yinhow
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球面的自同构群
球面的一般形式是x^2+y^2+z^2=1, 直观上保持这个球面不变的操作是旋转，专用术语就是SO（3）群。当我看到它的自同构群是PSL（2，C）是，很惊讶。还是直观想象，除了旋转，还有对原点的反演，通过主轴平面的镜面反射。其他的我就想不出来了。后来想到球面的共型平坦表示：
ds^2=\frac{4}{(1+ww*）^2}dwdw*
w=\tan(\theta/2)\exp(i\phi)
作以下变换时，ds^2的形式是不变的：
w->1/w, w->aw, aa*=1
后者有点PSL（2，C）的形式，但只是一部份。
| 发表时间：2005-11-24, 19:39:19 |
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星空与道德
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Re: 球面的自同构群
请问你想说的是什么意义下的自同构？一般来说有下面这些类型。
1，保持拓扑结构的拓扑同胚（或微分同胚）。很大的群。
2，给定球面上的共形结构（二维流形就是复结构），也就是说定义了角度但没有长度概念，考虑共形变换群。共形球面就是CP1，如果共形同构要求保持角度方向，则同构群就是PGL(1,C)=GL(2,C)/C*，他的复维数是3。因为给定3个点的像就决定了一个mobius变换。如果共形同构不要求保持角度方向，这时要加上反射之类变换，这些都是离散的。
3，给定球面上的度量（这时自然有了角度概念），比如从R3诱导的度量，要求同构是等距变换。
4，保持球面上某些固定点不变。考虑等距变换群。如果固定点个数为三，而且这三个点形成一个位置一般的三角形，则保持三角形的等距变换只有恒等映射。这说明（3）中的等距变换群是三维的。也就是说与SO(3)差一个离散群，
5，固定一个R3，要求保持球面到R3的嵌入映射不变，这时自同构群只有球面恒等映射。
一般来说，要保持的结构越强自同构群越小，自同构群都可以化为群作用下的Stabilizer.
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2005-11-24, 21:01:02 |
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星空与道德
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武功等级: 华山剑法
(第九重)
内力值: 360/360
Re: 球面的自同构群
（4）的推理是错的，因为球面是两维的，固定第一个点同构群维数降低2。只要固定两个一般位置的点就没有连续的等距变换了。两点决定一条直线（测地线），经过一个固定点的线在球面上的自由度是一维的，所以固定第二个点时自同构群只降低一维。
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2005-11-24, 21:16:07 |
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季候风
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Re: 球面的自同构群
PSL(2,C) 是黎曼球面的保角自同胚。每个元素可以扩张到球体的保角自同胚。保角自同胚是Poincare 度量的等距群。它不是黎曼球面的球面度量的等距群。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-11-25, 01:50:07 |
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yinhow
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Re: 球面的自同构群
我指的是经过一个操作，球面上的点还是落在球面上。
| 发表时间：2005-11-25, 02:06:20 |
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季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 球面的自同构群
说得更确切一些，球面保持定向的等距群是 SO(3), 但保角群是PSL(2,C).
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-11-25, 02:50:10 |
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yinhow
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(第二重)
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Re: 球面的自同构群
这样的话，经过保角变换，球面上的点就不一定落在原来的球面上了，这个理解对否？
| 发表时间：2005-11-25, 03:49:42 |
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yinhow
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武功等级: 弹指神通
(第二重)
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Re: 球面的自同构群
具体的话，球面经过保角变化后，变成什么曲面呢？椭球面？
| 发表时间：2005-11-25, 03:51:10 |
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萍踪浪迹
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武功等级: 深不可测
内力值: 645/645
Re: 球面的自同构群
具体的话，球面经过保角变化后，变成什么曲面呢？椭球面？
=================================================
如果我们考虑单位圆周，共形变换（保角变化）把圆变成圆
把圆变成椭圆的是“拟共形变换”。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-11-25, 09:25:15 |
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kanex
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Re: 球面的自同构群
how about S^n?
Anything to do with pi^m(S^n)?
