星空与道德
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总结季候风的帖子
现在我总结一下风兄关于双曲度量的帖子，如果有错误或补充，欢迎提出讨论。
参考帖子:
1,萍踪浪迹,（随笔）Riemann映射定理及其推广形式略谈.
2,yinhow,球面的自同构群.
概念：
度量：为叙述方便，在下面我说的度量都是指和某个度量等距等价的所有度量的集合。在这里我们不区分
等距等价的不同度量。在我们考虑度量的形变时，这个区分就很重要。
双曲度量：曲率为-1的常曲率度量。
共形等价类：所有共形等价的度量的集合，通常我们可以取定一个度量，然后将所有和它共形等价的度量
看成是一样的。一个共形等价类在一个流形上定义了一个共形结构，也就是定义了角的概念。
共形模空间：所有共形等价类的集合，以及这个集合上的空间结构。这个空间的一个点表示一个共形等价
的度量类。
开单位球: R3中点集{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<1}
闭单位球: R3中点集{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2<=1}
单位球面: R3中点集{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1}
结论:
1,开单位球上存在唯一的双曲度量.它定义了一个特殊的共形结构.
2,存在其他共形等价类,由(1)可知这样的共形等价类中没有双曲度量。
所以和开圆盘的情形不一样,三维时的共形结构分类不能通过双曲度量来做.
(回顾:单位开圆盘上只有一个共形等价类(黎曼映射定理),任何亏格大于1的紧致无边流形上的每个共形
等价类中存在双曲度量).
3,开单位球上的双曲度量诱导出它边界球面上一个黎曼度量.
4,保持这个双曲度量的等距变换在边界球面上诱导出一个共形变换.所以存在一个开单位球(双曲度量)的
等距变换群到球面的共形变换群的映射.当然,如果只是考虑球面的共形变换群没有必要把问题复杂化到三维.
5,与闭单位球共形等价的只有不同大小的闭球.所以在拓扑闭球上有一个共形模空间.
(回顾:由黎曼映射定理,开圆盘上不存在这样的共形模空间,但我对带边界的闭圆盘的黎曼映射定理不是很清楚)
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2005-11-26, 04:39:34 |
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yinhow
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Re: 总结季候风的帖子
问一个问题，对于双曲度量，我的理解是，给定一个度规g_{i,j}或者g_{z,z*}, 算出来的RICCI 曲率标量是常数-1。既然是标量，那么在任意（适合条件）的坐标变换下，它不变。这样说来，双曲度量岂不只有一种了？
| 发表时间：2005-11-26, 05:56:08 |
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萍踪浪迹
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Re: 总结季候风的帖子
对于双曲度量，我的理解是，给定一个度规g_{i,j}或者g_{z,z*}, 算出来的RICCI 曲率标量是常数-1。既然是标量，那么在任意（适合条件）的坐标变换下，它不变。这样说来，双曲度量岂不只有一种了？
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双曲度量是Riemann截面曲率(张量)为-1.不是Ricci曲率张量,也不是标量
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2005-11-26, 06:38:26 |
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季候风
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Re: 总结季候风的帖子
问一个问题，对于双曲度量，我的理解是，给定一个度规g_{i,j}或者g_{z,z*}, 算出来的RICCI 曲率标量是常数-1。既然是标量，那么在任意（适合条件）的坐标变换下，它不变。这样说来，双曲度量岂不只有一种了？
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解释一下萍踪的话，
截面曲率和曲率标量都是高斯曲率在高维的推广，但是它们只有在二维的时候才是一个东西。曲率标量是流形的函数，每一点有一个值；而截面曲率不只依赖于点，还依赖于该点切空间里的二维子空间（截面）。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-11-26, 14:57:26 |
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