semi
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武功等级: 罗汉拳
(第四重)
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不变常数张量是否也可以看作标量？
1、四维平直时空中不变张量有g_uv=η_uv;ε_uvst;(δ^u)_v;另一方面由于它们是固定常数，在坐标或标架变换下不变，这与标量变换规律一致，所以它们也似乎可以看作标量。
佐证例子1：
在正交标架下考虑g_αβ=η_αβ的自旋协变导数，先将此看作张量有g_αβ:σ=0;若看作标量有g_αβ，σ=0;两者刚好相等且为零，逻辑上是和谐一致的。（弯曲时空也有同样的结论）
佐证例子2：
在旋量分析中，SL(2,Z)中度规张量ε_uv，这个同样的矩阵，它可以看作不同类型的张量，即可以看作ε_AB;ε_A'B';ε^AB;ε^A'B'四种不同张量类型，同时它又是常数张量，所以也可以看作标量。
2、在弯曲时空下，g_uv；ε_uvst不再是常数张量，所以不能再看作标量；但(δ^u)_v，与正交标架下g_αβ=η_αβ仍是常数张量，所以仍可以看作标量。
物理方程之美,是一种极致悠远之美.
| 发表时间：2005-12-13, 09:34:43 |
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季候风
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武功等级: 太极剑法
(第四重)
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Re: 不变常数张量是否也可以看作标量？
首先，张量是线性概念，与向量空间上有没有度量无关。度量 g 按照定义，就是一个正定对称二阶张量。g_{ij} 只是张量 g 在某个标架下的分量， g=g_{ij} e_i \tensor e_j。做基变换的时候，g_{ij} 当然要改变。
这里有个逻辑问题，是先固定度量g，然后才能谈论什么叫关于 g 的正交标架，什么叫关于 g 的等距群，然后我们才能谈论在等距群作用下的变换规律。关于g的正交标架按照其定义，就是使得 g 的分量对角的那些基底。所以 g_{ij} 在正交标架的转换中保持不变只是正交标架的定义的结果。
epsilon 是 Minkowski 空间的体积形式，就是dx1 dx2 dx3 dx4. 带着指标的 epsilon 只不过是这个4阶反对称张量在某一个基底下的系数。因为 Minkowski 空间是四维，其切空间是四维，那么所有的4阶反对称张量空间是一维的，变换基底的时候，epsilon 的分量只被数乘，这个数就是基底变换的行列式。如果有了度量，而且只考虑正交标架，那么标架变换的行列式都是正负1，所以epsilon 的反对称指标只改变正负1。
物理系也应该学线性代数吧，有了线性代数的基础，再去看多重线性代数并不难，然后在仔细看看基本的微分流形，用不了多少时间。一般的微分几何书上前半部分都是在讲多重线性代数。强烈建议搞理论物理的同修学数学的时候不要看“微分几何在物理学中的应用”这种书，还是应该直接看数学专业的微分几何。搞数学的学物理一般都是直接看物理学家的著作。
微分几何最重要的是在整体观点和局部坐标计算之间的自由转换。
推荐几本概念清晰而且强调计算的书：
陈维桓：微分流形初步，黎曼几何引论
陈省身：微分几何讲义
更强调整体观点和纤维丛观点的微分几何书：
Foundations of Differential Geometry (Vol 1)
Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu
这里有一个简短的讲义，短短一百来页，道尽了微分几何的精髓
http://almaak.usc.edu/%7Ekhonda/
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-12-13, 19:45:21 |
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windowsxp
发表文章数: 138
武功等级: 罗汉拳
(第五重)
内力值: 167/167
Re: 不变常数张量是否也可以看作标量？
张量不等于不变量也不等于标量（组）
不变量总是在某一变换群下的不变量
在物理中，逻辑完全可能会支持错误的结论，因为人们并不了解自己假设的实际意义。
| 发表时间：2006-06-25, 00:38:34 |
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星空浩淼
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武功等级: 九阳神功
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Re: 不变常数张量是否也可以看作标量？
不变常数张量当然不能看作标量（假定你谈论的是时空张量，而且张量是指二阶和二阶以上的）。
不变常数张量在时空坐标变换下，要经过一个变换公式之后，发现碰巧变换前后的所有分量相等；而标量在时空坐标变换下，直接就保持不变。张量有多个时空分量，标量就只有一个分量。
“首先，张量是线性概念，与向量空间上有没有度量无关。度量 g 按照定义，就是一个正定对称二阶张量。”
－－－－－－－－－－－－－－
对于时空空间，其度规张量是不定的（时空之间存在号差），而不是正定的（除非引入虚数时间的描述方法，把时空看作伪欧氏空间。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-06-25, 05:18:23 |
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追忆
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武功等级: 般若掌
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Re: 不变常数张量是否也可以看作标量？
我认为可以
标量\矢量本来都属于张量,前者是零阶,后者是一阶的
非关癖爱轻模样，冷处偏佳，别有根芽，不是人间富贵花；
谢娘别后谁能惜，漂泊天涯，寒月悲笳，万里西风瀚海沙．
| 发表时间：2006-07-04, 09:05:26 |
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