星空浩淼
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总结一下：动量空间中的对偶理论（原创）
（我前面的那个帖子，本意是想提醒大家注意昌海兄最近的文章，结果一不小心成了“挂羊头卖狗肉”，拉昌海兄的虎皮作我的大衣，真是不好意思:-)。这里，我把前面的帖子重新整理之后，系统地发在这里，请昌海兄把我那个帖子无关的部分都删掉，只保留楼顶帖子最后一段）
为了方便计，我们只考虑平直时空情形，采用自然单位制。用δ/δt表示对t的偏微分，等等。
1）在通常力学中，用(t,x)表示四维坐标（对应四个独立变量），用(E,p)表示四维动量（对应三个独立变量），四维动量其实也是四维动量间隔。质量为m的粒子满足相对论色散关系E^2=p^2+m^2（即质壳关系），可以看作是四维动量间隔之间的关系。对色散关系E^2=p^2+m^2作一番手脚，再换成算符E→iδ/δt，P→－iδ/δx作用于波函数ψ(t,x)，得到量子力学方程（例如Dirac方程，Klein-Gordon方程等等）。
2）现在，用（t,y)表示四维时空间隔（对应三个独立变量），用（w,k)表示四维动量坐标（对应四个独立变量）。其中w称为“能量参数”。固有时间间隔为s的因果事件满足关系t^2=y^2+s^2。同样地，对t^2=y^2+s^2作一番手脚，再换成算符t→-iδ/δw，y→iδ/δk作用于"波函数"φ(w,k)，得到的方程称为通常力学的“对偶方程”。对于通常能量的E，令能量参数w=（E+C)，其中C是任一个常量，这相当于对通常能量的E任意重新选择零能参考点，C的引入相当于引入一个新的自由度，使得w=（E+C)与k一起构成四个独立变量，这可能就是要找的能量参数。
3）以上从1）到2），相当于原来的四维时空与四维动量进行角色互换，基于2）的理论可称为基于1）的理论的“对偶理论”。相应地，其对应的Lagrangian力学Hamiltonian 力学也变成对应的对偶论述。其中最小作用量原理仍然不变，只是变分原理中，积分路径是从一个四维动量坐标点到另外一个四维动量坐标点，而不再是通常理论中从一个四维时空点到另外一个四维时空点。并且此时的Lagrangian和Hamiltonian其量纲为负1而不是通常力学中的正1。其中的对称性和守恒律关系依然成立，不过此时需要推广“守恒”的概念。传统“守恒”表示某个量不随时间而变，这里推广成：如果某个量M对w的导数为零：δM/δw=0，就说M相对于w守恒。彭加勒群及其李代数，此时也要作其对偶描述。
4）举一个例子。通常力学中，由E^2=p^2+m^2的非相对论近似得到E=P^2/2m+m,引入势能V(x)(量纲为正1）之后，非相对论的Hamiltonian取为H=P^2/2m+V(x),算符化并作用于波函数ψ(t,x)，得到非量子力学方程：
(iδ/δt)ψ(t,x)=Hψ(t,x)＝[P^2/2m +V(x)]ψ(t,x) (1)
同理，对于类时时空间隔满足的关系t^2=y^2+s^2，非相对论近似得到t=y^2/2s+s, 试图引入“时间势”U(k)(量纲为负1），取非相对论的“时间函数”T=y^2/2s+U(k)，算符化并作用于“波函数”φ(w,k)，得到方程（1）的对偶方程：
(－iδ/δw)φ(w,k)=Tφ(w,k)＝[y^2/2s +U(k)]φ(w,k) (2)
与传统量子力学方程（1）描述“质量本征态”不同，新的对偶方程（2）描述“固有时本征态”（不再满足质壳关系）。质量本征态又称为“粒子态”，固有时本征态又称为“事件态”。需要强调的是，这里不跟“时间不对应力学量算符”这一事实相矛盾，因为这里考虑的是时间间隔，是个可观察量，不是演化参数。再例如，如同利用Dirac矩阵把p^2+m^2线性化后得到自由Dirac粒子的Hamiltionian一样，可以利用x^2+s^2线性化之后得到时间函数T。
5）沿着这个对偶理论走下去，可以得到“事件的时空间隔量子化”这样的结论，而且存在“零点时间间隔”（如同零点能的存在）这样的结论，这使得事件的时间开端不可能从t=0开始，我们无法到达“零时开端”。而传统量子场论得不到这种结论。也许正因为如此，大爆炸宇宙模型中，如果宇宙不存在“零时开端”，大爆炸奇点或许可以避免（到目前为止，好像还没有其他办法可以避免这个必须有待去掉的奇点）。我们知道，采用Robertson-Walker度规时，坐标时间间隔等于标准时间间隔。
6）如果说狭义相对论通过Lorentz变换公式让时间和空间统一起来的话，那么，量子力学进一步地通过不确定关系让时空空间和动量空间关联起来，也许相空间才是一个完整的真实空间，而时空空间和动量空间不过是它互补的两个方面。现代信号分析中“分数傅立叶分析”很重要，其中的“分数傅立叶变换”相当于在相空间坐标系中，从四维时空坐标轴到四维动量坐标轴之间的连续转动变换。从这里，以及从量子力学的相空间描述那里，我们对相空间的统一性感受更深。巧的是，Lorentz变换公式也好，量子力学中的不确定关系也好，本质上都是来自于测量上的操作定义。
关于以上对偶理论，最大的难处是如何寻找一种合适的物理解释，使得它有用武之地。例如跟势能对应的“时间势”U(k)到底是什么？当年Klein-Gordon方程提出来之后，搁置了七年之久，只有经过二次量子化并找到合适的物理解释之后，才变得有价值。
semi兄的一个疑问很尖锐，因此我这里特地再回答一下。semi兄说：
“四维时空坐标（间隔）/ds(不变量)就是四维动量,两者实际上就是同一东西，所以我认为不产生新理论。”
我的回答是：
这个说法，也许简单了些。即使在通常的理论中，动量空间波函数跟位置空间波函数也不是同一种东西，或者说不承载相同的物理信息。再说四维时空坐标（间隔）/ds(不变量)是四维速度而不是四维动量。在相对论量子力学那里，四维速度和四维动量之间有很大差别，不仅仅是前者乘以质量等于后者那样简单（除非取经典平均）。例如四维速度中包含zitterbewegung项，而四维动量中就不存在这种贡献。
