kanex
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用明确的方式说我的想法...
举complex scalar field theory为例，那么物理似乎可以归结到:
研究从R4到R2的morphism的性质。 其中R4的对称群是Poincare Group， R2的对称群是U(1) group。
论坛里的数学高手很多，我想请问这种问题在数学上是怎么处理的，谢谢。
如果没有对称群的话，那么有那么一点儿像Pi4(S2)，呃。。。等于Z2，比较无聊，不过我相信加上symmetry group后会十分复杂。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-16, 05:42:31 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
那么quantum effect在哪里? 我的想法是, 它应该对应于某种equivalence class: 我们无法分辨处于同一个某种equivalence class的morphism.
我为什么会有这样的想法[其实我想一定有人做过了], 其实还有一些动机. 有限群分类是一个很好的例子: 在非常基本的结构上, 加上一点限制, 然后加入一个equivalence relation, 就有可能得到非常non-trival的分类和一些非常non-trival的奇异结构.
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| 发表时间：2005-12-16, 07:14:38 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
总算开始发现该怎么把我的想法变成实际.
正如我之前所说, 时空中的很多点完全可以映射到同一个粒子上.
考虑最简单的 (d2+m2)phi(x) = J(x).
加 (d2+m2) 的反函数, 就是 phi(x) = int(d4y*G(x-y)*J(y))
那么如果时空中的很多点完全可以映射到同一个"粒子" [就是J] 上, 该怎么做?
想了一阵, 终于明白了. 我们要integrate over all [maybe need to be finite? maybe should put some further limitation on such an ill-defined object?] set in spacetime!
a是所有可能的R4中点的set, b是其中的元素.
phi(x) = int(da*int(db*G(x-b)*J(b)))
很荒唐吧, 需要长时间以给它明确的定义. 不过我知道, finite set的generating function就是 e^x ! 开始慢慢把QM给硬扯出来了.
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-16, 09:25:43 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
I think this is even crazier than Feynman's path integral...
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| 发表时间：2005-12-16, 09:46:56 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
继续想了一下: R4上的所有set, 实际上对应于R4到{T,F}的所有映射.
下一步, 是对积分给出一个合理的定义. 以方便彻底转用Algebra的思维.
说到这里，再说一些废话。
我们观察到的所有定律[毕竟，我们是要回到xyzt上才能得到我们感兴趣的结果！]，或许全部都只是xyzt的对称性在映射的另一端的一种反映：例如映射到R上，那么就得到scalar field的定律。无论映射的另一端是什么，它都一定满足xyzt的automorphism被映射这个functor作用后的结果，表现为一些公式。或许，映射的另一端是什么已并不重要。因为我们基于某种原因，选择了用spacetime做为映射的基点，那么我们就注定得到了我们想要的东西：各种物理定律。
长久以来，我一直怀疑spacetime这个概念的存在价值。毕竟我们能感受到的，只是各种“作用”，各种关系，根本与spacetime毫无关系。只不过如果我们硬要构造一个spacetime[叉开说，spacetime有合理的定义吗？似乎是被作为约定而接受的，或者与我们的大脑构造和身体运作有关？与光有关？]去描述这些关系，那么就得到了各种定律。
举一个荒唐的例子，如果有某种智慧生物用Ax Ay Az At去做为观察的起点，那么它们所建立的”物理体系“恐怕就是gauge group的种种反应了。
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| 发表时间：2005-12-17, 01:18:04 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
所幸的是，我们有category theory，不依赖于任何表达，不依赖于任何结构，直指以人类的当前能力能认识到的最深层的万物本质：物体，与物体之间的关系。
然而这是极度艰难的事情。。。像负数这样的概念，都花了非常长的时间才建立起比较满意的表述[什么才叫做深层的理解？Natural number是finite set的decategorificaion，因为只有元素个数相同的finite set之间才能建立bijection。除掉这个equivalence relation，就可以isomorphism到natural number。如果你能说出一个拥有负数个数元素的集合是什么，那就叫理解了。]。而Complex number更是没有人知道该怎么处理。
我们基于实际操作的原因，在很多时候太随意地利用这些拥有极深刻内涵的概念。这对于处理实际问题基本上没什么影响，但如果想更深一步就会遇上难题了。
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| 发表时间：2005-12-17, 01:33:18 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
所以这叫绕了一圈回到起点:
为什么物理定律会是这样? 因为你试图用spacetime去描述它们. 你换一个东西去描述, 就得到换一个东西去描述时所应得到的结果. 如果你不描述, 那就什么也没有. 本来就应该是什么也没有.
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-17, 01:38:16 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
当然, 现在这么说为时太早太早. 还要等很久, 等数学推导给出了有说服力的证据的时候才行. 所以我现在继续去研究吧......
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-17, 01:48:41 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
更明确地说: 我们只需要研究spacetime向其他事物的映射的分类, 就有可能得出一切物理定律.
其实我想这个想法应该也有不少人有过, 呵呵.
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-17, 02:31:07 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
举个例子, 如果发现了从spacetime到4-vector的映射有XX种equivalence class, 就大概来说等于解释了spin 1的粒子有XX种. 这里只是举个例子, 赫赫, 例如这里没有说gauge group. 实际要复杂很多, 但基本思想就是这样.
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| 发表时间：2005-12-17, 02:43:55 |
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Re: 用明确的方式说我的想法...
在homotopy theory中我们知道, 如果目标空间太大, 会得到trivial group. 所以我们现在似乎有办法解释为什么没有higher spin particle ;)
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-17, 03:06:03 |
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