kanex
发表文章数: 860
武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
指标定理 [原创]
指标定理 [原创]
彭博
最近猜测Path Integral或许是在配置空间找Wheeler-Dewitt方程的解的一种方法，或者说是其解的一种性质。对于Dphi=0这样的微分方程，其解的个数由Index Theorem决定，故对其有充分的理解是很有必要的。
思考一下Index Theorem背后是什么：忽略所有约束和技术细节，Index Theorem告诉我们一件事：
如果有M->E，M->F，那么D: Hom(M, E) -> Hom(M, F)的拓扑被M->E的拓扑和D的某些性质所决定。
挺直观，或许可以做为对Index Theorem进行推广的一种起点。现在我们开始把它明确化。
我们认为M是个compact manifold〔不compact就要考虑one-point compactification，技术问题〕，E和F是两个其上的vector bundle，D是这里的关键，它必须“行为端正”，否则就无法使得拓扑得到保留，没法研究了。
D的拓扑由index决定，叫analytical index。M->E的拓扑由示性类决定，加上D的性质〔symbol〕，可以算出一个topological index等于analytical index。
大致说来D是个线性微分算子〔故乘上一个连续非零函数没有影响〕，因为微分算子的行为很端正〔此时可以用上同调类精确描述：D是Hk(M, E)->L2(M,F)，k是D中项的order。而示性类正是一个cohomology class〕，为了行为更端正它还需要满足两个条件：Elliptic和Fredholm。微分算子和Linear Algebra之间的联系是千丝万缕的，行为端正的矩阵必须 (1)可逆 (2)在某种意义上有限。于是我们来看D：很显然它是否合格由其最高次项决定〔它的index也只由其决定〕，从它的最高次项可以得到一个叫principle symbol: sigma(D)的矩阵〔事实上，它对应于Hom(E,F)的方式〕，这个矩阵如果可逆[排除一个trivial的情况]，那么就是Elliptic。具体得到方法看例子：
df/dx-df/dy=0和df/dx-idf/dy=0是两个看上去相当像的微分方程。但它们的解的性质却具有极大的区别。第一个是trivial的，第二个是analytic function，拥有极丰富s的内涵。它们的symbol通过把d/dx换成i*a和把d/dy换成i*b得到〔注意，这事实上就是傅立叶变换〕：
i*a – i*b 与 i*a + b。
如果当且仅当a=b=0 [这就是trivial情况…]时有symbol=0，那么就是elliptic。椭圆偏微分方程拥有有限维的解空间。
同理，Laplacian是椭圆算子，因为symbol = - a^2 - b^2，而d’Alembertian在光锥上会等于0，不合格。
下一个要求：Fredholm。简单地说，就是ker和coker都是有限维的算子。定理：Compact Manifold上的椭圆算子都是Fredholm的。我们都知道ker和coker是什么：coker就是adjoint的ker。
对于某A: V1 -> V2，Coker = V2 / Im。dimCoker不等于零就说明在V2上存在约束。
dimKer – dimCoker = dimKer – dimV2 + dimIm = dimV1 – dimV2 = index。
index是个拓扑不变量。如果A(t)是一族连续的Fredholm operator，那么Ind A(t) = constant。如果K是个compact operator，那么Ind(A+K) = Ind(A)。
现在开始进入具体的证明部分。
Index Theorem的最简形式是：indD = t-ind(sigma(D))
Atiyah和Singer的证明思路，大致是这样的：
D -> symbol of D -> an element of K-theory -> the topological index -> Z
简单地说，需要构造出一个上同调理论以转到拓扑上。普通的外微分对应一个H(X,Z)，我们这里也要来一个H(X,E)。上同调简单地说是把一个拓扑空间对应到一个Abelian Group的机制。那么我们首先要构造出一个Abelian Group。Vector Bundle在Whitney Sum底下已经是一个Commutative Monoid，我们把逆给想办法变出来即可。
