rainbow
发表文章数: 61
武功等级: 野球拳
(第七重)
内力值: 128/128
Riemann-Siegel积分公式
(1)L是过点πi,与实轴成π/4角,由第三象限至第一象限的直线.
Φ(a,L)=∫(L)exp(aw+iw*w/(4π))/(e^w-1)dw对一切复数a均收敛,且绝对收敛.
(2)Φ(a+1,L)-Φ(a,L)=∫(L)exp(aw+iw*w/(4π))dw=2πexp(iπ(a*a+1/4))
(将积分路径由L移到一三象限角平分线即可得证)
(3)L'是过点-πi,与实轴成π/4角,由第三象限至第一象限的直线.
根据留数定理,Φ(a,L')-Φ(a,L)=2πi;L与L'上对应的点之差为2πi,
因此Φ(a,L')=-exp(-2πia)Φ(a+1,L)
(4)由(1)(2)(3)得Φ(a,L)=(-2π)(i+exp(πi(a*a-2a+1/4)))/(1+exp(-2πia))
取a=iz/(2π)+1/2,得Φ(a,L)=2πi/(e^z-1)-2πiexp(-iz*z/4π+z/2)/(e^z-1)
(5)(4)中第二式两侧乘以z^(s-1)dz(Res>1),再沿第四象限的角平分线R由原点积
分到无穷远处.在这里由于积分的绝对收敛性,故可将迭积分中积分符号互换,
同时运用易证结论ζ(s)Γ(s)=∫(0->∞)z^(s-1)/(e^z-1)dz可得如下结果:
ζ(s)Γ(s)=∫(R)exp(-iz*z/(4π)+z/2)z^(s-1)/(e^z-1)dz+1/(2πi)*
∫(L)exp(iw*w/(4π)+w/2)/(e^w-1)dw∫(R)exp(iwz/2π)z^(s-1)dz
(6)由Γ函数定义及围道积分易得∫(R)exp(iwz/2π)z^(s-1)dz=Γ(s)exp(iπs/2)
(2π/w)^s
(7)设R'是第二象限角平分线,方向由无穷远处到原点.则有如下关系式
∫(R+R')exp(-iz*z/(4π)+z/2)z^(s-1)/(e^z-1)dz=(1+exp(-πis))*
∫(R)exp(-iz*z/(4π)+z/2)z^(s-1)/(e^z-1)dz,将积分路径由R+R'移动到L(1),
L(1)是L关于实轴的反射,这样被积函数的极点被绕开,实现了ζ(s)的解析开拓.
(8)由(5)(6)(7)得Riemann-Siegel积分公式:
π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=exp(πi(s-1)/2)*2^(s-1)*π^(s/2-1)Γ(s/2)*
∫(L)exp(iw*w/(4π)+w/2)w^(-s)/(e^w-1)dw
+exp(πis/2)*2^(-s)*π^(-(s+1)/2)Γ((1-s)/2)*
∫(L(1))exp(-iz*z/(4π)+z/2)z^(s-1)/(e^z-1)dz (*)
由公式(*)可得ζ函数的函数方程的证明.
| 发表时间：2006-01-23, 06:22:47 |
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983
武功等级: 深不可测
内力值: 645/645
Re: Riemann-Siegel积分公式
不错
不过最好适当分行，看着不眼酸
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-01-23, 08:04:36 |
作者资料
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