季候风
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[转贴]庞加莱猜想（全文）
文章出处:smth
发信人: Dionysus (悲剧的诞生), 信区: Science
标 题: 庞加莱猜想-前言
发信站: BBS 水木清华站 (Wed Jul 16 23:09:33 2003), 转信
Poincar\'e 猜想
——谨以本文献给远在异世界的前斑竹 flyleaf
前言
Wir m\"ussen wissen! Wir werden wissen!
(我们必须知道！我们必将知道！)
—— David Hilbert
两年前科学版举行过一次版聚，我报告了低维拓扑里面的一些问题和进展，其
中有一半篇幅是关于 Poincar\'e 猜想。版聚后，flyleaf 要求大家回去后把自己
所讲的内容发在版上。当时我甚至已经开始写了一两段，但后来又搁置了。主要是
因为自己对于低维拓扑还是一个门外汉，写出来的东西难免有疏漏之处，不敢妄下
笔。
两年过去，我对低维拓扑这门学科的了解比原先多了，说话的底气也就比原先
足了。另外，由于 Clay 研究所的百万巨赏，近年来 Poincar\'e 猜想频频在媒体
上曝光；而且 Perelman 最近的工作使数学家们有理由相信我们已经充分接近于这
一猜想的最后解决。所以大概会有很多人对 Poincar\'e 猜想的来龙去脉感兴趣，
我也好借机一偿两年来的宿愿。
现代科学的高速发展使各学科之间的鸿沟加大，不同学科之间难以互相理解，
所以非数学专业的读者在阅读本文时可能会遇到一些困难。但限于篇幅和文章的形
式，我也不可能对很多东西详细解释。一些最基本的拓扑概念如“流形”，我将在
本文的附录中解释。还有一些“同调群”、“基本群”之类的名词，读者见到时大
可不去理会它们的确切含义。我将尽量避免使用这一类的专业术语。
作者并非拓扑方面的专家，对下面要说的很多内容都是道听途说，只知其然而
不知其所以然；作者更不善于写作，写出来的东东总会枯燥无味，难登大雅之堂。
凡此种种，还请读者诸君海涵。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
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Re: [转贴]庞加莱猜想（续）
问题的由来
Consid\'erons maintenant une vari\'et\'e [ferm\'ee] $V$ \`a trois
dimensions ... Est-il possible que le groupe fondamental de $V$ se
r\'eduise \`a la substitution identique, et que pourtant $V$ ne soit pas
simplement connexe?
—— Henri Poincar\'e
在拓扑学家的眼里，篮球、排球和乒乓球并没有什么不同，它们都同胚于三维
空间中的球面S^2. (我们把n+1维欧氏空间中到原点距离为1的点的集合记作S^n，称
为n维球面(sphere)。) 与它们不同的一种曲面是轮胎或者游泳圈，我们管这种曲面
叫环面(torus)，记作T^2.
从环面出发可以构造更多的曲面：取两个环面，在每个上面挖一个洞，然后把
两个洞的边缘粘在一起，就得到一种新的曲面，称为双环面，记作2T^2. 从两个环
面得到双环面的这种过程称为作两个环面的连通和(connected sum)。类似地，还可
以作双环面与环面的连通和，得到的曲面自然就记作3T^2...
早期拓扑学研究的主要对象就是这些形形色色的曲面。19世纪的数学家基本上
已经完成了曲面的分类，一个著名的结果是 August M\"obius 在70岁时得到的：
可定向闭曲面只有上面所说的那些，即 S^2, T^2, 2T^2, 3T^2...
拿一个汽车轮胎，我们可以用一个绳圈把它套住，而且套得很牢，怎么晃都晃
不掉，只要绳子不断、轮胎不裂。如果是皮球就不同了，你没法用绳圈把一个皮球
套牢。即使你将皮球捏瘪甚至捏凹，也只能勉强用绳圈套上，稍微晃一晃就掉了。
这种“用绳圈套不住”的性质是球面所独有的，数学上称为“单连通性”。
较严格地用数学语言说，球面上的任何一条闭合道路都能在球面上连续地收敛
为一点。而T^2, 2T^2等曲面就不是单连通的，因为上面存在着一些闭合道路，不能
在该曲面上连续地收缩为一点。根据 M\"obius 所证明的闭曲面分类定理，单连通
的闭曲面必然同胚于球面。
数学家们在获得一个结论后，总是会寻找更加一般的结论。以前 Ecole Poly-
technique 的一位物理教授面试 ukim 的时候，出了一道题，大意是在xz平面, zy
平面, yz平面各放一面镜子，一束光照进来，然后如何如何。ukim 当然不会做，然
后那教授给他讲了一个很好的看法。为了挽回面子，ukim 瞬间证明了这个问题可以
推广到n维……
一百年前 ukim 的校友 Poincar\'e 同样是遵循着这种低维->高维的推广思路，
写下了前面那一段引言。今天我们把这个问题称为 Poincar\'e 猜想：
单连通的三维闭流形必然同胚于三维球面 S^3. 也就是说，如果有一个三维闭流
形M，M 中任何一条闭合道路都能在 M 内连续收缩为一点，那么 M 就同胚于 S^3.
需要指出，Poincar\'e 提出这一问题时，并不是作为一个“猜想”(见[Th2])。
因为他自己只是问“单连通的三维闭流形是否同胚于S^3”，并没有给出一个倾向性
的答案。而且他以其深刻的洞察力，看出这一问题的解决还有待时日："Mais cette
question nous entra\^{\i}nerait trop loin."
参考文献：
[Mil] J. Milnor, "The Poincar\'e Conjecture", http://www.claymath.org/Millen
nium_Prize_Problems/Poincare_Conjecture/_objects/Official_Problem_Description
.pdf, (2000).
[Th2] Thurston, W. P. "Three-dimentional manifolds, Kleinian groups and
hyperbolic geometry", Bull. Amer. Math. Soc. 6(1982), 357-381.
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
维数的玩笑
Dimension implies direction, implies measurement, implies the more and
the less.