更重要的，上面给出的对偶理论，可以给出时空间隔量子化这样的结论来，这是传统理论给不出来的。至于它对不对，那是另外一回事，不能说它不产生新理论。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2006-01-06, 07:45:52 |
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卢昌海
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Re: 总结一下：动量空间中的对偶理论（原创）
:: （我前面的那个帖子，本意是想提醒大家注意昌海兄最近的文章，
:: 结果一不小心成了“挂羊头卖狗肉”，拉昌海兄的虎皮作我的大
:: 衣，真是不好意思:-)。这里，我把前面的帖子重新整理之后，系
:: 统地发在这里，请昌海兄把我那个帖子无关的部分都删掉，只保留
:: 楼顶帖子最后一段）
呵呵，没关系的，论坛讨论本来就是发散性的，再说能为星空兄做大衣也是一种荣幸。:)
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2006-01-06, 08:26:08 |
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semi
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Re: 总结一下：动量空间中的对偶理论（原创）
<更重要的，上面给出的对偶理论，可以给出时空间隔量子化这样的结论来，这是传统理论给不出来的。至于它对不对，那是另外一回事，不能说它不产生新理论。>
我的回答确实是武断了些,即便两者等价也可以作不同的诠释,就象表象变换一样,换到不同表象可以重点看清不同侧面.在质能关系下,自然的描述就是传统方程;在时空间隔关系下,更自然的描述就是"星空兄的对偶理论".
物理方程之美,是一种极致悠远之美.
| 发表时间：2006-01-06, 11:18:10 |
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星空浩淼
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Re: 总结一下：动量空间中的对偶理论（原创）
Walk_f兄的问题也很尖锐，我在楼顶没有提到，那是因为当时还没有想到合适的回答方式。我这里补充一下：
1）在这个对偶理论中，如果需要考虑“动力学”内容（此时的“动力学”当然也只能是对偶力学意义上的），可能需要从弯曲时空中的四维时空间隔所满足的关系式出发，按照楼顶所说的方式去建立方程。楼顶为了方便，只是采用平直时空中的关系t^2=y^2+s^2为例。如果考虑“动力学”内容，可能就要从Einstein方程的解出发。
运动学也是物理学中的内容，比如狭义相对论理论。爱因斯坦当年不满足于狭义相对论而进一步建议广义相对论，其动机有许多种说法，其中包含这种：即他希望把理论由运动学推广到动力学范畴。我们知道Einstein建立的引力场方程，左边是纯几何的，右边引入能动张量作为源，从而把动力学内容引进来了。同样道理，在前面的所谓对偶理论中，当把狭义相对论关系式t^2=y^2+s^2换成Einstein方程解，可能就从运动学升华到动力学了。
2）我思考这种“对偶理论”还有一个理由：量子化现象，可以统一地看作相空间体积的量子化——即使在量子统计物理那里，也是把相空间体积看作是Planck常数（1到四次方）的整数倍，例如，那里的积分元对应体积乘以动量的体积元再除以Planck常数的三次方（必要时还要乘以反映内部自由度因子）。在自然单位制下，相空间体积量纲为零。如果固定时空间隔，相空间体积的量子化就等同于能量动量量子化，如此类推。事实上，对于简谐振子的运动，有两种等效的看法（说起来太麻烦，我就不说了）。
3）固有时好像不能象质量那样可以明确地有个固定的衡量标准。因此，也许这个理论如果有用，可能只能用于宇宙学中，让宇宙有一个唯一的固有时。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2006-01-07, 05:00:06 |
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星空浩淼
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Re: 总结一下：动量空间中的对偶理论（原创）
对上面第三点3)再补充一下：
3）固有时好像不能象质量那样可以明确地有个固定的衡量标准。因此，也许这个理论如果有用，可能只能用于宇宙学中，定义一个唯一的宇宙时。并且以此建立量子宇宙论，解决宇宙起源时的奇点问题。
传统理论是以时空作为背景舞台，研究能量和动量的时空演化。而基于广义相对论理论来研究研究宇宙起源的时候，可能需要变成关于时空本身的理论，以时空本身作为研究对象。此时可能就需要跳出传统的理论模式，换成这里提供的对偶理论，即以坐标化之后的能量动量空间作为舞台背景，研究时空的能量动量演化。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2006-01-07, 06:29:43 |
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西门吹牛
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Re: 总结一下：动量空间中的对偶理论（原创）
看起来好象瞒有道理的，只是虽然写了这么多，还是属于一个idea和猜想，要给出可供实验检验的结果来，恐怕不容易。
一舞剑气动四方,天下英雄莫能挡
形踪飘忽疑无影,冷面郎君傲雪霜
| 发表时间：2006-01-08, 08:52:11 |
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