yinzhangqi
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量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
前面讲的都集中在两体纠缠上，现在我简要的介绍一下我了解的多体量子纠缠。
以三体纠缠态为例，人们发现有两类三体纠缠纯态：一类是GHZ态，一类是W态。 它们不可能通过局域幺正变化来相互转换，也不可能写成一个两体纠缠态与另一个量子比特之间的直积态。为了讨论的方便，我这里写出GHZ态与W态的数学表达式：
|GHZ> = (|111> + |000>)/\sqrt{2}
|W> = (|100> + |010> + |001>)/\sqrt{3}
这里的0和1代表量子比特可能处的两个正交态。依据这两个最简单的多体纠缠态，我们可以发现多体纠缠与两体纠缠之间有着极大的区别。比如说我们对这两个纠缠态中的任意一个量子比特做投影测量，把它投影到|0>或者|1>。对GHZ态来说，不论测得哪个结果，剩下的两个 qubit都会被投影到可分离态上去。对W态来说，如果测得1，剩下两个qubit就被投影到了可分离态|00>，而如果测得0，剩下两个 qubit会被投影到两体的Bell态。我们发现被投影到可分离态的概率是1／3，被投影到Bell态的概率是2／3。换句话说，这两类态对测量表现出不同的“抵抗力”。不仅如此，如果我们对GHZ态的投影测量基不再是|0>和 |1>，而是(|0>+|1>)/\sqrt{2} 和 (|0> - |1>)/\sqrt{2}，我们会发现此时GHZ态就被投影到了Bell态。
在2001年的一篇PRL中（PRL 86, 910 (2001)），为了标度这些不同的“抵抗力”，定义了两个量：一个是最大联络（maximal connectedness），另外一个是纠缠阻抗（persistency of entanglement）。前一个量表示对某一个N体纠缠态中qubit做局域投影测量，其中任意两个qubit都能够被投影到最大纠缠的Bell态。后面一个量标志着把一个N体纠缠态转换成完全可分离态所需要的局域测量的次数。我们可以看到，仅仅用一个强度参数可以用来标度两体纠缠的大小，可是对多体纠缠来说，一个参数就不够了。多体纠缠特性与纠缠态内部的构型有关。如果我们把每个qubit看作是一个格点，把qubit之间的纠缠用一条直线来表示，我们会发现多体纠缠态就可以用一个图来表示。讨论多体纠缠态，需要仔细分析格点之间的关系，也就是说可能会用到图论的知识。这类量子纠缠态被成为Graph state，cluster state就是一种典型的图态。关于cluster state的定义见本段开始时引用的PRL。我相信对多体量子纠缠特性的研究还不充分，还需要做更多的工作来揭示其性质。
对多体纠缠态的研究不仅仅具有理论上的意义，实际上是很有应用价值的。比如cluster态，就可以作为一种资源，实现量子计算（见我以前的一篇blog）。另外，多体纠缠态也与量子多体问题有关系。人们相信量子相变发生时系统的基态应该就是一种多体纠缠态，具有高度的纠缠性。
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| 发表时间：2006-01-09, 08:41:04 |
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快刀浪子
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
先支持一下。等我把量子力学复习了再向尹兄请教关于量子纠缠的问题
冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
万里飞雪，将苍穹作洪炉，熔万物为白银。
| 发表时间：2006-01-10, 05:44:20 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
我对GHZ态有一个疑问。GHZ态被证明违背定域性。证明用的是反证法。四个算符恒等式中的算符，先被假设有确定的值，＋1 或 －1，然后，写出四个对应的数值恒等式，它们相互矛盾，因而假设错误。这个证明有一个漏洞，\sigma_x 和\sigma_y 不对易，测量了一个就不能再测量另一个，所以，假设它们同时有确定的数值本身就是错误的。不要说GHZ态不能这样假设，就是任何一个自旋态，这样的假设都导致矛盾， 比如，由于σ_x σ_y＝－σ_y σ_x, 如果假设两个算符有确定的数值（＋1 或 －1），m1 m2 = -m2 m1, 则必有 m1=m2=0，矛盾.