—— Edwin A. Abbott, "Flatland"
1900年，Poincar\'e 最初用他所创立的代数拓扑研究三维流形时，提出的问题
是：如果一个流形与三维球面有着相同的同调群，那么这个流形是否同胚于 S^3？
四年后他本人给出了否定的回答。这时他已经引进了基本群，于是便将问题改成：
“如果一个三维闭流形与三维球面有相同的基本群，(即基本群平凡，或者说这个流
形单连通，) 那么这个流形是否同胚于S^3？”。这就是我们所说的“Poincar\'e
Conjecture”。
容易证明，如果一个三维闭流形单连通，那么它同伦等价于S^3，当然也与S^3
有相同的同调群。我们今天把与球面有相同的同调群的流形称为同调球(homology
sphere)，而同伦等价于球面的流形则称为同伦球(homotopy sphere)。Poincar\'e
猜想也可以叙述为：三维同伦球一定同胚于球面。
（Poincar\'e 在1904年构造了一个三维同调球，其基本群是一个120阶群，从
而对他在1900年提出的那个问题给了否定回答。有趣的是，尽管后人能构造出许多
同调球，但只有 Poincar\'e 的那个具有有限的基本群。事实上，如果 Poincar\'e
猜想正确的话，Poincar\'e 的同调球就是唯一一个基本群有限但不同胚于S^3的同
调球。）
我们在前一节说过，数学家总是喜欢对问题进行推广。后来的数学家推广了
Poincar\'e 的命题，提出所谓的广义 Poincar\'e 猜想：n维同伦球一定同胚于n维
球面 S^n. 这个问题等价于：如果一个n维单连通流形与 S^n 有相同的同调群，那
么它同胚于 S^n.
1961年，Stephen Smale 在[Sm]文中证明了广义 Poincar\'e 猜想在n≥5时成
立，并因此获得了1966年的 Fields 奖。Smale 是一位经历丰富、特立独行的数学
家。六十年代在 Berkeley 他就是反越战运动的领袖，并因此上了FBI的黑名单。
1966年他到莫斯科领取 Fields 奖时，又因为公开抨击苏联的国内国际政策而被KGB
找去谈话。1998年北大百年校庆期间，我有幸见到这位传奇人物。当时感觉他虽然
面容如古井不波，眼眸中却隐藏不住顽皮好动的神色。最近出版了一本他的传记[Bat]，
读者可以从中领略到他的风采。
这里有一点乍看来比较奇怪：通常我们认为高维比低维更复杂更困难，但广义
Poincar\'e 猜想首先获得证明的却是n≥5的情形。拓扑里这种事很常见，很多问题
都是低维比高维更困难，可谓是维数开的一个玩笑。我们可以简要解释如下：维数
高意味着有更多的“余地”进行一些操作。比如说，我们经常要考虑流形里的曲面。
曲面是2维的对象，在3维或4维流形中，它的“剩余”维数是1或2，太狭小；在5维
以上流形中，“剩余”维数大于它自身的维数，有充足的余地进行操作。
1982年，UCSD的 Michael Freedman 完成了单连通四维流形的拓扑分类，从而
证明了4维的广义 Poincar\'e 猜想，并因此获得了1986年的 Fields 奖。至此，后
人提出的“广义” Poincar\'e 猜想都已经获得证明，而 Poincar\'e 原先提出的
三维情形还没解决。Freedman 的工作已经超出了笔者的理解范围，有兴趣的读者可
参见[FQ]和[Kir]。
Freedman 热爱攀岩，善于长跑。有一年北京大学的王诗宬同他在海边跑一万米，
跑完后 Freedman 意犹未尽，立刻作了几十个俯卧撑。Freedman 的妻子是美国国家
长跑队的队员，跑得比他还快。如今他已经跳槽到微软研究院，研究远未有结果的
“量子场计算机”。
参考文献：
[Bat] S. Batterson, "Stephen Smale : the mathematician who broke the
dimension barrier", American Mathematical Society (2000). 中译本：“突破维
数障碍 斯梅尔传”，邝仲平译，上海科技教育出版社 (2002).
[FQ] M. H. Freedman, and F. Quinn, "Topology of 4-manifolds", Princeton
University Press (1990).
[Kir] R. C. Kirby, "The topology of 4-manifolds", Lecture Notes in
Mathematics 1374, Springer-Verlag (1989).
[Sm] S. Smale, "Generalized Poincar\'e's Conjecture in dimensions greater
than four", Ann. Math. 74(1961), 391-406.
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
拓扑的初步概念
天地有正气，杂然赋流形。
—— 文天祥
Nicholas Bourbaki 先生认为数学中有三种基本结构：代数结构、拓扑结构、
序结构。拓扑学(topology)是研究拓扑结构的数学分支，自然地，它在现代数学中
就占据着重要的地位。为便于读者理解正文，作者将简要介绍一些拓扑初步概念，
它们的确切定义可以参见任何一本拓扑入门教材，例如[Arm],[You]。[BE]则是一本
很好的普及读物。
拓扑学最基本的研究对象是拓扑空间(topological space)。所谓拓扑空间就是
一个集合，上面赋予了拓扑结构。更确切的定义不适合在这里写出来，读者只要知道：
有拓扑结构后，“连续”这个概念就可以定义了。直线、平面、三维欧氏空间、各种
曲线、曲面、多面体……都可以作为拓扑空间的例子。
拓扑空间之间可以定义连续映射(continuous map)。设 X,Y 是两个拓扑空间，
f: X -> Y 是一个连续映射，如果f有逆映射，而且逆映射也是连续的，那么就说
f是一个同胚映射(homeomorphism)，并且说X与Y同胚(homeomorphic)。比如，不同
大小的两个球面就是同胚的，它们跟凸多面体的表面也是同胚的。拿一个曲面，即
使把它捏瘪，或者再揉一揉，但只要不撕破，不把原先不相连的两小块粘到一起，
这个变化后的曲面和原来的还是同胚的。可以想象，在同胚变换下，几何对象的很
多性质都会改变，如距离、角度等，但仍然有一些性质保持不变，拓扑学就要研究
这些不变的性质。
同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的
要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空
间与原来的空间是同伦等价的。举个例子：初始空间是一个实心球，我们可以把它
压缩成一张没有体积的圆盘，再搓成一条没有面积的线段，甚至挤成一个连长度都
没有的点，得到的这些空间都跟原来的同伦等价；我们也可以从原来的实心球里
