繁星客栈 - 观星楼 (自然科学论坛)

王善钦

发表文章数: 51
武功等级: 野球拳
　　　　　(第六重)
内力值: 121/121

（原创）相对论时空中的矢量与张量

（原创）相对论时空中的矢量与张量

（转贴请注明“繁星客栈”）

我将从一个错误认识开始说，昨天在客栈看到一篇广义相对论的帖子里说到Minkowski时空中张量不分逆变和协变，并认为这是平直空间的共性。我将直接切入正题，把一些概念压到后面讲。

我们将Minkowski时空的线元写为ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2或者ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，我们可以将变换矩阵写成对角形式：
η_μν=diag（-1， 1， 1， 1）
或者：
η_μν=diag（1，-1，-1，-1）。

在Minkowski时空中进行线性变换，形式为：x_μ=η_μν. X^ν,其中“^ν”表示上标。
这时如果取：η_μν=diag（-1， 1， 1， 1）
则：x_0=- x^0，x_1= x^1，x_2= x^2，x_3= x^3，x_4= x^4，
如果取η_μν=diag（1，-1，-1，-1）
则x_0= x^0，x_1= -x^1，x_2=- x^2，x_3=- x^3，x_4=- x^4，
由于存在一个符号或者三个符号，因此逆变向量与协变向量使不一样，的这个不同由η_μν引起。

为什么我们在Euclidean空间中没有这个奇怪的结果？因为在Euclidean空间中取定正交坐标系后，变换矩阵为diag（1， 1， 1， 1），因此变换时x_μ= X^μ，上下指标相等，才导致逆变向量与协变向量相同，因此可以统称为矢量。

如果采取一般的仿射坐标系，各个坐标轴不是正交的，那么变换矩阵久不是对角形式，协变矢量和逆变矢量就不一样。这是绝对平直空间，但是仍然有这个差别。因此认为这两个矢量的差别是由引力或者说弯曲时空引起，是完全错误的。

从物理上看，我们考虑强等效原理，在一点无限小的领域内，弯曲时空由其切空间逼近，可以用加速度等效引力作用，当然整体上这是不行的。但是在无限小领域内可以这么做，这时候我们可以认为它没有引力，那么按照那种观点，岂不是让广义相对论都用不着区别协变和逆变了？

协变矢量和逆变矢量由相伴坐标（互易坐标基）可以给出很自然的解释。
如果坐标基变换时的矩阵为A，坐标分量的变换为A的逆矩阵转置（自然等于其转置矩阵的逆矩阵），所以称为逆变矢量。
如果坐标基变换时的矩阵为A，坐标分量的变换为A，则称为协变矢量，此时也称为共变矢量。

张量是矢量的自然推广，所以这些定义可以直接迁移。如果一个张量变换时其矩阵变换的乘积因子都是逆变的，称为逆变张量，同样可以定义协变张量。如果有的因子为逆变，有的为协变，则称为混合张量。
广义相对论用2阶张量，因此只有三种情况，逆变，协变和“一个逆一个协”。

很显然，张量（这是我们将矢量归为一阶张量）的逆变和协变时由坐标变换引起的，与空间是否存在引力或者说是否弯曲毫无关系。也由于张量的变换借助于坐标这个局部观念，相对论的早期发展都是建立在局部观点上的，上世纪50年代后，微分几何已经盛行整体观点即映射观点了，张量也被定义为多重线性代数中的整体映射了。这不是这里要说的，此文到此为止。

发表时间：2005-12-13, 02:38:42