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萍踪浪迹

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模形式中的复分析与微分几何基础

原想在这篇短文中同时回答sage兄提出的关于多复变和微分几何刚性的问题，但是时间问题，我还是放在下次再多写一点。今天先粗略写点模形式中的复分析与微分几何的初步知识。

在模形式的学习中，先要掌握辛变换以及相关的一些重要概念。
SL(2,R)作用于Poincare上半平面上，我们称为辛变换，其表达式为：
z→M（z）=（az+b）/（bz+d），a，b，c，d为实数，且ad-bc=1。
SL(2,R)模去反射变换后就是PSL(2,R)。
辛变换下不变度量不是通常的Euclidean度量，而是Poincare度量：(ds)^2=(dxdx+dydy)/y^2.引进复变量ω=x+iy，则(ds)^2=dωdω*/（Imω）^2，我们这里以ω*代表ω的共轭复数，下同。
Poincare上半平面可以共形变换到开单位圆盘：u^2+v^2<1上，其上也有Poincare度量：(ds)^2=4（dudu+dvdv）/（1-（u^2+v^2））^2，引进复变量z=u+iv，则：(ds)^2=4dzdz*/（1-（|z|^2）^2。
令ω=i（1-z）/（1+z）可以建立这两个Poincare度量都是共形变换。且由微分几何的简单计算可知这两者实际上不仅是共形变换，而且是等距变换。
我们知道，Poincare上半平面可以作为Lobachevsky几何的整体实现，选取Poincare度量（ds)^2=(dxdx+dydy)/y^2，令：
ω_1=dx/y
ω_2=dy/y
由于符号限制，我们这里以δ表示偏微分算子，则：
e_1=y（δ/δx）
e_2=y（δ/δy）
经过计算可以得出ω_12=dx/y，进而计算其上测地线的相关量。可以发现，其上测地线为圆心在x轴上的半圆以及与x轴平行的直线，此时过测地线外一点可以作出无穷多条测地线与其不相交。但是，这里强调一点，在这无穷多条不相交的测地线中只有两条和其平行，其他的既不相交也不平行。这一点常常被许多非数学专业的认误解，因为他们认为不相交的一定平行。

在Poincare上半平面上不仅可以定义辛度量（Poincare度量）和辛长度元，而且可以定义Poincare面积元：dA= dxdy/y^2，这三者在辛变换下全都保持不变。

在模形式中，更感兴趣的是以下称为模变换得情形：
z→M（z）=（az+b）/（bz+d），a，b，c，d为整数，且ad-bc=1
这里唯一不同的是把a，b，c，d所属的域由R换成Z。
模变换形成模变换群，同时我们还要研究模变换群的同余子群，熟知著名的Poincare级数就是构造同余子群模形式的一般方法。
Poincare上半平面在模变换群下成为一个域，即基域，通过无穷远点的一点紧化形成一个三角形，称为，模三角形。以虚轴为对称轴粘合即得一个紧Riemann面。
在上面引进的辛度量下可以计算出模三角形的辛面积为π/3。
这些重要概念是模形式的入门知识，也可以从这个入门知识窥见模形式理论的博大精深，上面的一些知识只是对这个理论的管窥蠡测而已。

漫漫长夜不知晓日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥

发表时间：2005-11-29, 04:28:05

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星空浩淼

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Re: 模形式中的复分析与微分几何基础

好像没有谈到“微分几何基础”吧？莫非是“复几何基础”？

虽然我不知道模形式是干吗使的，但这个短文还是基本看懂了。

啊！如果我能够在时间中来回穿梭，就没有什么愿望达不到的！

发表时间：2005-11-29, 07:09:19

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萍踪浪迹

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Re: 模形式中的复分析与微分几何基础

“我们知道，Poincare上半平面可以作为Lobachevsky几何的整体实现，选取Poincare度量（ds)^2=(dxdx+dydy)/y^2，令：
ω_1=dx/y
ω_2=dy/y
由于符号限制，我们这里以δ表示偏微分算子，则：
e_1=y（δ/δx）
e_2=y（δ/δy）
经过计算可以得出ω_12=dx/y，进而计算其上测地线的相关量。可以发现，其上测地线为圆心在x轴上的半圆以及与x轴平行的直线，此时过测地线外一点可以作出无穷多条测地线与其不相交。但是，这里强调一点，在这无穷多条不相交的测地线中只有两条和其平行，其他的既不相交也不平行。这一点常常被许多非数学专业的认误解，因为他们认为不相交的一定平行。”
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这些都是微分几何的范围

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痴心未悟拈花笑梦魂飞度同心桥

发表时间：2005-11-29, 07:14:41

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季候风