那一剑的寂寞
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介绍一下文小刚(ZZ))
把张守晟介绍完以后我贴在水母上了，结果居然没人讨论学术问
题，只有两个人讨论张守晟和文小刚是不是年轻一代华人中最牛的:P
那我就再介绍一下文小刚的量子序吧，不过这个东西我知
道的就更少了。
文小刚是MIT的教授，他在量子霍尔效应和高温超导方面都作了很
多工作，我能想起来的象高温超导的SU(2)规范理论，好像他好多
工作是跟这个有关的，就是在作了自旋电荷分离（把charge看成boson
）的tJ模型中寻找SU(2)的对称性，这个对称性在半满的时候是严格的
有掺杂的情形则有破缺。跟以前的slaveboson理论相比，它的优点是
可以用su(2)spinor场统一的表示许多可能的态。由于自旋电荷分离
只是一个数学手段，在解出一个解以后必须进行投影到物理的态空间
因此可能有好多SU(2)的态对应一个物理态，如果我没记错的话，
应该是任何两个SU(2)规范等价的态都对应于同一个物理态。当然了，
SU(2)可能的缺点是非阿贝尔规范理论太难处理了，何况又是晶格上的。
下面就言归正传，说说我对量子序这个概念的理解。
量子序这个概念是相对于经典序提出的。我们知道，自朗道以来我们
就用对称性破缺的概念来刻画二级相变，这也就是说我们是用对称性
的高低来区别一个体系不同的相的。这种刻画的好处是我们可以从对
称性的角度直接给出这些相的一些普遍的低能性质，甚至在我们还不
知道这个系统的细节时。比如知道了一个有连续对称性破缺的基态，
我们就知道相应的Goldstone mode。
（这里本人有一个问题：实际上朗道理论只告诉我们如何描述2级相变
其它的相变中上述描述并不一定适用。比如气体液体相变就没有对称
性的变化。目前我还不清楚那种相变怎么理解。）
现在我们来看量子多体系统的情形。先是量子霍尔效应，每一个分数
量子霍尔效应的态都可以算作一个相，因为他们确实有明确的区分标
志，有一定的稳定性。（这里也有一个问题：我们究竟能够在多明确
的程度上定义什么样的变化叫相变？）但所有这些相都是量子流体，
没有对称性破缺，也就是说我们无法从对称性的角度区分它。类似的
事情发生在高温超导中（确切的说是发生在高温超导的某些模型中）
有一类模型认为在掺杂破坏了反铁磁长程序以后，超导态的自旋应该
是spin liquid，和所有的liquid一样，这是一种没有对称性破缺的态。
但没有一个实用的模型能够直接解出一个spin liquid基态。这里我们
就遇到同样的问题：在不同的条件下，体系可能喜欢不同类型的spin
liquid，那末我们如何区分这些不同liquid?