“长”出半个圆盘来作为“耳朵”(半圆盘的直径还贴在实心球表面上)，甚至再
“长”出几条线段来作为“触角”(线段的一端在实心球表面上)，所得到的空间还
是跟原来的同伦等价。“终结者2”里面那个给人深刻印象的液体机器人，它在身体
没有撕裂开的情况下的各种形态就是同伦等价的。
虽说拓扑学可以研究非常一般的“拓扑空间”，但拓扑学家最关心的还是流形
的拓扑。“流形”(manifold)的概念最早是在1854年由 Riemann 提出的(德文
Mannigfaltigkeit)，现代使用的流形定义则是由 Hermann Weyl 在1913年给出的。
江泽涵先生对这个名词的翻译出自文天祥《正气歌》，日本人则将之译为“多样体”，
二者孰雅孰鄙，高下立判。
流形定义为满足Hausdorff公理(这里不作介绍了)的拓扑空间，每个点的局部都
同胚于n维空间 R^n. 按定义，R^n 本身就是一个流形；圆周是流形，每点的局部都
有一段弧同胚于 R^1；各种曲面都是流形，局部同胚于 R^2. 如果忽略黑洞之类的奇
点的话，我们所处的宇宙也是一个流形：无论你处在哪一个时空点，环顾一下四方，
总觉得周围就是普通的三维空间 R^3，再算上时间这一维度，局部也还是 R^4，不会
有分岔的现象发生。
古人对世界的看法没有我们这么先进，提出的大部分宇宙模型都是有限的，而且
有边界。盘古开天辟地，轻清者上浮而为天，重浊者下凝而为地。《三国演义》里秦
宓难张温，问“又未知轻清之外，还是何物？”张温便无言以对。这种有边界的宇宙
模型，用拓扑的语言来说，就是一个“带边流形”。带边流形的边界是比它本身低一
维的(无边)流形。例如圆盘是一个二维带边流形，它的边界是圆周；实心球是三维带
边流形，边界是球面。
读者在微积分里可能会碰上“紧致”(compact)的概念。对流形来说，紧致就是
任何点列都有收敛子序列。球面、环面、实心球、圆盘等都是紧致的，但R^n就不紧，
因为其中能找到一串点趋向于无穷远。紧致性某种程度上相当于有限性。科普读物里
讲到现代宇宙模型，经常会说它是“有限而无界”的，然后费半天唇舌来解释。其实
用数学语言说，就是“紧致而无边”。紧致无边流形称为闭(closed)流形。
另一个经常会见到的概念是可定向性(orientability)。不可定向流形最简单的
例子是科普读物里经常出现的 M\"obius 带。它是一张只有一个侧面的曲面，蚂蚁在
上面爬一圈后就到了原来所处位置的另外一“侧”。不过这种说法依赖于外围空间，
并不能非常确切地反映不可定向性，笔者倒觉得科幻小说里常出现的一幕拿来描述定
向更为合适。科幻小说中经常会有人到宇宙深处旅行一圈后发现自己的左右颠倒了，
这实际上就是说宇宙是一个不可定向流形。读者可以自己做一个实验：假定 M\"obius
带就是某种二维生物的宇宙，让这个二维生物在上面旅行一圈，然后就会发现它的左
右颠倒了。可定向流形则是这样的一个“宇宙”，无论你在里面怎么旅行，回到原来
的出发点后都不会出现左右颠倒的现象。
研究拓扑的一种方法是把拓扑问题转化为代数问题。最常见的例子是计算一个拓
扑空间各个维数的同调群(homology group)和同伦群(homotopy group)，然后根据这
些群的性质推断拓扑空间的性质。一维同伦群又叫做基本群(fundamental group)。如
果空间的基本群是只包含单位元素的平凡群，就称它是单连通的(simply-connected)。
参考文献：
[Arm] M. A. Armstrong, "Basic topology", Springer-Verlag(1983). 中译本：
“基础拓扑学”，孙以丰译，北京大学出版社 (1983).
[BE] 巴尔佳斯基(Болтянский,В.Г.), 叶弗来莫维契(Ефремович
(1999).
[You] 尤承业，“基础拓扑学讲义”，北京大学出版社 (1997).
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与风车搏斗的人们
为了寻求真理，我们是注定会经历挫折和失败的。
—— Denis Diderot
拓扑学的一个基本问题是流形的拓扑分类。从代数拓扑角度看，同伦球是比较
简单的一类流形。Poincar\'e 猜想所问的就是，在这种几乎是最简单的情形，代数
信息能在多大程度上确定拓扑信息？这是一个拓扑学家无法回避的问题。不难想象，
像这样著名且重要的问题会有很多人有兴趣研究，也会有很多人认为自己已经解决。
但这些人都是真正严肃的研究者，因为民间数学家恐怕连这个问题都看不懂。
1934年，J. H. C. Whitehead (并非那位与 Bertrand Russell 齐名的哲学家
A. N. Whitehead) 在一篇文章中“证明”了这样一个结论：“任何一个开的三维流
形，如果同伦等价于三维欧氏空间 R^3，那么就一定同胚于 R^3”。S^3 挖去一个点
就是 R^3，所以这个命题能够推出 Poincar\'e 猜想。不幸 (或者说万幸？) 的是，
稍后 Whitehead 本人发现了其中的错误，并且举出了一个反例。(J. H. C. Whitehead
是同伦论的奠基人之一，后来在墨西哥太阳金字塔失足跌死。)
Poincar\'e 猜想有很多等价的描述，Princeton 的希腊数学家 C. D. Papaky-
riakopoulos 曾经把它化成一个纯粹的群论问题。Papa...是几何、拓扑领域最
高奖Veblen奖的首届获奖者。他研究生涯后期的主要精力就放在 Poincar\'e 猜想上。
后来他病入膏肓，便找来三位著名的拓扑学家到病床前，拿出一份手稿，说自己证明
了 Poincar\'e 猜想。其实那三人已经发现了证明中的一个明显错误，但都没有捅破，
只是安慰 Papa...说他们会仔细看一看这个证明。随后不久 Papakyriakopoulos 便
辞世了。
早先给出 Poincar\'e 猜想错误证明的人很多，Whitehead 和 Papakyriakopoulos
算是其中名气最大的。当然，即使是这些错误证明，也有其价值，至少给后人树了
一块“此路不通”的牌子；而且很多证明是有其正面意义的。70年代以前关于 Poin-
car\'e 猜想的研究进展在[Hem]一书中有所总结。
近来来关于 Poincar\'e 猜想证明，比较出名的是 Po\'enaru 的工作。Po\'enaru
是三维拓扑领域中相当有影响的数学家，按王诗宬的说法是一个“神人”。从上世
纪九十年代以来，他陆续写了一系列文章，提出了一个证明 Poincar\'e 猜想的纲
领(见[Ga])。经过中间一些反复，最终他宣布已经完成了整个证明。问题是，他写
的证明加起来超过了一千页……陈省身对此的评论是：“一千页的证明还不如不证
明。”
其实一千页并不算长，——在某些人眼里。1980年左右，群论专家们宣布完成
了有限单群的分类。整个证明由几十年间发表在各种杂志上的上百篇论文组成，总
长度超过15,000页，其中最长的一篇论文有1,200页。接下来就有几个人致力于整理
