kanex
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写一点稍微像样的东西
请万万不要误会我不喜欢被指出错误。不改正错误怎么能进步？发上来就是做好了挨骂的心理准备的，呵呵。
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1) 经典real scalar场。
(d2+m2)phi(x)=0是free theory。我们看有相互作用的(d2+m2)phi(x)=F(phi(x))。
F由某个势V(phi)而来[在Lagrangian中很清楚]，F=dV/dphi。例如lamda^4理论里V=1/24*lamda*phi^4。能重整化的理论中V的幂次不能超过4，故最通用的V=1/6 g_ijk phi_i phi_j phi_k + 1/24 lamda_ijkl phi_i phi_j phi_k phi_l。g和lamda需对交换下标对称。
虽然我们可以在无源的情况下算一个解，但是为了对场的情况有更好的了解，我们加上一些扰动J1(x)，J2(x)等等。我们想知道，这些J传播到phi处会是怎样。-(d2+m2)phi(x) = J(x) - F(phi(x))。
格林函数是解场方程的良好方法。-(d2+m2)G(x-y) = delta(x-y)。delta函数做傅立叶展开之后比较好处理：delta(x-y) = (2pi)^-4 * Integrate( d4k * e^(ik(x-y) ); G(x-y) = (2pi)^-4 * Integrate(d4k*e^(ik(x-y))*1/(k2-m2))。我们需要注意到G(x-y)不是唯一定义的，我们可以随意加上(d2+m2)G(x-y) = 0的解，这对应于积分所取Contour的自由度。通常的做法是把Pole移一下位置：1/(k2-m2+i*epsilon)，epsilon->0 ，然后取一个k0面，把它变成d3k。
然后phi(x)=Integrate(d4y * G(x-y) * (J(y)-F(phi(y)))。
我们对J做展开。
phi(x) =phi1(x)+phi2(x)+…. = Integrate(d4y * G(x-y) * (J(y)-F(phi1(y)+phi2(y)+…))
phi1(x)代表关于J是一次，phi2(x)代表关于J是二次，依此类推。
展开可以用树状费曼图作为助记符号：每一点是时空中一点，我们想知道的phi是树的根，J1、J2等等是树的最终叶子，如果是lamda^4理论那么每个节点都是四条线的交点并标上lamda，将x到y的边标上G(x-y)。那么每一棵可以画出的树对应于展开中的一项〔注意有一些系数的问题〕。然后我们将除了我们想知道的那一点外的所有点对所有x积分。或，将边标上1/(k2-m2+i*epsilon)，并保持每个顶点上k守恒的前提下对k积分。
2) 量子化
明天有考试，考完再写。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-14, 04:12:02 |
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sage
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Re: 写一点稍微像样的东西
This sounds much better.
On the other hand, what you have here is purely classical. Equation of motion is only true for a classical particle. It does not hold with quantum correction in a interacting theory, such as lambda phi^4.
In anticipation to the quantization, it is much better to start with a Lagrangian rather than starting with the equation of motion.
| 发表时间：2005-12-14, 19:49:38 |
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yinhow
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Re: 写一点稍微像样的东西
自由的场有GREEN函数，有相互作用的场也有GREEN函数，后者是如何七拐八弯从前者得到的？
| 发表时间：2005-12-14, 20:25:56 |
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sage
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Re: 写一点稍微像样的东西
自由的场有GREEN函数，有相互作用的场也有GREEN函数，后者是如何七拐八弯从前者得到的？
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free field does not have greens function, in principle, since it cannot come from a source. Solution for free fields are trivial, they are plane-waves
classical field equation for interacting fields could be solved by using the green's function defined by
(d^2 + m^2) G = delta-function
| 发表时间：2005-12-14, 20:35:21 |
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星空浩淼
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Re: 写一点稍微像样的东西
我在这里看公式很费劲，所以没有仔细看楼主的帖子，好在有sage兄的回答。
自由的场有GREEN函数，有相互作用的场也有GREEN函数，后者是如何七拐八弯从前者得到的？
free field does not have greens function, in principle, since it cannot come from a source. Solution for free fields are trivial, they are plane-waves
classical field equation for interacting fields could be solved by using the green's function defined by
(d^2 + m^2) G = delta-function
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回sage兄和yinhow兄（以下说的sage兄当然很熟悉，只是感觉sage兄可能没有完全回答到yinhow真正想问的问题）：
可能这里涉及一个定义的问题。一般地，把自由场的齐次方程，例如(d^2 + m^2) ψ=0， 换成(d^2 + m^2) G =delta-function ，此时就把 G称作原方程的GREEN函数，也称作自由GREEN函数——求出这种单位点源产生的场之后，根据叠加原理，就可以求出任意源产生的场，这就是引入GREEN函数的一个重大意图。再如，自由传播子常常就是这种自由GREEN函数，名字叫法中有“自由”。
任意一个量都可以看作单位量之和，所以任意函数可以用delta-function 进行积分展开。积分相当于连续求和，而delta-function 相当于连续情形下的单位“1”。
尽管原则上可以利用叠加原理由GREEN函数来求出任意源产生的场，实际上往往不容易计算。所以往往采用微扰展开的办法，用自由场算符和自由传播子来进行无穷展开。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2005-12-14, 22:11:44 |
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kanex
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Re: 写一点稍微像样的东西
sage, 的确Hamiltonian和Lagrangian approach具有它们的优势, 不过我个人认为从经典场论而来或许也不错. 以前我对Canonical quantization不怎么喜欢, 现在打了七八份不同的notes, 找了五六本书, 下点功夫做得稳固些吧.
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-15, 02:47:40 |
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kanex
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Re: 写一点稍微像样的东西
那么现在, 我给出一个想法. 这个想法在一年多前毫无预兆地来到我的脑海之中.
我们观察之前所做的事情: 画出一张树状图, 然后对所有可能的坐标积分.
什么叫所有可能的坐标? 仔细的思考告诉我们, 是从R4到这张树状图[一个拓扑构造]的所有可能的连续isomorphism. 数学上可以有更严格的表述, 但大致是这样.
这是classical的图景. 做quantum的时候要画圈图.
然而我的想法是: 如果我们考虑的是所有可能的morphism, 不一定要连续, 不一定要injection, 不一定要surjection, 那么圈图就自然地被出现了. 请大家仔细考虑.
这个想法的物理图景, 或许可以说是彻底的对坐标的抛弃. 我有一些其它的证据支持它, 例如locality. 但, 在我建立合适的较严格的数学描述并进行各种运算之前, 大家先当是笑话看吧 ;)
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-16, 04:10:53 |
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Alex