萍踪浪迹
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谈谈数学中的刚性定理
我曾经在论坛写过两篇与刚性有关的东西，sage兄问了一些问题，我总觉得没有说明白，我还答应他有空就写详细点，现在我来履行这个诺言。写完后我必须等十来天后才有空上来。
刚性问题的研究由来已久，我们先来看看著名的Cohn-Vossen刚性定理和Minkowski唯一性定理：
Cohn-Vossen刚性定理：在两个闭凸曲面之间的一个等距对应必为一运动，或
一运动加反射。即这样的一个等距是平凡的。显然，这个定理在局部是不成立的。
Minkowski唯一性定理： 设S是闭凸曲面，其Gauss曲率K(ξ)>0．则函数K(ξ)
决定S仅差一个平移。Minkowski定理说明，当及K(ξ)为已知时，S唯一决定。
这是曲面论中最著名的刚性定理，由于两者研究的都是闭凸曲面，Gauss曲率（局部数值）和拓扑（整体性质）的结合使得某些性质受到强烈的性质而具有某种刚性。
事实上闭凸曲面总是刚性的，著名的Blaschke-Weyl公式就与这个结果有关。同时，具有混合曲率的旋转闭曲面可以不是刚性的。
环面是刚性的，而闭柱形面必须满足一定条件才具备刚性。K个S^2的度量积在E^3k中是刚性，在E^3k+1中则不是刚性的。
在高维子流形中，由于其他几何和拓扑性征的限制，获得的与刚性有关的结果就更加丰富多彩。最简单的是：任意亏格的正极值曲率的闭曲面是刚性的。
在多复变情形，我们当然可以让视角更开阔点，研究复（微分）几何。首先著名的Poincare定理打破了单连通区域之间的双全纯映射的普遍存在性，在单复变情形这是恒成立的（Riemann映射定理），但这还没有涉及到刚性，因为这可以从单位球和双圆柱的全纯自同构群的不同而直接推出，属于代数性质和分析性质的结合。
确定单位圆的全纯自同构群要用Schwarz 引理，Schwarz 引理虽然名为lemma，但是却极其重要，关于这个引理的推广是极其精彩的，比如Schwarz-Pick定理，以及Ahlfors的一些精彩工作都与这个引理的推广有关。
在多复变数的情形要应用高维推广了的Schwarz 引理即Cartan的两条定理来定出域U的全纯自同构群Aut（U）。
双圆盘的Aut（U）中保持圆点不动的子群的群元为diag（exp（θ_1）， exp（θ_2）），为Abelean group；
单位球的Aut（U）保持圆点不动的子群由酉旋转生成，属于酉群 U（2），是non-Abelean group；
这两个群不同构，于是这两个区域无法建立双全纯映射。
我们继续考虑一种情况，就是让将单位球进行一个小的挠动，令其产生一个小的形变，可以证明，挠动前后的两个域无法建立全纯等价，这个结果就是一个刚性结果。
在单复变情形，我们研究任意Riemann面的万有覆盖曲面（universal covering surface，泛覆盖曲面），Riemann，Klein，Poincare，Koebe等人进行了深入研究后得出著名的单值化定理（依大多数文献的习惯，称为Poincare-Koebe单值化定理）：
任意Riemann面的万有覆盖曲面全纯等价于单位圆、复平面与Riemann球（扩充复平面）三者中之一。
由于Riemann面的万有覆盖曲面为单连通Riemann面，所以定理的另一个形式被表述为：
任意单连通Riemann面全纯等价于单位圆、复平面与Riemann球（扩充复平面）三者中之一。
在多复变情形，我们刚才刚刚看到单位球（单位圆和两个基本推广之一，另一个推广为多圆盘）挠动后就无法与原来的球全纯自同构了，加上很强的曲率限制后仍然没有什么好的性质得出。我们也就可以了解为什么采用了"Riemann面的万有覆盖曲面"推广形式的"Riemann域"覆盖多复变空间中任意区域后无法得出类似于Poincare-Koebe单值化定理这样的优美结果了。）
在代数数论和代数几何中，重要的研究对象是刚性解析空间，刚性解析空间有几个结果类似于复解析空间（复流形的推广）的结果已经被研究得比较透彻。代数曲线和代数簇（代数曲线和代数曲面的推广）的单值化的 p-adic 模拟也已经构造出，刚性解析空间的概念与形式概型之间有一定关系。
显然，代数几何由于双有理映射的要求而显得非常刚硬，而拓扑学的刚性则比较小，（复）微分几何的刚性从定性上说介于二者。但是闭凸曲面则极其刚硬，甚至确定到运动，而在一般情形，运动与恒等被视为相等概念，一个专门术语是“合同变换”，比等距变换的限制强多了。
即使在看来刚性最小的拓扑学情形，在低维拓扑流形中也过于刚硬，Whitney技巧在低维情形的失效也直接与此相关，因此低维拓扑学要求的研究工具就更多，研究起来也更加艰难。
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| 发表时间：2005-12-15, 11:22:47 |
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Re: 谈谈数学中的刚性定理
事实上闭凸曲面总是刚性的，著名的Blaschke-Weyl公式就与这个结果有关。
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补充一下：
Blaschke-Weyl公式是著名的Green公式的变体，用这个公式证明卵形面刚性的思想始于Blaschke（1912）与Weyl（1917），这个公式已经被推广到常曲率空间曲面无穷小形变情形。
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| 发表时间：2006-01-23, 08:02:49 |
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