季候风
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Atiyah-Floer 猜想
鉴于望月殿最近的清冷，终于鼓起勇气写了一点我自己也不是很了解的东西，做抛砖引玉之用。
这篇文章主要介绍 Atiyah-Floer 猜想的历史和大意，及一些相关内容。限于本人水平，错漏在所难免，欢迎批评指正。
这个话题要从 Morse 理论谈起。
Morse理论最初产生于“大范围变分学”，是关于流形上函数的临界点的理论。这个思想是很不可思议的。我们只需要研究流形上的某一个函数（这个函数满足一些非常普通的要求），我们就能得到流形的大量信息，比如它的胞腔结构。
Morse 理论在Witten 之前主要应用在两个方面：（1）有限维流形的构造。比如Milnor的怪球，四维流形的一般构造和Kirby calculus，Smale 关于5维以上Poincare猜想的证明等等。（2）某些无限维流形的胞腔结构，黎曼流形和李群的道路空间等等。据考证，Milnor和Smale 多少知道一些现在流行的关于Morse理论的看法。Thom 和 Smale 大概已经意识到了现在所谓 Morse-Witten complex. 而 Milnor 已经开始使用现在流行的“梯度流” 来对待 Morse 理论。
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-02-14, 00:29:29 |
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季候风
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Re: Atiyah-Floer 猜想
到了1982年，Witten 还没有正式开始做弦论的时候，已经写出了"Supersymmetry and Morse theory"这么一篇文章。这篇文章研究一维超对称非线性sigma模型，就是研究一个质点在一个弯曲的超空间M里怎么运动。通过对这个模型的研究，Witten 把 Hodge 理论和 Morse 理论联系起来。
再晚些时候，Floer 吸收了 Witten 这篇论文的思想, 进而用这种看法研究了两个数学问题。
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-02-14, 00:30:15 |
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Re: Atiyah-Floer 猜想
第一个问题是 Arnold 猜想的一个特殊形式，简单说，就是辛流形里面的一个 Lagrange 子流形 L，在沿着 Hamilton 向量场滑动以后跟原来相交，交点的个数不能太少，至少应该是 L 所有 Betti 数的和。这个比拓扑上的限制强多了，单从拓扑的角度，对 L 做任意扰动以后跟自己相交，交点个数不能少于 L 的 Euler 数。所以辛扰动所受的限制更强。Floer 构造了一个链复形，由那些交点生成，边缘算子是对交点之间的“全纯条带”进行计数。这个链复形的同调被证明同构于 L 的奇异同调，所以生成元的个数至少是 L 的 Betti 数的和。这样就证明了这个特殊条件下的 Arnold conjecture. 这种 Lagrange 子流形相交形成的同调理论就叫做 Langrangian Floer homology theory.
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-02-14, 00:30:57 |
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季候风
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Re: Atiyah-Floer 猜想
第二个问题是三维流形的 Casson 不变量问题。这个不变量对流形 M 基本群的二维不可约酉表示 （严格来说，到 SU(2) 的表示）进行计数。在这个不变量提出不久，Taubes 给出了一个规范理论的解释：任一个从基本群到 SU(2) 的表示对应到流形上一个平坦 SU(2) 联络，而平坦联络正好是 Chern-Simons 泛函的临界点。这样在所有联络的这个无穷维空间上有一个自然的 Morse 函数 －－－ Chern-Simons 泛函。这个泛函的“梯度流”决定的微分方程实际上是自对偶 Yang-Mills 方程。Floer 结合了 Taubes 和 Witten，构造了一个链复形，生成元是三维流形 M 上的 SU(2)-平坦联络，而边缘算子是对四维流形 M*R 上“连接”两个三维流形平坦联络的自对偶 Yang-Mills 联络的计数。这个链复形的同调群的 Euler 数正好是 Casson 不变量的两倍。这个同调理论就叫做 Floer instanton homology theory （瞬子同调）.