这是K-theory的范畴。从Category的角度，我们可以给它一个漂亮的定义：如果我们有一个commutative monoid X，想把它变成一个abelian group K0(X)叫Grothendieck Group，那么forgetful functor: AbelianGroup -> CommutativeMonoid的left adjoint就是最佳方法。
具体操作类似于从自然数构造出整数，取formal difference即可。且如果存在G使得E1+F2+G = E2+F1+G，那么E1-E2和F1-F2属于equivalence class。注意Vect(X) -> K(X)不是injective的〔个人认为它只看bundle的dimension，请问有无反例？〕：考虑S2嵌入R3后其上的real vector bundle，normal bundle和trivial line bundle很显然是isomorphic的，tangent bundle = 3 – normal bundle = 3 – 1 = 2，可是2这个trivial plane bundle和tangent bundle就不是isomorphic的。
除了formal difference的方法，我们还可以有一种较为接近Category思维的认识。我们可以把K(X)中的一个元素，看成是对应于E->F的一种映射方法。如果存在k1和k2>=0使得两个映射E1+C^k1->F1+C^k1和E2+C^k2->F2+C^k2相等〔homotopic〕的话，那么E1->F1就和E2->F2等价。注意映射都要可逆。
我们看一个例子：K({pt})，就是K(一个点)，这个显然就是Z，因为pt上的bundle是等价于vector space的，而上面我们已经明白现在只看dimension，所以是可以转到dimE – dimF = Z的。
再看一个例子：K(T*M)。之前说过，sigma标志着E->F的方式，那么pullback过去是pi*E->pi*F，这就是K(T*M)。
现在我们可以来看t-ind(sigma(D))的构造方式了。根据Whitney嵌入定理，一定存在有限的N使得M嵌入R^N。那么T*M就可以自然地嵌入到R^N+R^N=C^N上。K-theory做为一个上同调理论，满足性质：如果i: Y能嵌入X，那么就存在一个push-forward i!: K(Y)->K(X)。于是就有K(T*M) -> K(C^N)。此时注意到{pt}->C^N的嵌入是很显然的，不显然的是Bott Periodicity告诉我们K({pt})->K(C^N)是个isomorphism。于是我们可以取逆并组合一下就得到t-ind = K(T*M) -> K({pt}) = Z。这是与N无关的，可以证明。
到这里可以算是说完了，但这完全没有实际操作性，譬如还没有把示性类和t-ind联系上，待续。
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2006-01-03, 06:23:24 |
 作者资料
|
王善钦
发表文章数: 51
武功等级: 野球拳
(第六重)
内力值: 121/121
Re: 指标定理 [原创]
Chern说：“即使不搞这个课题，也有必要学习指标定理。”
可见AS指标定理之重要了。
这篇文章写得非常优美，当然对于一些人而言却过于抽象了~不过这要看每个人的习惯了
身外闲愁空满，眼中欢事常稀。明年应赋送君诗。细从今夜数，相会几多时。
浅酒欲邀谁劝，深情惟有君知。东溪春尽好同归。柳垂江上影，梅谢雪中枝。
| 发表时间：2006-01-09, 08:23:50 |
作者资料
|
kanex
发表文章数: 860
武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
Re: 指标定理 [原创]
finally, a reply.
有动力写完了 -__-
江畔何人初见月`江月何年初照人`
| 发表时间：2006-01-09, 09:47:06 |
作者资料
|
季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 指标定理 [原创]
很好, 为什么不跟李淼谈谈这些? 还有, 为什么不申请到美国?
你用的记号好像不够标准, Hom(M,E) 是什么? 所有截面吗?
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-01-11, 21:00:11 |
作者资料
|
sage
发表文章数: 1125
武功等级: 天山六阳掌
(第六重)
内力值: 535/535
Re: 指标定理 [原创]
很好, 为什么不跟李淼谈谈这些? 还有, 为什么不申请到美国?
