快刀浪子
发表文章数: 1200
武功等级: 天山折梅手
(第五重)
内力值: 546/546
李淼：弦论需要什么样的新数学？
累了一天，818没有边的事，类似弦论将来需要的新数学到底是什么？
一提起这个话题，总有人想到牛顿。他老人家为了解决自己的力学问题，发明了微积分。到底为了什么力学问题？这是很难回答的问题，他创造力最旺盛的两年中也发现了万有引力，尽管很晚才公开发表。我觉得证明两个球体之间的引力反比于球心之间距离平方需要微积分，不过，他在《原理》中尽量用当时大家熟悉的“初等数学”，所以很难判断到底是什么样的物理问题激发他发明微积分。牛顿在《原理》中的精神状况，倒是和一些弦论家相反，有些弦论家，能用代数几何或者范畴论表述的问题，决不用我们能理解的“初等方法”，尽管后者可能还要简练些。
对了，我想说的是，最终成为弦论的数学基础的新数学所能解决的问题，也许用我们已经知道的方法一样能够解决，只不过，许多物理问题用新数学解决起来更方便些。
我们很难想象新数学将是什么样子，因为我们也许还不知道触发未来的某个天才发明这种新数学的物理问题是什么。我们可以试着问一些还还有解答的物理问题：
1. 黑洞的量子物理，包括黑洞熵的起源，黑洞的信息丢失问题。我觉得后者的解决不会是具体计算上的，而是某个人给出了原理，这个原理保证黑洞的信息没有丢失。而黑洞熵的问题，弦论中能够做的公认的办法是弱耦合下的数态，没有涉及到任何高等的数学。所谓loop gravity，用表示论。但是Motl说那里的方法全然不可信。毫无疑问，黑洞熵的问题之于我们，如同牛顿发现万有引力之前的引力问题之于胡克和牛顿，完全是一个谜。由于我们并不知道最终的正确的物理想法是什么，那么任何现在想象不出的数学都有可能。
2. 宇宙学常数问题。和黑洞熵问题一样，基本上没有任何线索。
3. 弦论在随着时间变化的背景下的表述。我倒觉得这里的新数学最有可能出现，因为物理上，传统的物理可观测量散射矩阵基本失效，需要发现新的可观测量。最近Giddings，Marolf和Hartle等人讨论了低能近似下引力的“赝局域”可观测量，我打算将来有时间专门在这里讨论一下那篇文章的内容。他们提出的“赝局域”量与时空上的积分有关。在非对易几何中，积分可以用求迹代替。那么，新的可观测量与非对易几何有关吗？但是非对易几何不是新数学。也许非对易几何之于新数学，如同牛顿之前的一些方法之于微积分。
4. 弦论的紧化。过去的数学足够用了，而且，我不觉得这部分物理是未来的最重要的物理，尽管现在landscape甚嚣尘上。
我们当然还能列出更多的物理问题，我不觉得那些问题是独立于以上几个关键问题之外的。
从数学的角度看，我倾向新数学可能与代数有关，群论，群论表示论，等等，这些数学可能就类似于微积分之前的那些数学，独立地用这些老方法解决任何弦论中的问题就比较费劲，新数学的发明也许使得解决一些物理问题显得很简单。为什么我倾向代数？首先，量子力学本身就可以用纯代数表述（Heisenberg的矩阵力学），弦论中的可能存在的很大的对称性，非对易几何，矩阵理论，等等。最后，很多人都相信时空即几何是一种近似。
也许，未来的弦论并不需要任何新数学。我本人不会太失望:)
（来源于http://limiao.net/blog/42）
冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
万里飞雪，将苍穹作洪炉，熔万物为白银。
| 发表时间：2005-12-30, 23:59:47 |
 作者资料
|
季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 李淼：弦论需要什么样的新数学？
以我的浅见, 弦论的基本对象----- 弦, 可能是一个代数对象. 假设时空的拓扑和几何性质是"弦"运动的近似, 那么为什么仍然坚持存在 "弦" 这种 "拓扑上一维" 的对象呢? "新的数学" 有可能是拓扑学的基本概念的改进. "弦" 在目前的代数类似物是所谓 " Frobenius category". 但 category theory 远不是新的数学, 而且这种抽象方式并没有起到实质上的作用, 对于得到具体的结果没有根本性的帮助.
微积分的观念早在古希腊就萌芽了, 但是一直到笛卡儿提供坐标几何的工具, 牛顿发明流数法, 它的威力才显现出来, 它的严格理论才开始发展. 也许, category theory 就是某种深刻数学理论的萌芽状态, 缺少的是一套计算工具.
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2005-12-31, 02:12:25 |
作者资料
|
kanex
发表文章数: 860
武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
Re: 李淼：弦论需要什么样的新数学？
坚持一维当然是有充分原因的。大致说来，一维时worldsheet上的conformal symmetry可以gauge掉，高维时上面的自由度就太多了。何况不是有p-brane的研究么。
Riemann Surface的性质实在是太好了。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-31, 02:46:14 |
作者资料
|
kanex
发表文章数: 860
武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
Re: 李淼：弦论需要什么样的新数学？
Frobenius Category可以表示worldsheet，计算是两码事。
计算只能靠Path Integral。我想Path Integral是否是在configuration space找某个不变量的机制呢？
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-31, 02:56:08 |
作者资料
|
kanex
发表文章数: 860
武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
Re: 李淼：弦论需要什么样的新数学？
个人认为category中的“计算”机制是Universal Property，可以把对象确定下来。譬如{..}和{...}的product一定是{......}，coproduct一定是{.....}，这还不叫计算么。
如果要从本质的角度对微积分做一个定义，俺来乱试一下。
我们看常见的微积分：Path X Form -> R。R不像N可以直接转到Set上，是极度艰深的概念。我们现在忽略。
Path是R^n -> Manifold，Form是Manifold -> R^n。这是 Cop X C -> Set 的老路。微积分里的Path和同伦里面的Path不同，无限靠近的相反方向路径可以cancel掉，所以用同调来研究。同调里面明确地把Integral看成一个Inner Product，且homology和cohomology互为dual，也是Cop X C -> Set的道理。所以我想微积分或许真的就是这么一回事了。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2005-12-31, 03:31:51 |
作者资料
|
星空浩淼
发表文章数: 1743
武功等级: 九阳神功
(第五重)
内力值: 617/617
Re: 李淼：弦论需要什么样的新数学？
不错的文章，但愿李老师发现繁星客栈这个地方，时常也来此地灌灌水
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2006-01-02, 02:31:47 |
作者资料
|