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-25, 12:26:56 |
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季候风
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(第四重)
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Re: 球面的自同构群
反演几何可以在任意维数的球面上做。球面S^n的保角群都由关于低一维球面的反演生成。取一定的坐标系（具体取法不记得了），可以看到 S^n 的保角群是Lorentz 群 O(n+1, 1)。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-11-25, 13:25:49 |
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季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
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Re: 球面的自同构群
这样的话，经过保角变换，球面上的点就不一定落在原来的球面上了，这个理解对否？
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
自同胚当然是到自身的映射了，映射之后拓扑上还是球面，但是度量变了
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-11-25, 13:34:54 |
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星空与道德
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武功等级: 华山剑法
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内力值: 360/360
Re: 球面的自同构群
PSL(2,C) 是黎曼球面的保角自同胚。每个元素可以扩张到球体的保角自同胚。保角自同胚是Poincare 度量的等距群。它不是黎曼球面的球面度量的等距群。
----------------------
一个愚蠢的问题:
你说的是3维单位球体上的Poincare 度量吗？因为球面上不会有Poincare 度量。
季兄能否解释一下“保角自同胚是Poincare 度量的等距群。是什么意思？
是说3维单位开球体上的Poincare 度量等距变换在球面边界上的极限是黎曼球面上的保角变换吗？这样说是不是要先知道Poincare 度量在球面边界上的极限是什么样的度量？
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2005-11-25, 17:40:09 |
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kanex
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武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
Re: 球面的自同构群
国外某人写的：
For all n except n=2 and n=6, Aut(S_n) is S_n itself. I.e., S_n has
no outer automorphisms. Aut(S_2) is trivial, and Aut(S_6) is of
order 2*|S_6| -- there's a funky outer involution that swaps the (6)
cycles with the (3)(2) elements, and thus the (3)(3)'s with the (3)'s
and the (2)(2)(2)'s with the (2)'s. Of course, this also swaps all of
the appropriate subgroups of S_6 containing these types of
elements, perhaps most notably the transitive reps of S_5 with
the non-transitive ones (which are permutation isomorphic to S_5
itself).
The argument used to show that Aut(S_n) is usually S_n gives you that
Aut(S_6) has order |S_6| or 2|S_6|. So we have to find an automorphism
of S_6 not an inner automorphism. The classical approach is due to
Sylvester (or was it Cayley)?
S_6 acts on the numbers 1, 2, 3, 4, 5, 6. A duad is an unordered
pair of these numbers, eg 13 or 25. S_6 acts on these. A syntheme
is an unordered triple of disjoint duads e.g. 13/25/46. S_6 acts
on these too. A synthematic total is an unordered quintuple of
synthemes incorporating all 15 duads, e.g
13/25/46//14/26/35//12/34/56//15/24/36//16/23/45.
There are 15 duads, 15 synthemes and 6 synthematic totals.
Each permutation of S_6 gives rise to a permutation of the duads,
of the synethemes and of the synthematic totals. Labelling the
totals arbitrarily from 1 to 6 we see that each element of S_6 gives
rise to another via the permutation of the totals. Thus we get
a homomorphism from S_6 to S_6 which we see cannot be trivial.
But we can check
that a transposition (i j) permutes the totals without fixed points
so this automorphism is not linear.
The whole setup can be reversed. Each duad of totals corresponds to a
syntheme. Each syntheme of totals correponds to a duad and each
synthematic total of totals corresponds to a number. If we look at the
permutations of the set {numbers} u {totals} preverving the "structure"
we get a group of order 1440 having S_6 as a subgroup. This is
Aut(S_6).
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-11-26, 07:12:27 |
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gage
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武功等级: 空明拳
(第三重)
内力值: 415/415
Re: 球面的自同构群
将球面 S^2 看作扩充的复平面 C^ .
设A= a b
c d
为 2x2 的复矩阵，det A=ad-bc \not= 0.
我们有分式线性变换，又称为Mobius变换，
A(z)-->(az+b)/(cz+d)
因而 GL(2,C) 作用于 S^2 = C^ 上，核为对角矩阵构成的子群 D，
商 GL(2,C)/D=PSL(2,C).
如果将 S^2 看作射影空间，则可以得到高维的 Mobius 变换群 PGL(n,C).
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-19, 09:34:42 |
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