I think he is doing it. The best way to talk to a professor should start with a question, then in the discussion, one can show one knows a lot.
| 发表时间：2006-01-11, 22:04:11 |
作者资料
|
季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 指标定理 [原创]
的确. 跟教授打交道不容易, 他们大多都对你说的东西不感兴趣.
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-01-11, 23:40:53 |
作者资料
|
yinhow
发表文章数: 727
武功等级: 弹指神通
(第二重)
内力值: 469/469
Re: 指标定理 [原创]
他们对什么感兴趣？
| 发表时间：2006-01-12, 21:29:08 |
作者资料
|
kanex
发表文章数: 860
武功等级: 弹指神通
(第六重)
内力值: 343/343
Re: 指标定理 [原创]
Hom是截面，标准些写是Γ。
下面是今早写的，可能有点乱。
==============================
指标定理 part 2
彭博
考虑exact sequence: … -> Γ(M, E_i-1)---D_i-1--> Γ(M, E_i) ---D_i--> Γ(M, E_i+1) -> …
定义H^i (E, D) = kerD_i/imD_i-1，那么不变量index = dimH^0(E,D) - dimH^1(E,D) + dimH^2(E,D) - …… 它是Euler Characteristic的一种推广。
对于我们这里的Γ(M, E) ->Γ(M, F)，可以构造short exact sequence: 0 ->Γ(M, E) ->Γ(M, F) -> 0，很明确地有index = dimH^0-dimH^1 = dimKerD – (dimΓ(M, F) - dimImD) = dimKerD – dimCokerD. （dim{0} = 0）
变号累加背后的最深层原因是耐人寻味的。可以说与dd=0有关，也可以说与tr(X+Y)=tr(X)+tr(Y), det(XY) = det(X)det(Y)有关，等等。
下面我们来看Characteristic Class。先从物理的角度来看。
F^*F是Yang-Mills Lagrangian，与metric有关（为何宇宙选取这样的形式）。我们把它变成F^F试试。值得注意的是F^F等比于Y-M的Self-dual solution〔F=*F〕，这种解叫Instanton，对应于局部的minimum。Tr(F^n)叫Chern Form。这种理论有一个特点：deltaS = 0〔所以Instanton是local minimum〕，即S不随A而变。虽然这样的物理很无趣，但这正说明S揭示的是bundle的拓扑性质。
我们注意到dtr(F^n)=0且当A变化时tr(F^n)变化一个exact form。于是我们可以把它变成一个cohomology class叫Chern Class以彻底消除A的影响。这是个Integral Cohomology Class，也就是说对M积分会得到整数〔适当的normalization之后〕。
因为dtr(F^n)=0，它是否是一个exact form？答案是肯定的，dtr(A^dA + 2/3*A^A^A) = tr(F^F)。tr(A^dA + 2/3*A^A^A)叫Chern-Simons Action，在奇数维有定义。Chern Form在偶数维有定义。Chern-Simons理论很有趣，因为虽然其classical版本是F=0，但量子效应带来许多东西。例如，对于connected到identity的gauge变换不变，但在大gauge变换下以8pi^2为单位变化。聪明的人会想到来个e^(ih/4pi)〔刚看QFT的时候就有这种想法：我们的action在什么变换下以2pi为单位变化〕它还可以用来算Knot Invariant，等等。
物理说完了，下面是数学。
Chern Class ci(E)属于 H^2i(X; Z)。why H^2i？可能是因为Complex是两个dimension。对于一个complex n-plane bundle，其total Chern Class c(E) = 1+c1(E)+c2(E)+…+cn(E)，满足重要性质c(E+F) = c(E) ︶c(F)。︶是Cup product，譬如在de Rham Cohomology中就是wedge product。从计算的角度来看，c(E) = det( 1+iF/2pi)。F是curvature。