出系统的证明，已出版的第一卷有800页。他们的最终目标是一个3,000页左右的证
明，这样才具有一定的可读性。
审阅证明基本上是一件为她人作嫁衣裳的苦差使。数学家有自己的事情要做，
很难花费宝贵时间去阅读一个成百上千页的证明。所以这样的证明不容易获得同行
公认。一个著名的例子是 Bieberbach 猜想。1984年，Purdue 大学的 Louis de
Branges 宣布他解决了这一单叶函数论里的核心问题，并把手稿寄给十几位专家审
阅。De Branges 是一位复分析学家，但并不属于单叶函数论的圈子；他已经五十
多岁了，而且名声不太好，——他曾宣称自己证明了Riemann假设；他用的方法是
几十年前的人就使用过的老方法，在圈内人眼中这种方法根本不会成功……总之，
各种因素都对 de Branges 很不利，使得没有一位美国数学家愿意审阅他那篇385
页的论文。
好在西方不亮东方亮，世界上还有一种勤劳、勇敢、智慧、热情的生物，我们
称之为苏联人。三位苏联同行把 de Branges 请到列宁格勒，开了一个学期的讨论
班讲他的工作。最终苏联人审查通过了 de Branges 的论文，并把证明简化到只有
15页，发表在 Acta Mathematica 上。后来在 Purdue 召开了一个关于 Bieberbach
猜想的国际会议，de Branges 在会上发言，一句学术的事情也没讲，尽是大骂他的
上司不重视他，不给他加薪，以及抱怨美国同行们有偏见，不理睬他的证明。
但现在 Po\'enaru 的运气显然没有 de Branges 那么好，因为苏联已经不存在
了……曾经有人试图阅读他的证明，结果找到了一个错误。(一千页的证明里，若是
没有错误，那才是怪事。) 后来 Po\'enaru 说他已经改正了错误，但再也没有人愿
意去看了。
去年在西安举行了一个几何拓扑的国际会议，Kirby 曾提议叫 Po\'enaru 作一
次全会报告。但组委会认为，一个小时内讲一个一千页的证明，不会对听众有多大
帮助，所以没有邀请他。也许 Po\'enaru 的想法真的行得通，但我们大概永远不会
知道真相。
2000年，千年之交，Clay 研究所组织数学界的一些领袖人物，提出数学中的七
个重要问题，每个问题都悬赏百万美元征求解答，Poincar\'e 猜想便是其中之一。
百万巨赏使 Poincar\'e 猜想获得了数学圈以外的名声，尤其是新闻界的关注。从
此，关于 Poincar\'e 猜想的一点点风吹草动都会引起大批媒体的兴趣。
很快就有动静了。2002年初，英国 Southampton 大学的 Martin J. Dunwoody
宣布自己解决了 Poincar\'e 猜想，证明放在网上，只有5页。这一新闻迅速占据了
世界各地报刊的重要位置，甚至上了Nature,Science这样的正经科技期刊。Dunwoody
算是三维拓扑圈子里的人，六十多岁了。5页的证明中，如果有错误，他自己应该能
发现，所以人们觉得他可能会有些道理。但无论是他本人，还是他文章中所引用、
致谢的人，都不是什么“神人”。就凭这些人能证明 Poincar\'e 猜想？实在让人难
以置信。
错误很快就被人找出来，然后 Dunwoody 修改自己的证明；接下来又找出新的
错误，又修改……数易其稿后，论文增加了一个图，页数增加到6页，标题也由"A
Proof of the Poincar\'e Conjecture" 变成 "A Proof of the Poincar\'e
Conjecture?"。但最终，Dunwoody 不得不承认，证明里漏掉了关键的一步。
注：本节标题取自 yyf 的系列文章。
参考文献：
[Ga] D. Gabai, "Valentin Po\'enaru's program for the Poincar\'e conjecture",
Geometry, topology & physics, 139-166, International Press (1995).
[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).
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几何的基本观点
神乃几何学家。
—— 柏拉图
德国大学有一个传统：任何人在获得教职时必须发表就职演说。1854年，被聘为
G\"ottingen 大学讲师的 G. F. B. Riemann 向上级提交了三个题目作为候选的就职
演说标题。按惯例，上头将会在前两个题目中选择一个，所以 Riemann 只认真准备
了前两个。但 Gauss 选择的是第三个。Riemann 仓促准备后便上阵了，结果整个大
厅里只有 Gauss 一个人听得懂。这篇演讲成为几何学史上里程碑式的文献：《论几
何学的基本假设》(\"Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde
liegen)。
在这篇演讲中，Riemann 提出了流形的概念，并且指出：流形上赋予一个度量后，
便可以研究其几何性质，如长度、角度、曲率等等。当时已经存在了两千年的球面几
何和欧氏几何，以及新兴的双曲几何，都可以归结到 Riemann 的观点下来，即，曲率
分别为常数+1,0,-1的几何。
1872年，23岁的 Felix Klein 在就任 Erlangen 大学教授时，发表了另外一篇对
几何学影响深远的就职演说，这便是后人所说的"Erlanger Program"。Klein 提出，
几何学所研究的是空间在变换群作用下不被改变的性质，并可以据此对几何学进行分类。
例如，球面几何研究的就是 S^n 在群 O(n+1) 作用下不改变的性质，而欧氏几何研究
的是 R^n 在平移、旋转、反射等变换下不改变的性质。
Riemann 和 Klein 对几何学的认识代表着几何学的不同侧面。Klein 的观点更为
古典一些。Riemann 的思想在提出后的六十年中一直没被充分理解，也没有得到足够重
视，直到广义相对论诞生后，它才进驻到几何学的中心。
时光跳转至20世纪70年代末。William P. Thurston 在研究三维拓扑的过程的中，
提出了这样一个问题：按照 Klein 的观点，三维流形上可能有多少种有意义的几何？
这个问题并不困难，梢加细致的讨论后，Thurston 得出答案：八种， 它们是：
S^3 (三维球面几何)
E^3 (三维欧氏几何)
H^3 (三维双曲几何)
S^2×E^1
H^2×E^1
Nil
Sol
后几种几何的确切含义可以参见[Th4]。在这八种中，最复杂、也最重要的是双曲
几何。双曲几何，或称“非欧几何”，其创立过程在很多科普书籍里都有记叙(见[LZ])，
这里不再赘述。Thurston 的工作在某种程度上表明，大多数三维流形上都可以有双曲
几何，因而双曲几何对于三维流形便尤其重要。
参考文献：
[LZ] 李忠，周建莹，“双曲几何”，湖南教育出版社 (1991).
