季候风
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到底什么是量子化？
Kanex 在观星楼提出的问题是”为什么场要量子化”， 物理学家可能不会觉得这是一个问题，但是数学家也许会对此很有兴趣。回答这个问题之前，也许应该先回答“什么是量子化”？
物理学家说起“量子化”，就像讨论吃饭睡觉一样平凡。要么正则量子化，要么路径积分量子化。虽然正则量子化涉及数学上很难操作的Dirac delta和并不收敛的 Fourier 积分，而路径积分所假设的测度至今也没有在数学意义上定义出来，这些数学家不承认的“数学”对于物理研究来说已经足够好了。物理学家还证明了这两种量子化方法是等价的。
从数学上看，这个等价性已经很耐人寻味。假设我们的宇宙是一个紧致流形，取一个类空超曲面（这相当于某个参照系的等时截面），它把宇宙分割成“过去”和“未来”。现在我们想计算宇宙的真空期望值（一个路径积分），我们可以分别计算“过去”和“未来”的真空期望值（两个路径积分），然后把它们“乘”起来。但是我们发现“过去”和“未来”的真空期望值不能是“数”。如果它们是“数”，那么“过去”和“未来”的概率分布就独立了，也就是说过去部分和未来部分没有相互作用。如果我们想要相互作用，我们就必须假设“过去”和“未来”的真空期望值都是“向量”，而整个宇宙的真空期望值是这两个向量的某种“内积”。这两个向量所在的向量空间显然是由这个等时截面决定的，这个向量空间的“大小”反应了相互作用的强度－－－如果这个向量空间是一维的（数），那么就没有相互作用。这个向量空间一般来说是无穷维的，它就是物理理论的"Hilbert space". 所以Hilbert space 度量了不同时空区域的路径积分之间correlation 的程度。
以上的观点导致了conformal field theory 和 topological field theory 的公理化定义。在TFT 的情况，不同时空区域间的作用是如此的微弱以至于 Hilbert space 是有限维的。采用公理化定义并不是为了使理论更抽象，而是要避开路径积分的构造。数学家并不喜欢抽象，抽象大多数时候是迫于无奈。
说了这么多，但是我还是没有回答“什么是量子化”这个问题，或者更精确地问，量子化在数学上到底意味着什么？
Seiberg-Witten 的单极子方程定义了三维流形的Floer homology 和四维流形的数值不变量。现在已经证明Seiberg-Witten 不变量是某个“Hilber bundle” 的经典代数拓扑不变量。然而 Seiberg-Witten 方程是超对称量子场论的经典方程，这个量子场论本身在数学上意味着什么？ 这个量子场论是无穷维空间的几何吗？
书山有路勤为径
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| 发表时间：2005-12-05, 20:24:37 |
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星空浩淼
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Re: 到底什么是量子化？
风兄谈到量子化在数学上意味着什么，我胡侃一下自己的看法（具有高度随心所欲性）：
1）我大学时学高等数学，对一般函数可以用呈周期变化的三角函数或指数函数展开，感到有些好奇。比如一条直线，可以看作无穷多条三角函数曲线叠加而成，任何非周期变化的东西，可以看作是周期变化的东西组成的。
反之，任何周期函数，可以用泰勒级数展开，这相当于周期变化的东西，也可以反过来看作由非周期变化的东西组成的。
另一方面，量子力学产生的初期，那些原创者们试图给与解释。比如Schrodinger假定粒子对应由许多周期性变化的波组成的波包。后来发现这样的波包是随时间色散的，行不通。但是再后来，非线性孤子的发现，又给人以新的想法。de Broglie则有双重解解释，假定粒子对应某种奇性分布，被物质波引导呈量子概率的运动规律。当然现在我们的标准解释是波粒二象性。在这里，Schrodinger的猜测，有点类似于用周期变化的波图像合成非周期变化的粒子图像。所以我当时天马行空地想：傅立叶变换这一数学真理的背后，对应物理学中的波粒二象性。