| 发表时间：2006-01-10, 09:28:26 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
dbrane，你的批评说得不是很清楚。请告诉我你所见到的证明GHZ态非定域性的文献。
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| 发表时间：2006-01-10, 23:31:17 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
你老弟怎么没见过这个文献啊，是最原始的，见 Am. J. Phys. 58, 1131, 1990. 或者曾谨言等人的《量子力学新进展》第二集304页。
| 发表时间：2006-01-11, 03:41:26 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
我知道了。
我看了看证明过程，你的理解有问题。
证明里面用的\sigma_x, \sigma_y不是对一个自旋而言的。
不同自旋的\sigma_x, \sigma_y当然可以同时测量。
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| 发表时间：2006-01-11, 05:53:50 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
不对。 GHZ态的三个粒子每一个都有一对 σ_x, σ_y。
我的内力不够了，怎么才能增加内力啊。
| 发表时间：2006-01-11, 07:56:45 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
我还是不很清楚你的问题。
我猜测你可能理解上有偏差：
证明中没有同时测量\sigma_x和\sigma_y,
而是对他们做联合测量，得到的值是：<\sigma_x\sigm_y>
所以不存在什么不对易，无法同时测量的问题了。
长内力我可不清楚改怎么做。不过我觉得黄昆做研究的方式值得我们学习。我听说黄昆做研究的方式
就是只看与研究有关的书籍，其它的一概不理。我们时间太少了，天赋又有限，如果花很多时间来学
知识，划不来。其实进入研究后，学习是在研究过程中进行的。我们每研究一个新东西，总会遇到一
些新知识，做完一个课题，就能够学一点新的知识，对本领域的了解也就更加宽广和深入了。
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| 发表时间：2006-01-11, 08:36:22 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
参考曾先生的书中公式（5.3a), 对σ^B_y σ^C_y 的联合测量的结果决定了 σ^A_x的值，说明σ^A_x有确定的值（隐参量）； 然后参考（5.3b) 对σ^B_x σ^C_y 联合测量确定 σ^A_y 的值，等等。问题来了，两次联合测量能实现吗？ 不能，因为 σ^B_y σ^C_y 和 σ^B_x σ^C_y 不对易。
| 发表时间：2006-01-11, 22:07:22 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
dbrane，你的这些问题还是与我通过Email讨论为好: yinzhangqi@gmail.com
另外，我看到的证明GHZ态隐变量过程与你所说的有所不同，你可以看看"Quantum Optics"
作者 M. O. Scully 和 M. S. Zubairy的18.5节，那里的证明不存在你所说的问题。
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| 发表时间：2006-01-12, 21:43:59 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
我手头没有你说的这本书。 你能否提供一个标准的证明让我们讨论？
| 发表时间：2006-01-13, 06:36:17 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
证明过程：
(1) |GHZ\rangle state is an eigenstate of the operators $A=\sigma_x^1 \sigma_y^2 \sigma_y^3$, $B = \sigma_y^1 \sigma_x^2 \sigma_y^2$, and $C= \sigma_y^1 \sigma_y^2 \sigam_x^2$. The eigenvalues of these operators are the same: 1.
(2) $\sigma_x^1 \sigma_x^2 \sigma_x^3 = - A B C $ (recall that \sigma_x^i \sigma_y^i = - \sigma_y^i \sigma^i). Let's set $D= \sigma_x^1 \sigma_x^2 \sigma_x^3$. We get
$$
D|GHZ\rangle = - A B C |GHZ\rangle = - |GHZ\rangle.
$$
(recall that $A|GHZ\rangle= |GHZ\rangle$, $B|GHZ\rangle= |GHZ\rangle$, and $C |GHZ\rangle= |GHZ\rangle$)
(3) We will consider the prediction of hidden variable theories. To each operator $\sigma_x^i$ and $\sigma_y^i$, we assign the classical quantities $m_x^i$ and $m_y^i$ where $m_x^i$ and $m_y^i$ can be $+1$ or $-1$. We get
$$
m_x^1 m_y^2 m_y^3 = +1, \\
m_y^1 m_x^2 m_y^3 = +1, \\
m_y^1 m_y^2 m_x^3 = +1.
$$
Therefore
$$
[m_x^1 m_y^2 m_y^3] [m_y^1 m_x^2 m_y^3] [m_y^1 m_y^2 m_x^3] = +1
$$
or
$$
m_x^1 m_x^2 m_x^3 [m_y^1]^2 [m_y^2]^2 [m_y^2]^2 = +1
$$
Since [m_y^i]^2 = 1, we see that
$$
m_x^1 m_x^2 m_x^3 =1,
$$
in contradiction with the quantum prediction $-1$.