如果E可以被split成complex line bundle的direct sum [不一定所有E都可以这样做，但根据Splitting Principle，一定可以injective地映射到一个]：L1+…+Ln，那么如果令c1(Li)=xi则有c(E) = c(L1) *…*c(Ln) = (1+x1)*…*(1+xn) = 1+(x1+…+xn)+(x1x2+…)+…，所以ck(E)对应于k-th elementary symmetric function of xi。
Chern Character ch(E) = e^x1 + … + e^xi = n + c1 + (1/2)*(c1^2-2*c2) + … 注意到c1(L1 x L2) = c1(L1) + c1(L2)，ch(L1 x L2) = e^x1 * e^x2 = e^(x1+x2)。事实上对于任意两个complex vector bundle E和F，有ch(E+F) = ch(E) + ch(F)，ch(ExF) = ch(E) ︶ch(F)。从计算的角度来看，ch(E) = Tr(exp(iF/2pi))。
Todd Class Td(E) = 连乘(xj / (1-e^-xj) = 1+(1/2)*c1(F)+(1/12)*(c1(F)^2+c2(F))+…。Td(E+F) = Td(E) ︶Td(F)。最后是Euler Class。e(X) = e(TX) ，属于H^n(X; Z)。
下面是整合工作：如何从Characteristic Class得到Topological Index。
夜中不能寐。起坐弹鸣琴。薄帷鉴明月。清风吹我襟。孤鸿号外野。翔鸟鸣北林。徘徊将何见。忧思独伤心。
| 发表时间：2006-01-12, 22:24:07 |
作者资料
|
萍踪浪迹
发表文章数: 1983
武功等级: 深不可测
内力值: 645/645
Re: 指标定理 [原创]
的确. 跟教授打交道不容易, 他们大多都对你说的东西不感兴趣.
================================================
最好就是不要和教授们谈自己的想法,而是从一开始就以谦虚的心态请教问题,在阐述问题以及发表对问题的理解中展现自己的实力,同时引发对方的共鸣和欣赏.
以前我当学生时都这样和教授打交道的.而且一定要不卑不亢,对教授的看法有异议时也要委婉提出.
即使对方最终很赞赏自己时也要低调回应并且感谢对方的指导和讨论.
呵呵,这些话是对一些学生的建议,不是对季兄说的.
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-01-13, 03:02:37 |
作者资料
|
季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 指标定理 [原创]
sage 和 萍踪说得对, 提问题是很好的开始. 不过只有少数非常热情的人才会对他研究领域外的东西感兴趣. 所以提问题之前最好熟悉这个人工作的领域, 提相关的问题. 问题的尺度也很难掌握, 如果太泛了人会觉得你很虚, 如果太细了又说不清楚. 最好是你仔细研究过这个人的某篇文章, 然后对这篇文章的"中心思想"提问. 进而说明你正在考虑某一个相关的问题, 征求此人对你所考虑问题的意见. 当然, 得到的答案绝大多数时候是"没意见". 这很正常. 首先你的问题可能引不起他的兴趣----作为一个学生, 研究的都应该是小题目, 别说大牛, 小牛都不会关心; 即使引起了他的兴趣, 如果他以前没有想过这个问题, 他的确不会立刻有什么想法. 一般来说, 能引起别人兴趣的必须是一个你经过深思熟虑以后还不能回答的问题 (注意, 是具体问题, 而不是想法).
其实如果目的是套磁, 那么最好的方式不是问问题, 而是拉家常, 呵呵. 既轻松又有效, 而且目的性不强, 对方很容易失去警惕........(此方法仅限于会议期间, 面试时慎用.)
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-01-13, 11:47:17 |
作者资料
|
季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 指标定理 [原创]
to 彭博
你说的似乎都是数学. 前面是所谓Chern-Weil 理论, 后面是公理化定义. 跟示性类有关的物理应该是反常问题. 你能不能解释一下这个反常同示性类的关系? 反常有非常直观的意义, 并不需要深入重整化理论就能接受的意义. 但我一直都没有看到一个不需要深入重整化理论的关于反常和示性类关系的解释.
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-01-13, 12:32:13 |
作者资料
|
Omni