2）量子力学中的量子化现象，常常跟某种周期性相关联。例如一个三角函数，在自变量为0和10时取值为零，则符合条件的自变量可以是某个数量的整数倍，于是得到量子化。但是量子场论中的量子化，分析起来要复杂一些，此时我也想不了那么多（准备睡午觉了），只有等其他网友补充。不过量子力学与量子场论有一个共性：正则共轭的广义坐标－广义动量对满足正则对易关系，这个可能是量子化的直接来源。
3）量子场论中的量子化，把把场的能量动量等等，分成一份一份的，于是得出结论说场由一个个的场量子组成。我个人认为这还不够，只有位置也同时量子化了，才能这么说——幸好的确如此，此时位置用单个场量子的位置算府表示（相关于对动量的偏微分），我个人甚至认为，所谓“时空量子化”，其实可能就是指物质空间位置分布量子化——这种观点倒是符合马克思主义哲学：空间离不开物质，并且由物质来体现。有人可能会说，有粒子数算符就能说明问题，不需要什么位置量子化。其实粒子数算符是能量动量量子化之后的马后炮式的定义。例如谐振子量子化，能量一份一份的，可是谐振子只有一个。
但是自由场的量子化中，每个场量子的能量和动量却可以连续变化。要想进一步让每个场量子的能量和动量量子化，就要通过相互作用施加周期性边界条件，此时的量子化，便是量子力学中的量子化。
我估计香港那位小伙子之所以问那个问题，是想看看引力场是不是不必量子化。由于测不准原理看来是微观世界普遍适用的，所以人们认为引力场也应该量子化。
啊！如果我能够在时间中来回穿梭，就没有什么愿望达不到的！
| 发表时间：2005-12-05, 23:35:27 |
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星空浩淼
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Re: 到底什么是量子化？
如果一定要从数学上理解为什么会量子化，也是有这么个哲学式的回答：一个整体上非周期性的东西，总是可以局部地分解为周期性的东西之和（包括无穷和）。
啊！如果我能够在时间中来回穿梭，就没有什么愿望达不到的！
| 发表时间：2005-12-05, 23:46:26 |
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星空浩淼
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Re: 到底什么是量子化？
下面正儿八经地（不再是海阔天空地）补充几句：
正则量子化是从量子力学的“量子化”特征入手的；路径积分量子化是从量子力学的“统计”特征入手的（属于系综统计特征。系综统计不一定意味着多粒子，单个粒子不同运动状态特构成系综），在后者这里，经典力学中的最小作用量原理不过是量子力学平均的结果。
路径积分量子化的理论框架主要直接围绕观察手段来建立（即计算跃迁几率幅），而不太关心量子化图像。
量子化在数学上意味着什么？我此时有些底气地觉得，那就是任何满足一定条件的函数曲线（周期的和非周期的），都可以看作周期曲线的叠加，这是傅立叶分解的另一种说法。
例如，一条直线分解成无穷多条不同周期的曲线的叠加时，为了保证能叠加出直线来，越是远离直线的曲线（即振幅大的周期曲线），其周期就越小——翻译成路径积分语言，就是粒子作直线运动，可以看作所有可能的周期曲线运动的叠加，其中偏离直线越大的路径，其作用量也越大（从而来回振荡得更快）。
我依然坚持认为：数学的理论形式是人为约定的，但它所讨论的内容是客观的。它所反映的数学真理，是对这个世界物理真理的另一种语言描述。反对这个说法的人，是因为他们思想被我们人类所创造的数学理论描述形式本身（而不是它要反映的真理）所蒙蔽。
啊！如果我能够在时间中来回穿梭，就没有什么愿望达不到的！
| 发表时间：2005-12-06, 01:55:23 |
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季候风
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Re: 到底什么是量子化？
“波粒二象性”在数学上的确是Fourier 对偶性质。波动现象里面时空坐标与角频率和波矢量本来就是对偶变量， 波粒二象性相当于把角频率和波矢量解释为能量和动量。事实上所有的量子力学都可以用泛函分析的数学语言描述。但是似乎现在看来“波粒二象性”已经不是量子化的本质特征了，或者早就已经不是了，量子场论里的场绝对不是物质波......