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| 发表时间：2006-01-13, 22:54:05 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
Ok, your proof is the same as I recalled.
Concerning you point (3) that you assign a hidder variable to each operator, in fact, one cannot do so because \sigma_x^i and \sigma_y^i are not permutable. As I argued in my first reply, this assignment surely leads to a conflict not only for GHZ state but even for a single spin. For example, since \sigma_x^i \sigma_y^i = -\sigma_y^i \sigma_x^i, according to your assignment, m_x m_y = - m_y m_x , then, m_x = m_y = 0.
Can we conclude nonlocality from the conflick on a single spin?
| 发表时间：2006-01-13, 23:40:01 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
我想我明白你的意思了。
GHZ态的Bell不等式的破坏确实来自对易关系。
对于隐变量理论来说，把某个算符与某经典量对应起来，认为它们有某种关系，
显然这些经典量不需要满足对易关系，所以证明隐变量理论预测的观测值是没有问题的。
至于你认为：since \sigma_x^i \sigma_y^i = -\sigma_y^i \sigma_x^i, according to your assignment, m_x m_y = - m_y m_x , then, m_x = m_y = 0.
我想这种假设应该不成立。之所以可以把\sigma_x^1 \sigma_y^2 \sigma_y^3，等等3个算符
与三组经典量对应起来，因为它们是厄米算符。而\sigma_x^i \sigma_y^i 不是厄米算符，无法
对应经典物理量。
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| 发表时间：2006-01-14, 01:36:42 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
你说 \sigma_x^1 \sigma_y^2 \sigma_y^3 是厄米算符，可是，证明中并不是把他们当作一个整体，而是分别对应一个经典量，我的质疑中用的完全是同样的对应，也给出矛盾来。所以，我认为这个GHZ的证明是不成立的。
| 发表时间：2006-01-14, 02:23:12 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
之所以可以把它们看成与一个个经典量对应，原因在于这个三体算符是厄米的，它对应了经典物理量。
于是隐变量理论可以假设对这个三体算符测量的结果依赖于其中每一个算符所关联的某个经典物理量，
然后才会出现上面证明中那样的处理方式。
而你定义的算符\sigma_x^i \sigma_y^i显然不是厄米的，它无法对应可观测量，根本就无法对应
经典量，你再把他拆分成两个算符然后依照上面做的那样对应经典量显然就没有道理，所以你的推
导的前提假设就是错误的。
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| 发表时间：2006-01-14, 02:33:10 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
我好悬给你蒙了过去，PAULI矩阵都是厄米的！
你前面的解释不成立了吧？
| 发表时间：2006-01-14, 02:47:26 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
把 \sigma_x^i \sigma_y^i 作厄米变换得 \sigma_y^i \sigma_x^i
\sigma_x^i \sigma_y^i - \sigma_y^i \sigma_x^i = 2i \sigma_z
可见\sigma_x^i \sigma_y^i 不是厄米算符。所以说虽然 \sigma_x^i 与 \sigma_y^i
都是厄米算符，可是它们的乘积就不是厄米的了。
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| 发表时间：2006-01-14, 03:00:14 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
好，对的，但问题还是存在。你把算符A中的三个PAULI矩阵分别对应三个参量，又把算符B中的三个PAULI矩阵分别对应三个参量就有问题了，因为其中包含了\sigma_x^1 和 \sigma_y^1, 这两个PAULI矩阵不对易，不能同时有确定值。
| 发表时间：2006-01-14, 03:19:18 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
算符A和B是对易的，对于纯量子理论来说，我们只要确保可以同时测量
A，B和C即可。然后我们可以推导出结论
\sigma_x^1 \sigma_x^2 \sigma_x^3 ＝ - ABC
对于GHZ态来说，算符\sigma_x^1 \sigma_x^2 \sigma_x^3 的测量值是-1
而对于隐变量理论来说，由于我们已经把单体自旋算符与经典物理量对应起来了，我们不需要
考虑这些经典物理量的对易关系问题。
