kanex
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谈Singular Homology中的一些抽象构造
本文意译自John Baez的一个我觉得很精彩的系列，加了一些删减和补充。
A. Presheaf
对于某个category C，一个C上的presheaf是一个contravariant functor F: C->Sets。Contravariant的意思是x->y被映射到F(y)->F(x)上。例如如果我们的C中有两个物体V(vertex)和E(edge)，两个非identity映射S: V->E和T: V->E象征一条边有始有终，那么presheaf就是一张有向图。这个非常抽象，我们具体看一下：V被映射到一个set F(V)，即顶点的集合，E被映射到边集合，S和T被映射到两个函数〔Set和Set间的morphism显然就是函数〕F(S): F(E)->F(V)和F(T): F(E)->F(V)上。一般来说，如果C中的物体对应于“形体”，x->y对应于x可以做为y的一部分的方式，一个方式对应于一个morphism，那么C上的presheaf就可以认为是把这些“形体”粘起来的构成的“形体”。不过为什么要contravariant? Presheaf来自于Sheaf，其起源的动机是用来研究拓扑空间上的可以从局部构造的结构的全局行为，例如解析函数，流形，open sets等等。拓扑中的Sheaf的定义是：对于X上任何一个open set U，对应于一个物体F(U)；且如果V属于U，那么就有一个morphism F(U)->F(V)，叫做restriction morphism。研究拓扑空间上的结构还是研究从大映射到小的行为才有意思。当然我们还可以谈C-presheaf等等，就是映射到C而不是Set上。
B. The Category of Simplices
Simplices是非常可爱的东西，因为它可以做为Topology和Algebra之间的桥梁。我们叫这个Category叫Delta，里面的物体叫0,1,2,3,等等，表示空，点，线段，三角形，等等。里面的morphism有两类，一种是之前说过的小形体做为大形体的面的方式，一种是把大形体映射到小形体上的方式〔这个怎么说清楚呢？我们可以用自然数的定义技巧，例如把4变成{0,1,2,3}的total-ordered集合，然后4->3的方式就是{0,1,2,3}映射到{0,1,2}且射完的方式，例如f(0)=0, f(1)=0, f(2)=1, f(3)=2〕。看到这里，我们可以再做一件事情，就是把the category of finite totally ordered sets叫做Delta! 因为虽然里面的东西多很多，但任何一个都可以isomorphism到原来的Delta里面的一员上，对应于其元素的个数，我们并不关心具体元素是什么。
C. Simplicial Sets
没错，这就是一个contravariant functor F: Delta -> Set，Delta上的presheaf。不过还没变成真正的形体，因为要变到Top上才是。
D. Simplicial Object
这就是Delta的C-presheaf。例如Simplicial Abelian Group，我们揣摩一下：对于一个Set，可以给它自然地加上一个Free Abelian Group structure，L: Set -> Ab，那么我们又知道刚才已经有 Delta->Set，那么组合一下就是Delta->Ab。
E. Geometric Realization
|X|叫X的Geometric Realization，具体地说就是| |: SimpSet -> Top。用显然的方式把真实的Simplex按SimpSet粘起来成为一个拓扑空间。
F. Singular Simplicial Set
Sing: Top -> SimpSet。Sing是| |的right adjoint，| |是Sing的left adjoint。不过这里还没有说什么是adjoint functor! 我们先给出Sing的具体定义：对于一个拓扑空间X，Sing(X)是所有把Simplices映射到X的方法的集合。显然Sing()不是| |的反映射，因为Sing(|X|)比X大得多。但，存在一个显然的从X到Sing(|X|)的映射〔找到其中和X isomorphism的那个〕，和一个显然的从|Sing(X)|到X的映射〔这是在Top里面，故就是一个拓扑变形〕，所以adjoint的关系是确定的。
待续。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-28, 11:37:58 |
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