书山有路勤为径
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| 发表时间：2005-12-06, 20:16:39 |
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leo2000
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Re: 到底什么是量子化？
从物理上看怎么理解为什么数学家要搞一些交换代数的量子化呢?
数学是贵族的游戏.
| 发表时间：2005-12-07, 04:12:19 |
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季候风
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Re: 到底什么是量子化？
回 leo2000，
你更有资格谈论这个话题，不过我顺便聊一下这个东西的某些历史。
物理上最原始的原因是Heisenberg 为了解决原子光谱问题，建议用矩阵来代替数值变量。这个过程本身就是从交换到非交换。之后才有了形式化。
形式化的第一步是所谓对应原理，如果我没有理解错的话，就是说当Plank 常数趋于零的时候，量子力学方程趋于经典力学的Hamilton 方程。由于Hamilton 方程可以用 Poisson 括号写出来 （用数学的语言来说，辛流形和它的函数Poisson 代数是相互决定的），Dirac 就试图找出 Poisson 括号的量子类似物。
这个令他自己都激动不已的发现就是，Poisson 括号 {u,v} 的量子类似物就是算子的交换子 UV-VU. 这个发现，虽然当初看来非常天才，但是在现代数学研究中是比较常用的思维：辛流形上的函数空间是一个交换代数，有乘法，又是一个李代数，有 Poisson 括号。一个自然的问题是，这两个结构的相容关系是什么？ （这就像我们定义向量空间上的附加结构，比如内积或者范数的时候总要使用一些公理规定这个新结构怎么与老结构，加法，数乘，零元相容。这些相容性质就是我们通常要求的三角不等式，线性，齐次性，正定性。）
函数空间上的交换代数结构和李代数结构的相容关系早在 Poisson, Jacobi 时代就知道了，这就是 Leibniz 法则， {uv, w}= {u,w} v + {v,w} u. 用现代数学的语言来说，每个{w, . } 都是这个交换代数的导子 (derivation)。 Dirac 的天才就在于在那个形式数学远未成熟的年代他就意识到了这个相容关系是整个结构的关键。他想，如果在这个 Leibniz 法则中保持乘法的顺序会怎么样？ 即，我们总是保持 u 在 v 之前， {uv, w} = {u,w} v + u {v, w} 。按照这个规则，我们来看 {uv, wz}。有两种办法，先拆 uv 再拆 wz, 或者先拆 wz 再拆 uv。 这两种办法应该得到同样的答案。结论就是，uv-vu 必然与 {u,v} 成正比。所以Dirac 建议了所谓正则量子化 [U,V] = i \hbar {u,v}。
以上推导的实质是，Dirac 无意中发现了李代数的泛包络代数 (universal enveloping algebra)。但是Dirac所做的不止是泛包络代数，还是“形变量子化”。任给一个李代数，当然有它的泛包络代数（这是一种结合化，李代数是不结合的）。然而 Poisson 代数不仅是一个李代数，本身已经是一个结合代数。所以 Dirac 定理其实是说，经典可观察量的代数对于其 Poisson 括号的泛包络就是量子可观察量的代数。
形变量子化是更有远见的，可以说它在“等待”量子力学的“不精确” 出现。它认为 [U,V] 是 \hbar 的形式幂级数，第一项由 Poisson 结构决定，后面的项可能由经典相空间上更多的几何结构决定， [U,V]＝i\hbar + O( \hbar^2 ). 当然，从正则量子化到形变量子化不需要多少想象力（这并不是说我这种普通人也能想得到，呵呵）。
Kontsevich 在1997年证明每个配有 Poisson 结构 （函数空间上满足 Leibniz 法则的 李代数结构） 的有限维流形有唯一的形变量子化。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-12-07, 11:57:11 |
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季候风
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Re: 到底什么是量子化？
以上这篇给人的感觉好像经典相空间上的几何结构是更本质的东西。其实按照现在流行的说法，几何结构是量子世界的“经典幻象”。或者说这个世界其实只有结合代数及其交换子定义的自然李代数结构，而经典相空间及其上Poisson 结构只是因为我们日常生活的能标太低而看见的一些“边际效应”。根据Gelfand-Grothendick的逻辑，空间是代数的谱，所以我们其实生活在“非交换空间”里面，这个非交换空间是量子可观察量代数的谱。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-12-07, 12:15:30 |
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那一剑的寂寞
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Re: 到底什么是量子化？
这个问题问的好,我也很想知道到底什么是量子化.在有些杂志上看到什么四维的量子几何,还有什么量子群(这个我还有点清楚,他的前身就是Hoppf代数),量子Galois理论,感觉这些东西挺有趣的,但是就是不清楚怎么产生的 .