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-02-14, 00:31:28 |
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Re: Atiyah-Floer 猜想
在 Casson 发明他的不变量的时候，他已经找到了一个计算方法，即，把三维流形 M 分解成两个“手柄” X, Y，沿一个曲面 S 粘合 （ Heegaard splitting ）。从 S 的基本群到 SU(2) 的表示形成一个空间 R，从 X 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的一个子空间 U, 从 Y 的基本群到 SU(2) 的表示形成 R 的另一个子空间 V，这个两个子空间 U 和 V 的交集就是那些在曲面上相容的表示，从而就是三维流形 M 的基本群到 SU(2) 的表示。所以计算 Casson 不变量的问题变成数两个子流形交点的问题。说到这个，大家可能觉得似曾相识，不错，这个两个子流形 U, V 还真的可以作为 R 的 Lagrange 子流形。
既然 Casson 不变量是两个 Lagrange 子流形的相交数，那么它实际上就是这两个 Lagrange 子流形的 Lagrangian Floer homology 的 Euler 数。但同时它又是 Floer instanton homology 的 Euler 数。所以这两种同调有相同的 Euler 数。一个自然的猜想是（当时不是那么自然，比如 Floer 本人就没有意识到），这两种同调其实是同构的。这个猜想是 Atiyah 在纪念 Weyl 的一个会议上提出来的，所以被称为 Atiyah-Floer 猜想。在同一个报告中，他还提出了另一个猜想，即 Jones 多项式一定跟 Floer instanton homology 有关系，从而跟量子场论有关系。Witten 在很大意义上解决了这个猜想，这就是他著名的文章“量子场论与 Jones 多项式”。然而，Jones 多项式同 Floer instanton homology 的关系到现在还不是很清楚。
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-02-14, 00:32:13 |
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季候风
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Re: Atiyah-Floer 猜想
Atiyah-Floer 猜想的这种两种同调间的同构，虽然还没有被证明，但是已经激发了另一个非常出色的工作，这就是 Ozsvath 和 Szabo 发明的 Heegaard-Floer homology。它的发明就是为了给 Seiberg-Witten homology 找一个对应，因为 Seiberg-Witten 类似于瞬子同调，而 Heegaard-Floer 类似于 Lagrangian 同调。所以相应于 Atiyah-Floer 猜想，现在还有一个 “Ozsvath-Szabo 猜想”，即，Seiberg-Witten 与 Heegaard-Floer 是同构的。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-02-14, 00:32:55 |
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萍踪浪迹
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Re: Atiyah-Floer 猜想
好文章，先坐个沙发。
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| 发表时间：2006-02-14, 04:15:11 |
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萍踪浪迹
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Re: Atiyah-Floer 猜想
"Supersymmetry and Morse theory",
Witten这篇文章很著名。这位老兄的数学能力真不是一般二般的强悍
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| 发表时间：2006-02-14, 04:19:17 |
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gulong
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Re: Atiyah-Floer 猜想
作者从那找的材料，太强了
| 发表时间：2006-02-14, 06:42:19 |
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萍踪浪迹
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Re: Atiyah-Floer 猜想
呵呵，找资料不是难事，难的是用自己的话表述出来，要有很强的消化能力和组织能力
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| 发表时间：2006-02-15, 09:07:52 |
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星空与道德
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Re: Atiyah-Floer 猜想
Atiyah-Floer 猜想的这种两种同调间的同构，虽然还没有被证明，但是
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这个猜想有什么进展吗?
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-------*------------
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----******-------
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| 发表时间：2006-04-05, 18:51:58 |
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季候风
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Re: Atiyah-Floer 猜想
我对此不太了解，看起来是 Salamon 提出了一个纲领，但是还没有实现。下面这个博士论文应该记录了最新进展
http://www.math.princeton.edu/~wehrheim/papers/diss.pdf
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-04-05, 22:13:29 |
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leo2000
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Re: Atiyah-Floer 猜想
"既然 Casson 不变量是两个 Lagrange 子流形的相交数，那么它实际上就是这两个 Lagrange 子流形的 Lagrangian Floer homology 的 Euler 数。"
I wonder if we can define Floer homology for any pair of Lagrangian submanifolds L and L' of a symplectic manifold.?