上面的问题实际上就是我们要找到一种新的度量标准，代替对称性
高低这个标准，来区分对称性相同的不同“相”。这个新的标准怎么
找呢？我觉得好象是文小刚从上面说的他的高温超导理论中得到了不
少启发。因为用SU(2)可以描述很多态，虽然SU(2)规范等价的态都是
同一个态，但这不恰恰说明可以用SU(2)规范等价的等价类来区分不同
的物理态吗？所以思路就是先给出在要求物理态有对称性的前提下，
SU(2)态的可能的构形。这些构形相互之间有对称性上的差别，但都
保证在映射之后得到的态具有物理态应有的对称性。这样，这些构形
在映射之后得到的就是对称性相同的不同量子相。（当然也可能两个
构形映射到同一个相，就是说这个分类不是绝对正确的，但是可以说
许多时候是对的。）
更具体地说，物理态有对称群G,则要求在G的一个操作g之下物理态变到
它自身，这也就要求在同一个操作下相应的SU(2)态变成一个跟他自己
规范等价的态。设这个相应的规范变换为p(g)
比如说物理态是旋转90度不变的，那末su(2)的态就可能也是旋转90度
不变，还可能是旋转90度的时候出一个负号。
这个理由跟Bloch波函数很相似。于是SU(2)态的不同态可以用不同的
{p(g)}来衡量。每一个SU(2)的态具有一个对称群，这个对称群的元素
是G的操作g配上相应的p(g)。这个群叫做映射对称群（PSG），不同
的量子相就是通过PSG区分的。
这么说好象看不出这个区分是否具有“相”的意义，但文小刚讨论了
PSG如何给出这个体系的低能激发性质，正如经典序给出Goldstone
mode一样。
上面说了一个态的PSG是所有使这个态不变的g和p(g)的复合操作构成
的。这样PSG就包含一个子群IGG(不变规范群），
它由PSG中所有纯规范变换的元素构成。
对不同的构形，能让它不变的纯规范变换是不同的。假设某一个态
的IGG中包含U(1)群，也就是说存在某种作用方式，让这个态在一个
同构于U(1)的群作用下是不变的。我们把这个群作用看成一个
“整体规范变换”，则相应的我们可以定义对这个态的定域规范变换，
就是把规范变换的相位改成与空间位置有关的。然后就是和一般的体系
一样引入规范场。而规范场不为零的态实际上是对应于一个在物理上
不同于原来态的新态，如果把原来的SU(2)态对应的物理态看成一个
基态，则这个态是一种激发。这种激发的能量要由体系的哈密顿量
决定，但由于IGG的存在使得在规范场的长波极限下，这种激发趋近
于原来的态，规范场的效果趋于IGG的一个元素，因此这种激发一定
是无质量的。也就是说，IGG决定了低能激发的性质。如果IGG中包含
一个别的规范群，就可以有相应规范场形的低能激发。甚至由于物理
态具有定域的SU(2)不变性，IGG可以包含比SU(2)更大的子群。
于是我们得到的结果是，这个体系中并不真正存在规范场，也不真正
存在规范场所作用的内部自由度，但它的低能激发却具有跟相应规范
场boson一样的性质；那些SU(2)的态上的规范变换本身没有物理的意
义，但在其上的规范涨落却可以具有物理的意义。
其实这个过程跟通过对称性破缺给出Goldstone boson的方式是很相
似的。Goldstone mode告诉我们一个体系中的spinless massless
boson的一个可能来源，而文小刚的这个理论告诉了我们，在一个可能
根本没有什么相位的体系里如何产生象gauge boson 一样的激发。
因此他后来想把这个机制真正移植到高能去，解释光的起源。他试图
通过这个机制给出标准模型中的各种规范群。这个理论的细节我不懂，
但我觉得至少它提供了一种理解规范的方式。
文小刚反复说，这个理论意味着，规范玻色子是“量子纠缠的涨落”，
我也不太懂他的意思。
对于这个理论我现在就知道这些，许多地方都有些说不清楚。PSG只是
在一类特定的情况下描述量子序，还有许多情况，如量子霍尔效应中
的量子相仍然不知道应该用何种方式统一描述。当然，文小刚也写过
一些文章讨论量子霍尔流体中的拓扑序。这些不同的量子多体系统中
出现的相变，有没有一种共同的机制可以描述呢？我想这是一个值得
思考的问题。我个人觉得要说完全普遍的机制应该是没有的，正如
经典相变也没有一个完全一致的机制，原因是相变的概念太广泛了。
但就象朗道2级相变理论可以研究一大类问题一样，应该努力去找到
不同体系的量子相变之间的共同点。象PSG方法是依赖于将Hilbert空间
扩大，在这个扩大的空间里找对称性，再投影回来。这个投影的机制
是必要的呢还是数学上绕了弯？如何给这个投影一个解释？
关于量子序我就写这些，有不对之处请大家指出。
| 发表时间：2005-12-11, 06:40:13 |
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