还有,谁来介绍一下顶点算子代数,这个东西在量子场论中很有用的,在超弦里面也有应用,我看了一个周坚的讲稿,可惜没有搞明白这个东西在微分几何里到底有什么威力.
| 发表时间：2005-12-08, 02:01:39 |
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leo2000
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Re: 到底什么是量子化？
介绍的好啊,我对物理可知道的不多.
不过, 我觉得把什么代数都拿来搞量子化有点变态. 而且Grothendieck 的
看法对于实际搞几何或者拓扑的人来说不太方便讨论一些具体的几何对象．
数学是贵族的游戏.
| 发表时间：2005-12-08, 02:43:09 |
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星空浩淼
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Re: 到底什么是量子化？
风兄谈的，好像更像是关于如何完成从经典力学到量子力学之间的过渡，而不是“为什么要量子化”或者“自然界为什么会量子化”。
我痴故我呆，我呆故我傻，我傻故我笨，我笨故我贫，我贫故我悲，我悲故我苦，我苦故我思，我思故我在
| 发表时间：2005-12-08, 08:06:18 |
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季候风
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Re: 到底什么是量子化？
谁来介绍一下顶点算子代数,这个东西在量子场论中很有用的,在超弦里面也有应用,我看了一个周坚的讲稿,可惜没有搞明白这个东西在微分几何里到底有什么威力.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
暂时还不懂这个。不过按Witten 的话说，弦论的时空几何被“调制”在二维共形场论之中。现在一些数学家也接受这种观点，比如 G. Segal, 他说共形场论是广义相对论的推广，前一段时间很多人还在研究B-field 是一种什么几何结构，不过好像没什么太大的意思，只是说跟一种"twisted K-theory"有关。在低维的情形共形场论和Einstein理论的联系更加紧密，因为三维的引力理论和二维的Liouville共形场论几乎是一回事（ Verlinde conjecture，claimed the proof by Teschner ） 。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
我觉得把什么代数都拿来搞量子化有点变态.
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很多时候量子化的确导致新的数学现象......不过我也认为应该以应用为主，量子化要面向几何目的。
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风兄谈的，好像更像是关于如何完成从经典力学到量子力学之间的过渡，而不是“为什么要量子化”或者“自然界为什么会量子化”。
～～～～～～～～～～～～～
我提出的问题自己回答不了，我是就leo2000的问题侃侃大山而已。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-12-08, 11:40:54 |
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本科吹牛
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Re: 到底什么是量子化？
自己有时也想学学量子之类的东西,看了这么多位大牛的心得,内容当然是雾水一头,只是多少了解了一点各种概念语文上的逻辑关系轮廓而已.