In Floer's original paper, he seems
only consider the case when L' is an exact deformation of L inside the symplectic manifold. Is it true that the two Lagragian submanifolds associated to the irreducible SU(2)-representations of two handlebodies are "close to" each other??
In addition, the 3-manifolds above should all be homology-spheres.
For general 3-manifolds, the two Lagrangian submanifolds may not
intersect transversely.
数学是贵族的游戏.
| 发表时间：2006-04-06, 00:35:30 |
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季候风
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Re: Atiyah-Floer 猜想
你的讨论班很有成效啊......我完全不清楚细节，正需要你来科普。Floer 原来的文章要求 exact deformation, 那么对于一般两个 Lagrangian, 有什么样的障碍？
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-06, 00:44:43 |
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星空与道德
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Re: Atiyah-Floer 猜想
是自己组织的讨论班啊？在哪啊？
| 发表时间：2006-04-06, 05:12:38 |
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萍踪浪迹
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Re: Atiyah-Floer 猜想
在南大吧~
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| 发表时间：2006-04-06, 05:51:35 |
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leo2000
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Re: Atiyah-Floer 猜想
If the two Lagrangian submanifolds are not related to each other by exact
deformation, the proof of Floer's homology I(L,L') = H^*(L,\Z_2) will not work since it used the fact that exact symplectic deformations have
generating functions. (See the paper "Witten's Complex and Infinite
Dimensional Morse theory" for detail.)
But we can still define Floer's homoloy if L and L' are not related by
exact deformations. The homology we got may not equal the ususal
cohomology (singular, ....) though. In this case, it is not clear if we still have the statement of Arnold conjecture.
数学是贵族的游戏.
| 发表时间：2006-04-06, 20:39:50 |
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wandonye
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Re: Atiyah-Floer 猜想
对于不是exact deformation的情况，这里有个直观的例子很容易说明Arnold猜测不成立：
考虑T^2=R^2/Z^2上的Lagrangian子流形L={(x,y)\in T^2 |x=0}，映射f:(x,y)->(x+a,y)，这是一个辛映射（一般的可以证明，二维情形只要保体积就是辛映射），但不是Hamiltonian的。f把L仍然映成Lagrangian子流形。显然L与f(L)不交，它们平行！
这一点在Arnold提出他的猜测时就已经注意到了,见Arnold的经典力学的数学方法，2nd ed, 附录9。所以正如你前面帖子提到的，要“沿着 Hamilton 向量场滑动”才有交。说Lagrangian Floer Homology证明的是Arnold猜测的特殊情况是因为为了保证d^2=0，Floer对Lagrangian子流流形L与整个辛流形P加了条件\pi_2(P,L)=0，此时全纯曲线模空间不会出现bubbling，从而d^2=0。
另外，在非Hamilton情形下，也有人做推广，要另加条件。L.D.Stelling在2001年的Journal of Geometric Analysis上有一篇Fixpoint for non-Hamiltonian Syplectomorphism证明对于辛同痕于Id的辛同胚，并且其Calabi inv.有一定限制，此时交点个数也有下界估计。
也许有人希望推广到非Lagrangian子流形的情况，这方面有些否定的结果，Polterevich在Floer怀念文集上有一篇non-Lagrangian intersection 证明Euler示性类vanish的非Lagrangian的normal子流形在Hamilton流下可以不交。
| 发表时间：2006-04-18, 02:44:54 |
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Re: Atiyah-Floer 猜想
欢迎新网友.......有空写点动力系统的东西吧, 我也顺便扫扫盲.
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-05-10, 16:59:35 |
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