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kanex

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从Category到Higher Gauge：现代数学与物理的抽象与高维化演进

从Category到Higher Gauge：现代数学与物理的抽象与高维化演进〔1〕

彭博

名字似乎太长了些。按照常理在写这种大题目之前应该来一番历史背景与伪科学的感叹，不过这次我们单刀直入，呵呵。本人学识很有限，错误与遗漏一定不会少，还请诸位高手多多赐教。我希望适应面广一点，所以一开始讲得比较基础。

我们首先来看一下Categorification与Decategorification。Category Theory的创始人说创建的目的是为了研究Natural Transformation，不过我们这里换一种比较heuristic的approach。我们回顾一下自然数的起源。据说自然数起源于人们点数的过程。如果某原始人想比较两堆石头数目的多少，那么在没有自然数概念之前的方法就是把两堆石头一个对一个地摆出来，然后看看哪堆的石头先用完。这或许是一个笨办法，不过却有着深刻的内涵，在许多年后才为人所发现。不过如果原始人懂得自然数的话，只要分别点一点两堆石头的数量，然后比较一下这两个数的大小就行了。

先不用morphism、functor等抽象术语，我们来仔细看看此过程。先假设石头都一样，第一堆石头是ooooo，第二堆是ooo，那么点数时我们把ooooo做一个“对应”到5，把ooo做一个“对应”到3，而ooooo和ooo之间比较大小的操作（我们这里把比较大小看作是一个得到{大,小,等}的二元运算）“对应”到5与3之间比较大小的操作，比较的结果也“对应”到了相应的结果。我们可以把这种对应画出来，叫Commutative Diagram，可惜在这里画很不方便，所以大家自己想象吧。

在此值得我们注意的是，在做“对应”的时候我们经常丢失原始物体的某些性质。石头可以打人，自然数似乎在这种用途面前太抽象了些；石头的大小形状可以不同，上面可以有不同的其它符号，石头之间还可以有不同的镶嵌、同色、同重量等等许多关系，而一个冷冰冰的3或5将这些抹得一干二净。所以我们说这个“对应”很“健忘”，是个forgetful functor，这是个Decategorification的过程。这个例子对于现代人来说也许有些可笑，不过许多年后的人们还是在重复着类似的行为，例如做费曼图积分就属于Decategorification。此乃后话。有过软件工程经验的朋友也会对此“心中一亮”，在此也暂不表。

本来下面应该谈Category的定义等等，不过我决定采用交错式的写法，谈Gauge Theory。虚虚实实才有趣味吧。

大家都很熟，所以简单地复习一下。先看Gauge Theory在物理学上的重要意义：

Yang-Mills: L = tr(F^*F)
EF Theory: L = tr(E^F)
General Relativity: L = tr(e^e^F) (Palatini formulation)

不熟悉也不要紧。在以后的章节里会把这里的符号全部解释清楚。

为何Gauge Theory在物理上如此重要？在此谈谈本人以前的物理观：物理，就是去除“可观测量”之间累赘自由度的学问〔当然，知道Decoherence的人都明白只有scattering amplitude谈得上是“可观测量”，不过这个比较难处理，现在先不谈，还是从传统的观点来看“可观测量”，例如位置、速度、质量、E场、B场等等〕。物理方程和构造各种数学结构的全部意义，在于去除这种理论中的人为因素。最后的美好愿望自然是“本来无一物，何处惹尘埃”，太极以至无极――打住伪科学。

不过，理论的自由度太少了有些坏处：形式与现实生活会差得越来越远。例如为了描述去除了物理场的Gauge自由度后的物理，我们需要使用Principle G-bundle。

我们不去谈太怪异的东西，例如Bundle的Base Space是否应该Hausdorff 或是Paracompact。Principle G-bundle，粗略地说就是在一个Base Space M〔物理一般用manifold〕之上依据一个Group G〔物理一般用Compact Lie Group〕建立一个结构，这个结构在每一点看起来都像是M乘上G-torsor，而且无论是到M的projection，还是bundle本身，都比较连续。具体的限制挺自然，不熟悉的朋友不必太在意。

如果有不熟悉Fiber Bundle的朋友，在此说个经典的例子：如果在S^1（圆周）上建立[0,1]纤维，那么可能建立成一个高度为1的纸筒〔这叫Trival Bundle〕，也可能建立成一个Mobius带，这个和纸筒就存在拓扑上的差异。研究建立的结构的各种特征，和它们之间的联系，就是Fiber Bundle所关注的。

那么这里比较新奇的东西是G-torsor，它是移除Gauge自由度的关键。简单地说，G-Torsor是个类似G群但忘记了群的单位元的结构。听上去有些奇怪，事实上无处不在。

举些例子。

一条线段的“长度”是什么？“长度的值”很正常，是一个正实数，属于G = {R+，乘法，1}，但“长度”可难说，因为如果我们不选取一个“单位长度”比不出“长度的值”――“长度”属于torsor。

经典力学中的“能量”是什么？“能量差”很正常属于G = {R，加法，0}，而“能量”属于torsor，因为能量零点的位置不定。

同理，量子力学中的能量也属于U(1)-Torsor。

另外大家学微积分的时候也接触过Torsor――大家一定很讨厌不定积分的那个Constant吧，呵呵。

再扯远点，初等的矢量运算。我们知道，如果不选取一个“原点”，很显然画不出箭头。然而即使原点的位置不确定，我们还是可以画出连接两个矢量的箭头。〔聪明的读者会发现一点：两个Torsor 的元素可以唯一确定一个Group的元素，那么两个什么的元素可以唯一确定一个Torsor的元素呢？2-Torsor。这是Higher Gauge的序幕〕

所以Torsor这个概念实在是很重要，值得在数学的早期教育中略为提一提。严格定义自己看书。

下集预告：
Category中的各种定义与构造，Connection on Bundle, Covariant Derivative, Classifying Space。

江畔何人初见月`江月何年初照人`

发表时间：2005-11-22, 08:56:24