才说代劳
为了让其他人看明白
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| 发表时间：2005-11-19, 08:25:47 |
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kanex
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
赫赫。
下一篇写一下Category。
不过，哎，我真的觉得自己很危险－－这些东西，自己看花了功夫，可不过是高不成低不就的一点皮毛，有什么用呢？不自己看的人，也不过是迟一两年明白，而且更系统得多。
以我这样的半吊子水平，申请真的是半点希望都没有。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-19, 08:31:18 |
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kanex
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
12月中，就是交表格的时间了。是的，只有这么一点点时间了。
我是个特别懒惰的人，平时很散慢，全考临考试前一两天的突击，成绩很一般。所以只有靠别的东西了。要说别的东西，Computer Science的话还有三四点拿出去都觉得丢人的东西，Physics可就半点都没有了，怎么办，怎么办。。。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-19, 08:36:30 |
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星空浩淼
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
kanex将来是这里的第二个萍踪了
kanex唯一要注意的是尽量每一个走稳走扎实，不要急于求成。
唯有与时间赛跑，方可维持一息尚存
| 发表时间：2005-11-19, 08:59:19 |
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萍踪浪迹
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Re: 乱谈Atiyah-Singer Index Theorem
12月中，就是交表格的时间了。是的，只有这么一点点时间了。
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申请哪个学校？
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| 发表时间：2005-11-19, 09:18:34 |
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