还有，你的表述很有问题，即使算符sigma_x^i与sigma_y^i无法同时测量，可是并不意味着
我们不能同时测量算符A和B
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| 发表时间：2006-01-14, 04:05:03 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
老弟， 我没有表达过“不能同时测量A和B”的意思啊。 我的论点在于，不能同时假设\sigma_x^1 和 \sigma_y^1 有确定值。它们分别包含在A 和 B中。
我能否到你的BLOG里面去讨论？ 我的内力又用完了。
| 发表时间：2006-01-14, 07:48:01 |
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dbrane
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
你说GHZ把\sigma_x^1 和 \sigma_y^1 和经典值对应，不理会经典值的对易关系。这样的说法很荒谬。GHZ 希望证明多粒子的非局域性，利用的却不是多粒子局域性的矛盾，而是单粒子的自旋算符的不对易性质。我前面的质疑表明，即使没有非局域性，把\sigma_x^1 和 \sigma_y^1 和经典值对应也会出现矛盾。所以，这个矛盾不能证明非局域性。
| 发表时间：2006-01-14, 19:20:11 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
dbrane,请看你的电子邮箱，我给你发了Email。
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| 发表时间：2006-01-14, 20:22:44 |
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semi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
请教yin兄一个问题:我如下考虑问题对否？
考虑电子情形（×：直积）
1、两体纠缠
A电子自旋用σ/2×I表征;B电子自旋用I×σ/2表征。
总体自旋S=σ/2×I+I×σ/2
求(S^2,S_z)的共同本征态，就可以得到直积态与纠缠态。
2、三体纠缠
A电子自旋用σ/2×I×I表征;B电子自旋用I×σ/2×I表征;C电子自旋用I×I×σ/2表征。
总体自旋S=σ/2×I×I+I×σ/2×I+I×I×σ/2
求(S^2,S_z)的共同本征态，就可以得到三体的直积态与纠缠态。
3、多体纠缠按以上类似方法得到。
4、考虑光子情形，只需将电子自旋σ/2替换为光子自旋矩阵即可，高自旋粒子情形替换为相应高自旋矩阵即可，当然I的阶数也相应变。
物理方程之美,是一种极致悠远之美.
| 发表时间：2006-01-17, 09:33:41 |
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yinzhangqi
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内力值: 193/193
Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
semi，对两个电子和光子的情况，你的说法只是涵盖了极端纠缠态Bell态和直积态。
很显然两个电子的自旋单态就是一个Bell态，而其三重态中也有一个Bell态，还有两个
可分离的直积态。但是实际情况是很复杂的。除了极端纠缠态以外，还有处于极端纠
缠态与直积态之间的两体纯态，它们也是纠缠的，但是纠缠程度比较小。不仅如此，
还有许多混合态也是纠缠的。
对于三体纠缠，你的说法也与两体的情况类似，漏了许多情况。说实话，我对多体纠缠
并没有深入研究。但是我知道研究多体纠缠人们常常用分类的办法把纠缠态的内部结构
弄清楚，这个纠缠态也就搞清楚了。但是如果粒子数太多，这种分类的办法就不能用了。
情况太复杂。
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| 发表时间：2006-01-17, 20:54:54 |
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semi
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内力值: 160/160
Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
多谢yin兄解答,看来纠缠态这个概念比我理解的更广泛,怪不得那么多人在研究.
再问几个问题:
1、一般纠缠态不一定是(S^2,S_z)的共同本征态,对否?
若不是,是否严格定义只能用你第一篇提到的密度矩阵来定义?
2、<<还有处于极端纠缠态与直积态之间的两体纯态>>
两体纯态在数学上怎么描述?
物理方程之美,是一种极致悠远之美.
| 发表时间：2006-01-17, 21:49:36 |
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yinzhangqi
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Re: 量子信息基本问题（3）：多体量子纠缠？
一般的纠缠态很多都是混合态，自然不是本征态了。
严格的定义只有我第一篇给出的那个。
一个很简单的两体纯态比如：
a |0> |0> + b |1> |1>
只要a^2 + b^2 =1，a与b都不为零，这就是一个两体的纯态，而且肯定是纠缠的，
而且也不是S^2与s_z的共同本征态。只有a=b=1/\sqrt{2}时这个态才是最大纠缠
态。
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| 发表时间：2006-01-18, 01:45:51 |
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