[Th4] W. P. Thurston, "Three-dimensional geometry and topology", Princeton
University Press (1997).
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
造化爱几何
Direct arguments remain essential, but 3-dimensional topology has now
firmly rejoined the main stream of mathematics.
—— C. T. C. Wall
Riemann 对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个
Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein 的观点就不是那么普适了，因为 Klein
意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不
过二维曲面上都可以有 Klein 式的几何，这就是 Riemann, Klein, Poincar\'e,
Koebe 等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。举例子说，在可定向闭
曲面里，S^2上当然是球面几何，T^2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面
上可以有双曲几何。
三维以上就没有这么好运了，Thurston 的天才创见就在于：提出了单值化定理
在三维情形的类比，我们将在下面向读者简略介绍其内容。
类似于前面所介绍的曲面的连通和，对三维流形也可以有连通和的概念。拿两
个三维流形，在每个里面挖去一个开的实心球，这样每个三维流形里就出现了一个
空穴。然后把两个带空穴的流形沿着空穴的边界(是球面)粘起来，得到的就是两个
流形的连通和。连通和的逆操作就称为连通和分解，即把一个三维流形沿着某个满
足一定条件的球面割开，使之分为两块。然后沿着那个球面在每块上粘一个实心球。
对每个得到的流形，还可以继续作连通和分解，直至无可再分。
任取一个紧致的(可能带边)三维流形，尽量作连通和，把它分成尽可能简单的
三维流形的连通和，就好比对整数进行质因数分解。这一步的存在性是由 H. Kneser
在1929年证明的。五十年代末 John Milnor 发现怪球后，转而研究三维流形，首先
考虑的就是这一步。有人告诉他 Kneser 已经做了这方面的工作，Milnor 便去研读
原文，发现把证明方法稍加改进还可以进一步证明某种唯一性。Kneser-Milnor 的
这个定理就是我们处理三维流形的第1步。
拓扑学家的基本想法是沿着一些曲面把三维流形割开，第1步本质上是沿着一些
球面割开，而球面可说是最简单的曲面。另外一种简单的曲面是圆盘，——如果起
初考虑的是带边流形的话，那可能还需要沿着一些圆盘继续切割。这姑且算作第1.5
步，它的可行性是依据 Papakyriakopoulos 的奠基性工作。
除了球面和圆盘外，最简单的曲面就是环面和平环(annulus，即两个同心圆及
其间夹的部分)。上世纪七十年代，Waldhausen, Jaco, Shalen, Johannson 证明了：
经前面处理后的三维流形，有唯一的方法沿着一些环面(如果是带边流形还要加上平
环)割开，使每小块尽可能简单。这就是我们的第2步，通常用后三人的姓命名为 JSJ
分解。(见[JS],[Jo].)
Jaco 等人公布他们的工作后，Thurston 几乎立即敏锐地洞察到其中的几何内
蕴。他指出，紧致三维流形经过前面若干步操作后，剩下的每一小块都能赋予几何
结构，即附录二所说的八种几何结构之一。而且这种几何结构在某种意义上是比较
“好”的，例如体积有限、“直线”都可无限延伸等等。这便是我们今天所说的
Thurston 的几何化猜想(geometrization conjecture)。Thurston 本人对 Haken
流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的证明相当艰深，强烈地
依赖于几何直观。Thurston 本人只是在 Princeton 的课堂上讲授这一证明，并将
未正式出版的讲义[Th1]在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过一千人，间接复
印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston 后来也曾经想正式发表他的证明。
他计划写一系列共7篇文章，第一篇[Th3]于1981年投出，1986年才得以发表，可见
其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。
Thurston 本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度
引来包括 J. P. Serre 在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍
Thurston 获得1983年的 Fields 奖。数学当然需要严格性，但像 Thurston 这样直
觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活
自然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像 John Morgan 就曾
给出 Haken 流形的几何化定理的较严格的不完全证明(见[MB])，McMullen 以别的
方法也给过严格证明。同样的事情也发生在 Thurston 其余的几个重要定理上。直
至今日，他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。
需要指出，在几何化猜想之前，Thurston 已经因为他在三维流形上的foliation
方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖 Veblen 奖。而且他的文风一直以简洁清
晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，
你就必须做一些非常实实在在的工作以立足；只有当你成为 Thurston, Gromov 那
样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。
Thurston 几何化猜想可以直接推出 Poincar\'e 猜想，最近对 Poincar\'e 猜
想的突破就从这里开始。但 Thurston 工作的重要性并不光是能推出 Poincar\'e
猜想。因为 Poincar\'e 猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而 Thurston
描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双
曲几何)、Kleinian群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在
他之前，低维拓扑虽然也做得很热闹，也有 Milnor 等大人物涉足其中，但毕竟只是
拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。 Thurston 等人的工作之后，低
维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。
参考文献。
[Hem] J. Hempel, "3-Manifolds", Princeton University Press (1976).
[JS] W. H. Jaco, and P. B. Shalen, "Seifert fibered spaces in 3-manifolds",
Mem. Amer. Math. Soc. No.220 (1979).
[Jo] K. Johannson, "Homotopy equivalence of 3-manifolds with boundaries",
Lecture Notes in Mathematics 761, Springer-Verlag (1979).
[MB] J. W. Morgan, and H. Bass, "The Smith conjecture", Academic Press
(1984).
[Th1] W. P. Thurston, "The geometry and topology of 3-manifolds", Princeton
University (1978).
[Th3] W. P. Thurston, "Hyperbolic structures on 3-manifolds I: Deformation
of acylindrical manifolds", Ann. Math. 124(1986), 203-246.
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
Free at last?