"如果一定要从数学上理解为什么会量子化，也是有这么个哲学式的回答：一个整体上非周期性的东西，总是可以局部地分解为周期性的东西之和（包括无穷和）。 "
这段话我觉得很有意思,如果换一个说法,如换成:
一个整体上非规律性的东西总是可以局部地分解为有限或无限的规律性东西之和.
那就很多情况下都可以适用了,比如我的某个利益是明确的,这利益当然会涉及到其他人的利益,其他人在这个问题上的利益当然也是明确的,所以我实现我的利益的结果因受别人的利益的影响而往往只是部分实现.而对别人的影响往往受时机状态等的影响而显的很不确定
以前西门兄曾总结出一句话说:确定的个体构成统计的整体.现在可以这么来说了确定的个体在构成整体的过程中因其相互作用的复杂性和不确定 而导致了整体的统计性
心地要善，脸皮要厚
| 发表时间：2005-12-09, 01:03:24 |
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本科吹牛
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Re: 到底什么是量子化？
拿这来当波函数的物理意义好象说的通了
心地要善，脸皮要厚
| 发表时间：2005-12-09, 01:12:41 |
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yinhow
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Re: 到底什么是量子化？
一个整体上非周期性的东西，总是可以局部地分解为周期性的东西之和（包括无穷和）。
====================================================
间断点呢？按数学定理，FOURIER无穷级数之和在间断点等于左右两边值之和的一半。
| 发表时间：2005-12-11, 04:41:07 |
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yinhow
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Re: 到底什么是量子化？
如果“量子化”是几何的内禀性质之一，为什么过了两千年人们才逐渐了解它？
| 发表时间：2005-12-11, 20:26:48 |
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季候风
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Re: 到底什么是量子化？
过了两千年才逐渐被了解的几何性质很多吧......微分几何，代数几何，拓扑学，......
当然，这并不表示量子化是一种几何现象
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-12-11, 21:40:03 |
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弱力三千
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Re: 到底什么是量子化？
如果“量子化”是几何的内禀性质之一，为什么过了两千年人们才逐渐了解它
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因为量子化的观念只出现了100多年，所以此前没有这个概念。所以要2000年中实际上只有100多年让人们去认识量子几何。
当华美的叶片落尽，生命的脉络才历历可见
弱水三千，只取一瓢饮
娇玫万朵，独摘一枝怜
| 发表时间：2005-12-12, 05:18:02 |
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弱力三千
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Re: 到底什么是量子化？
说到量子Poisson括号，很多书籍吹得很厉害，其实早年Dirac是很自得于他这个灵感的，他在乡间小路上想到这个后回去查资料，找到这个关系。但是这不过使得Heisenberg的量子力学（矩阵力学）更加简洁优美，突出非对易关系。
Dirac晚年说：“非对易关系真的那么重要吗？我过去一直这么认为。但是现在我不再这样认为了。”他接着说他觉得相位更加重要。
辛流形等概念的早期发展倒不是借助于量子Poisson括号，我宁可认为Darboux，Poincare等人的工作更能体现这个数学分支的风格。
当华美的叶片落尽，生命的脉络才历历可见
弱水三千，只取一瓢饮
娇玫万朵，独摘一枝怜
| 发表时间：2005-12-12, 06:31:53 |
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星空浩淼
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Re: 到底什么是量子化？
回yinhow:
“一个整体上非周期性的东西，总是可以局部地分解为周期性的东西之和（包括无穷和）。
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间断点呢？按数学定理，FOURIER无穷级数之和在间断点等于左右两边值之和的一半。 ”
间断点相当于当作边界条件来处理了。这个问题不影响“一个整体上非周期性的东西，总是可以局部地分解为周期性的东西之和（包括无穷和）”这个陈述，因为任何可以用傅立叶级数展开的东西，都适合于这个陈述，而间断点在傅立叶分析中有处理的办法，即你已经提到的办法。
再说，谈论周期是对于一段曲线而言，对于某个点这个说法没有意义。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2005-12-12, 07:52:56 |
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