semi
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协变导数的随态应变（原创）
我发现一个理解与使用协变导数的实用方便的小技巧：
1、若态是用全部指标（群指标、标架指标，坐标指标）表示，(如B_avα)则在协变导数中对各指标分别加入相应的联络项:
D_uB_avα=d_uB_avα+W_ua^bB_bvα-Γ_uv^σB_aσα+gf_αβγA_u^βB_av^γ;
2、若态是标架旋量ψ，则协变导数加入相应自旋联络项矩阵:D_u=d_u+W_u^abΣ_abψ;
3、YM规范理论情形，若态是YM方矩阵F,满足变换F'=UFU^-1;则协变导数采用相应的伴随形式：D_u=d_uF+[A_u,F];若态是方矩阵旋量ψ，满足变换ψ'=Uψ，则协变导数为D_u=d_uψ+A_uψ；
4、若态是以上3种情形混合出现，则协变导数也是以上3种情形相应的混合。
同样一个方程可能全部采用指标写出（如采用Penrose指标写出的各种自旋方程），协变导数这时采用第一种，此时需采用各种旋量联络Γ_uAB；
但同时同样一个方程也可以写成旋量的完全矩阵形式，协变导数此时需采用第2、3种的混合情形（比如将YM理论写成旋量矩阵形式）；
有时同样一个方程也可以写成既含旋量矩阵形式同时有带指标，协变导数此时需采用第4种的混合情形。
所以同一个方程从一种形式写成另一种形式时，协变导数形式也作相应转变，从一种形式转成另一种形式，虽然我不能严格证明此点，但直觉它一定是如此（简单情形可以直接验证），严格证明它是很复杂，很不直观，但从物理可以直接把握它。
直接使用此小技巧，可以直接把握物理方程转变与实质，可以加快、加深对物理方程的快速领误，至少对我自己而言很有效。
举一例子：Penrose指标写出的各种自旋方程：
(D^A'A)Φ_ABCD…=0;
只要协变导数D^A'A中加入第一种带旋量联络Γ_uAB各项，以上方程就从平坦空间推广到了弯曲空间。
物理方程之美,是一种极致悠远之美.
| 发表时间：2005-12-27, 10:25:19 |
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