这种相信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案，你能
通过纯思维找到它，因为在数学中没有ignorabimus（不可知）！
—— David Hilbert
要想彻底证明 Thurston 的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力
了，需要发展新的方法。1982年，Richard Hamilton (并非那位特别有名的19世纪
爱尔兰数学家 Sir William Rowan Hamilton) 在[Ha]中提出了 Ricci flow 的概
念，给几何化猜想带来一丝曙光。
所谓 Ricci flow，“流动”的是度量。在流形上随便给定一个初始度量，Hamilton
让它随时间变化，并用一组偏微分方程来描述这种变化，这便是 Ricci flow. Hamilton
期望，在特定的初始条件下，随着时间的增长，Ricci flow 能够流向比较“好”的
度量。二十多年来，Hamilton 等人做了大量工作，使 Ricci flow 发展为微分几何
里一种行之有效的方法。1996年，Hamilton 被授予 Veblen 奖，"for his continuing
study of the Ricci flow and related parabolic equations for a Riemannian
metric"，与他同时获奖的是中国青年数学家田刚。
Hamilton 引入 Ricci flow 的一个非常明确的目标就是证明 Thurston 的几何
化猜想。所以当2002年底，俄国数学家 Grisha Perelman 宣布他用 Ricci flow 证
明了几何化猜想，从而解决 Poincar\'e 猜想时，数学界的第一印象是：这件事是挺
合乎情理的。
Perelman 总共有三篇文章。[Pe1]于2002年11月12日刊载在xxx.lanl.gov上；
[Pe2]于2003年3月11日刊载在同一网站；第三篇文章则还没开始写。Perelman 声称
世界上有三个人可以替他写这第三篇文章，不过他所指的三人之一却说自己不知道该
怎么写。
Perelman 的文章立刻激起了数学界的广泛关注，许多大学邀请他去作报告，也
有很多小组开始研读他的论文。审阅他论文的包括许多一流的微分几何学家，如
Richard Hamilton, Richard Schoen, 田刚等。至今还没发现他有什么错误。以 MIT
的两个小组为例，他们已经审阅完第一篇文章，第二篇还正在看。已经验证通过的部
分包含很多有趣且重要的结论。所以即使最后发现有错误，也是一个非常了不起的工
作。
目前数学界大部分人对此抱着比较乐观的态度，还没有人提出负面意见。甚至有
人已经急着要分一杯羹了：据说 Hamilton 宣称，因为 Perelman 大量使用了他的工
作(确是如此!)，所以那一百万美元得分他一半。不过笔者并不清楚 Hamilton 究竟是
否说过这样的话，也不清楚他(如果说过)是以什么样语气说的。
Perelman 曾到美国访问过三年，当时已经能获得很好的职位。但他为了能心无旁
骛地研究几何化猜想，又回到俄国，销声匿迹长达八年之久，终于一鸣惊人。他原先
在圣彼得堡，一个月只挣一百美元，日子过得很不容易。通常我们写论文，都会感谢
某某基金会对自己提供的经济资助，但 Perelman 在[Pe1]中写道:"I was partially
supported by personal savings accumulated during my visits to the Courant
Institute in the Fall of 1992, to the SUNY at Stony Brook in the Spring of
1993, and to the UC at Berkeley as a Miller Fellow in 1993-95. I'd like to
thank everyone who worked to make those opportunities available to me."
现在 Perelman 当然不愁吃穿了，还有好多美国大学抢着聘他去，他都不愿意。
田刚说 MIT 找了几个俄国人劝他，试图向他证明 Boston 比圣彼得堡好。后来流传
一个笑话说他迟早会去美国，因为俄国的 Mafia 比较多，知道他得了一百万美元后，
他的安全会成问题……
当然了，现在断言 Perelman 将会获得一百万美元的巨奖还为时过早。就算他
的文章能够发表在权威数学刊物上，按 Clay 研究所的条件，还得两年无人指出其
中错误才能获奖。但无论如何，Perelman 的工作是对微分几何的巨大贡献，我们也
因此向着 Poincar\'e 猜想的最后解决又迈进了一大步。
也许我们真的就已经站在了终点上。
(完)
参考文献：
[Ha] R. S. Hamilton, "Three manifolds with positive Ricci curvature", Jour.
Diff. Geom. 17(1982), 255-306.
[Pe1] G. Perelman, "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric
applications", xxx.lanl.gov (2002).
[Pe2] G. Perelman, "Ricci flow with surgery on three-manifolds", xxx.lanl.
gov (2003).
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低维拓扑
代数拓扑和微分拓扑是数学的女王。
—— Jean Dieudonn\'e
按其研究方法，拓扑可分为代数拓扑、微分拓扑、几何拓扑。代数拓扑和微分
拓扑一直是拓扑学的主流，而几何拓扑更注重几何直观。很难说这三种拓扑学之间
有什么严格的界限，因为我们经常是综合使用三种方法的。
二十多年来在数学里颇为热门的低维(2,3,4维)拓扑更多地属于几何拓扑的范围，
因为传统的代数、微分方法在低维大多失效。关于为什么低维会比高维更困难，中
科院数学所的李邦河院士认为有如下原因：
一是 Whitney 技巧失效。这是微分拓扑的奠基人 Hassler Whitney 在三十年
代引入的一种把流形嵌入高维空间的的方法。但如果两者的维数相差过小，就无法
施行操作，原因在“维数的玩笑”一节中已经简略解释过。
二是示性类失效。示性类(characteristic class)是同调群中的一些特定元素，
可以反映流形的一些拓扑性质。但在低维情形，有意义的示性类非常少，能由此获
得的信息也很少。例如可定向三维闭流形的各种常见示性类都是0，四维流形有意义
的常见示性类也只有两三个。这使得代数拓扑的许多方法在这里都无能为力。
以上都还是技术原因，按笔者理解，还有一个心理原因。在许多问题上，低维
其实比高维容易得多(毕竟低维更容易想象，变化也更少)，但就因为这样，人们对
