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快刀浪子

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狭义相对论中的尺缩佯谬（总结）

佯谬1：
有一节固有长度为10米的火车以0.866c的速度行驶，前方有一个固有长度为8米隧道。隧道的前后各有一扇门，入口处为前门，出口处为后门。当车尾进入隧道后，前门立即关上。当车头到达隧道出口时，后门立即打开。以隧道为参照系，火车收缩为5米，因此前后门可以同时关上，将整列火车封在隧道里面。而以火车为参照系，隧道收缩为4米。前后门不能同时关上。
现在问这条隧道究竟能不能装得下整列火车？

解答：
这个本来算不上佯谬，不过为了和后面的对比，也把它列了出来。
根据相对论，同时性是相对的。以隧道为参照系，前后门可以同时关上。但以火车为参照系，当前门关上的时候，后门已经打开，火车头已经出了隧道。即能否将火车装在隧道内是相对的。

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佯谬2：
题目基本与佯谬1相同。不过将后门锁上，当火车碰到后门后要停下来。这时前门能否关上？

解答：
这时还能不能象在佯谬1中那样，认为在不同的参照系中隧道能否装得下火车只是一个相对的问题呢？不能。因为上一个佯谬中，实际上问的是事件发生的先后顺序问题，而顺序问题是相对的。而这里问的是事件是否发生。在这个问题中，假如以隧道为参照系，当认为隧道可以装下火车，那么前门就可以关上。这个结果在哪个参照系中都是一样的，不存在相对性。
这个题目应该怎样处理呢？这里注意到它和上一个题目的不同在于后门锁上了，火车会和它发生碰撞，运动状态发生改变。要解决这个题题就必须抓住和上个题目不同的地方，即不能忽略火车运动状态的变化。（开始时我假定运动状态的改变在极短的时间内完成，以为这种变化可以忽略不计，导致百思不得其解）。
根据洛仑兹变换可得，在火车参照系中车头和车尾同时发生的事件，在隧道参照系中看来，车尾的先发生，车头的后发生。因此在隧道参照系中，碰撞所发生的运动变化先在车尾体现出来。这时车尾不再以原来的速度前进了，而车头仍然以原来的速度前进。即在隧道参照系中看来，虽然火车还未碰撞，但它的长度已经开始发生改变。（如果在碰撞的时候长度才发生改变，就出现矛盾了。因为这时车尾已进入房间，前门关上。而在隧道参照系中，门却一直打开）。通过具体计算可知，在两个参照系中，车尾都一直未进入隧道。火车能否进入隧道不是相对的，没有矛盾出现。

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佯谬3：
有一节固有长度为10米的火车在路基上以0.866c的速度行驶，路基前方有一个固有长度为8米的大坑。火车的车头和车尾一样重，也就是说如果火车有超过一半的长度悬在坑上面，车就会掉下去。在路基系中观察，火车收缩为5米可轻松地掉入8米长的坑内；在火车上观察，坑长收缩为4米，火车可越过此坑。那实际上火车是越过大坑还是掉入坑内呢?

解答：

这个与佯谬2一样，也是问一个事件是否发生，这不存在相对性。但它与佯谬2不一样的是，佯谬2已知火车的运动状态一定发生改变，可以根据这个条件来进行分析。而在这里运动状态是否改变却正是要解决的问题，所以它比上一个佯谬复杂一点。

先假设火车会掉进坑里，看看会出现什么情况。
理论上，火车是否掉进坑里与引力场的大小无关。为方便考虑问题，假设引力场非常小，这时火车会先碰到对面的坑壁然后掉下去，并且当火车撞到坑壁时，车身仍然是接近水平的。
当发生碰撞后，水平方向的运动逐渐停止，运动长度变成了固有长度（或者说不存在运动长度了）。因为引力很小，从运动变为静止这段时间车下掉的距离非常小，车身仍然是水平的。这时候火车如果有超过一半的长度（因为车身水平，这里所说的长度就是固有长度）悬在坑上，车就会继续下掉。如果不超过一半，则结果相反。而火车发生碰撞后又不继续下掉是不可能的，因为如果不下掉的话，它根本就不会与坑壁相撞。因此可以得出结论，如果火车的固有长度的一半短于坑的固有长度，则火车掉进坑里，如果其一长度半超过坑的长度，火车可越过此坑。

回到原来的问题。火车固有长度为10米，它的一半为5米，比坑的固有长度8米短，所以火车会掉进坑里。但由于火车的固有长度比坑长，不会整列火车都掉进坑底。因为车头比车尾先掉下去，所以车头会落到坑底，而车尾则斜靠在坑壁上。
乍一看，这个结果可能有点奇怪。因为在火车参照系看来，坑的长度只有4米，不到车的一半，火车怎么会掉下去呢？从佯谬2中的讨论可知，在火车看来，车还未碰到坑壁的时候，坑已经开始变长，不再是4米了。

冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
万里飞雪，将苍穹作洪炉，熔万物为白银。

发表时间：2006-01-06, 15:04:18