低维问题的要求便更多更细，使低维时遇到的问题尤为困难。
举个例子，流形的分类问题在二维时早已解决，三维情形还不知道能否解决，
四维以上则是不可解的。事实上，任何一个有限表现(finitely presented)群都能
实现为某个四维闭流形的基本群。如果我们能够对四维流形进行分类，那么我们当
然就能对有限表现群进行分类，而这是不可能的：群论学家们已经证明了这种群的
区分是“不可解”问题，也就是说，不存在一种能够在 Turing 机上实现的算法来
判断任意两个给定的有限表现群是否同构。所以在流形的分类问题上，高维比低维
更困难，但我们在高维只能满足于部分的解答，只是在低维才期望一个完全的解答。
传统方法在低维时无能为力，数学家们便引进了种种奇奇怪怪的方法，使低维
拓扑同许多别的数学分支联系起来。我们在正文中已经谈过 Thurston 的工作. 几
乎就在同时，丘成桐, Meeks, Schoen 等人把微分几何里的“极小曲面”引入三维
拓扑，解决了一些基本的问题。Hamilton 的工作也算是将微分几何同三维拓扑联系
在一起。
四维拓扑里则是另外一番景象。就在 Freedman 证明四维 Poincar\'e 猜想后
几个月，Atiyah 的学生 Simon K. Donaldson 在他的博士论文中利用 Yang-Mills
场找到了一组四维流形的不变量。Donaldson 不变量是微分拓扑的不变量，因而能
够区分一些同胚但不微分同胚的四维流形。很快，Freedman 就用 Donaldson 的结
果发现了 R^4 上有不同的微分结构，后来人们又发现 R^4 上有无穷多种不同的微
分结构。(微分结构是流形上的一种结构，它使我们能像在通常的欧氏空间中一样在
流形上作微分。) 这是一个非常令人吃惊的结论，因为在 n≠4 时，R^n 上都只有
唯一的微分结构。Donaldson 的工作揭示了我们所生活于其中的四维空间的一些与
其它维数空间不同的深刻性质，而且将四维拓扑与规范场论联系到了一起，他本人
因此获得1986年的 Fields 奖。
Donaldson 的理论吸引了大批数学家去研究，90年代初曾召开过一次这方面的
国际会议，有超过两百人参加。但 Donaldson 理论需要解SU(2)丛上的非线性偏微
分方程，计算十分困难，经过十年左右的努力，数学家们才摸到一些计算的门道。
1994年，Edward Witten 提出了一种新的不变量：Seiberg-Witten 不变量。
在 Seiberg-Witten 理论中，只需要解U(1)丛上的非线性偏微分方程，困难程度远
比 Donaldson 理论低，按 Taubes 的说法，"at least a thousand times easier".
但令人惊诧的是，它的威力与 Donaldson 理论不相上下，Witten 甚至能够从物理
上说明它们是等价的。
嗅觉敏锐的数学家们迅速扑向这个新理论，大量问题和例子瞬间被解决。如著
名的关于嵌入曲面亏格的 Thom 猜想，有四五组人几乎在同时用 S-W 理论给出了证
明。到1995年的春季学期，许多大学已经开设了讲授 S-W 理论的研究生课程；到
1996年，则有好几本关于 S-W 理论的专著面世，如[Moo],[Mor].
Seiberg-Witten 理论的一个严重后果是：除了少数动作最迅猛的人以外，其余
早先研究 Donaldson 理论的专家基本上都失业了，据说还有人因此而自杀。而且
Seiberg-Witten 不变量的计算实在太容易，(相对于 Donaldson 理论，) 以致于
那些好做的、有趣的问题在一两年内就全被人解决了。近年来 Seiberg-Witten 理
论虽然也有一些发展，但已经远不如它刚诞生时那样引人注目。当然这方面的研究
仍有很多，上学期 Princeton 就开设了两门 S-W 理论的研究生课程。Anyway, 包
括田刚在内的很多人都相信，四维拓扑在不远的将来还会迎来一次新的高潮。
低维拓扑与其余数学(或科学)分支的最令人惊异的结合发生在纽结理论中。纽
结理论(knot theory)是一门研究绳子打结方式的数学分支，它最早是由物理学家
William Thomson (Lord Kelvin) 于19世纪末开始研究的。那时普遍认为世界是
由“以太”构成，Kelvin 勋爵提出一种假说：以太在空间中产生旋涡，就像抽烟
时吐出的烟圈一样。旋涡可以打结，不同种类的结表示不同的化学元素。于是物理
学家们便开始研究纽结，并编制出了最早的纽结表。后来以太说被摒弃，物理学家
不再理会绳子如何打结，倒是数学家出于纯数学的兴趣研究它了。纽结理论早期的
研究进展记叙在一本被誉为"godgiven"的书[Ro]中，[Jia]则是一本很好的普及读物。
在低维拓扑进驻数学核心的同时，算子代数里也在发生着由 Alain Connes 领
导着的一场革命，新西兰数学家 Vaughan Jones 就是这场革命中的一员年轻干将。
一次，Jones 作一个学术报告，台下听讲的拓扑学家 Joan Birman 指出，他所写
的一组公式跟纽结理论里的一些公式非常相象。Jones 同 Birman 作了长谈，自己
又回去刻苦研究，终于发现了两者之间的内在联系。他利用 von Neumann 代数，
提出了一种新的纽结不变量：Jones 多项式。
Jones 多项式是一种威力强大的纽结不变量，但它并不复杂，后来 Kauffman
甚至提出了一种完全初等的看法，高中生便能读懂。所以很多人对 Jones 因此获得
1990年的 Fields 奖都感到很不以为然。但通过这么简单初等的多项式，Jones 把
纽结理论与算子代数这两个看上去完全没有关系的的两个数学分支联系到了一起，
进而使得纽结理论同量子群、李代数、统计力学、量子场论等许多数学和物理分支
发生了密切关系。
世界上有两种伟大的数学工作，一种是给很多人创造了饭碗，还有一种是砸掉
了很多人的饭碗，通常前一种更容易获得 Fields 奖。Jones 多项式无疑属于前一
种，由此甚至产生了一门被称为“量子拓扑学”的数学分支，发表了无数论文和专
著。Jones 多项式后来还有很多推广，比较有名的是由 Hoste, Ocneanu, Millett,
Freyd, Lickorish, Yetter 和 Prztycki, Traczyk 等人提出的 HOMFLY-PT 多项
式，Witten 利用拓扑量子场论提出的 Witten 不变量，以及 Vassiliev 不变量。
参考文献：
[Jia] 姜伯驹，“绳圈的数学”，湖南教育出版社 (1991).
[Moo] J. D. Moore, "Lectures on Seiberg-Witten invariants", Lecture Notes
in Mathematics 1629, Springer-Verlag (1996).
[Mor] J. W. Morgan, "The Seiberg-Witten equations and applications to the
topology of smooth four-manifolds", Princeton University Press (1996).
[Ro] D. Rolfsen, "Knots and links", Publish or Perish (1976).
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
低维的难度在于刚性
高维的分类却很难
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
好文章，很正宗的高级科普。我看了一个多小时才看完，很有收获。我第一次知道纽结理论的来历。
顺便提几个愚蠢的问题：
1）物理学中，Bose-Einstein 凝聚在一维和二维空间中不能产生，在三维空间中才能产生。这在物理学中很好解释，不知是否存在对应的几何理解。
2）文章中提到“Donaldson 的工作揭示了我们所生活于其中的四维空间的一些与其它维数空间不同的深刻性质”，不过我们生活其中的空间是四维时空，不是四维欧氏空间，时间维与空间维之间的差异，在这里是否会带来本质性的巨大差异？
3）文章中提到“同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空
间与原来的空间是同伦等价的。”，既然拓扑学研究同胚变换下的不变性质，那么研究同伦等价下不变性质的几何，是否还应属于拓扑学中的一个分支。我一直以为，拓扑变换已经是最为宽松的变换了。
话题更远一点：我们知道对于集合的势，不但拓扑等价的两个流形有同样多的几何点（即流形的点集合有相等的势），而且一个面跟一个线段有同样多的几何点（空间维数是拓扑不变量，所以不拓扑等价的两个几何体也可能有相同的势。是否可以存在一种更宽松的几何变换，它保证流形的几何点集合有相同的势，研究此时的不变性质。连续统假设在现有数学体系中是一个不可判定命题，这留有这样一个余地：可能存在不同的世界模型，在有的世界中连续统假设成立，在另一个世界模型中它不成立。
4）也许以太模型有一天又会复苏，因为传统理论否定以太存在的依据是，不能观察到它的相对速度！如果以太介质可以对应量子场的基态（各种场基态的张量积），在任何惯性参照系中它的宏观动量恒为零，它相对于任何惯性观察者的定向宏观运动速度恒为零。如果这样，纽结理论还可以派上更大用场。
光子对应电磁场的场量子，在我看来，并不比“声子对应机械振动波的场量子”更“高一等”，把电磁波看作以太振动波的可能性不能完全排除。
啊！如果我能够在时间中来回穿梭，就没有什么愿望达不到的！
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季候风
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
1）物理学中，Bose-Einstein 凝聚在一维和二维空间中不能产生，在三维空间中才能产生。这在物理学中很好解释，不知是否存在对应的几何理解。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
我需要学习这个内容。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
2）文章中提到“Donaldson 的工作揭示了我们所生活于其中的四维空间的一些与其它维数空间不同的深刻性质”，不过我们生活其中的空间是四维时空，不是四维欧氏空间，时间维与空间维之间的差异，在这里是否会带来本质性的巨大差异？
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
Donaldson 不变量反应的是拓扑性质，一个拓扑流形上有多少光滑结构的问题。度量只是工具，最后的结果跟度量没有关系。我不知道Donaldson 用的是欧氏度量还是闵氏度量，有可能就是闵氏度量。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
3）文章中提到“同伦等价(homotopy equivalent)是拓扑学中所关心的另外一种等价关系，它的要求比同胚更宽松。取一个拓扑空间，对它进行某些特定的连续形变，所得到的空
间与原来的空间是同伦等价的。”，既然拓扑学研究同胚变换下的不变性质，那么研究同伦等价下不变性质的几何，是否还应属于拓扑学中的一个分支。我一直以为，拓扑变换已经是最为宽松的变换了。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
最初的也是至今为止仍然最重要的拓扑不变量，同调群和同伦群，都是同伦不变量。研究同伦性质是退而求其次，因为更细致的分类太难。这不是一个分支，只是拓扑分类的前哨。你觉得拓扑变换宽松是因为物理学家很多年来只关心局部性质。而对数学家来说，拓扑类都嫌太多，太细。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
话题更远一点：我们知道对于集合的势，不但拓扑等价的两个流形有同样多的几何点（即流形的点集合有相等的势），而且一个面跟一个线段有同样多的几何点（空间维数是拓扑不变量，所以不拓扑等价的两个几何体也可能有相同的势。是否可以存在一种更宽松的几何变换，它保证流形的几何点集合有相同的势，研究此时的不变性质。连续统假设在现有数学体系中是一个不可判定命题，这留有这样一个余地：可能存在不同的世界模型，在有的世界中连续统假设成立，在另一个世界模型中它不成立。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
按照集合的势的定义，所有的1－1对应都保持集合的势，太平凡了。或者说集合里元素的个数可以看作集合本身的性质而不是集合上的附加结构。我们用Bourbaki的观点，数学是研究结构的学问。序，代数，拓扑已经是底层结构了。更底层的研究就是逻辑。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
4）也许以太模型有一天又会复苏，因为传统理论否定以太存在的依据是，不能观察到它的相对速度！如果以太介质可以对应量子场的基态（各种场基态的张量积），在任何惯性参照系中它的宏观动量恒为零，它相对于任何惯性观察者的定向宏观运动速度恒为零。如果这样，纽结理论还可以派上更大用场。
光子对应电磁场的场量子，在我看来，并不比“声子对应机械振动波的场量子”更“高一等”，把电磁波看作以太振动波的可能性不能完全排除。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
这可能要归结到哲学信仰。以太如果存在，它跟不跟物质作用？如果不跟物质作用我们怎么知道它存不存在，如果跟物质作用那么我们就会观察到它的痕迹。就目前来看，最革命性的理论－－弦论，也要把狭义相对论作为它的首要假设之一。
从另一个方面看，扭结也许跟弦论有点关系。三维空间里的扭结的量子理论跟二维的共形场论有深刻的联系，它们甚至有相同的Hilbert 空间。而共形场论跟弦论的关系再密切不过了。
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
谢谢风兄的回答！
至于以太的存在，它并不一定跟狭义相对论相矛盾。我在观星楼谈论以太。
啊！如果我能够在时间中来回穿梭，就没有什么愿望达不到的！
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Re: [转贴]庞加莱猜想（全文）
我不知道Donaldson 用的是欧氏度量还是闵氏度量，有可能就是闵氏度量。
====================================================
Donaldson应用的应该是欧氏度量。虽然欧氏空间和闵氏空间整体上无法建立微分同胚，但是在局部上是微分同胚的。所以Donaldson的结果虽然是欧氏空间成立但至少在局部上可以等价于在闵氏空间中成立。
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