萍踪浪迹
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（原创）漫谈Calabi-Yau流形
我理论物理的弦论中，我们要研究Calabi-Yau流形，1954年Calabi猜测存在一类特殊的Kahler流形，其Ricci曲率为零（我们称为Ricci平），Calabi证明这个问题的唯一性但是无法证明其存在性，1977年Yau证明了这个猜想的主要部分即存在性部分，彻底解决了这个问题。但是他给出的是证明的概要，次年给出细节。这个猜测的证明给出了Kahler-Einstein度量的存在性的一个漂亮结果。我们在这个帖子里说说这个Calabi-Yau流形。
弦论要求额外空间为6维且有特殊的对称性，粗略说就是和乐群为SU（3）的流形，（复）三维Calabi-Yau流形刚好符合这些苛刻的条件，因此1985年Candelas、Horowitz、Strominger、Witten四人发表了一篇关于Calabi-Yau流形在超弦中的基础作用的论文成为弦论的经典之作，由于C-Y流形是特殊Kahler流形，而Kahler流形是特殊的Hermite流形，Hermite流形是复流形。我们必须从复流形开始讲。
一个流形被赋予近复结构（almost complex structure）后称为“近复流形”，如果近复结构可积则是复结构，此时的近复流形成为复流形（complex manifold），复流形是现代数学的重要研究对象，因为代数几何和多复变函数论、微分几何都要大量研究复流形，对于紧致Hermite流形，其最高阶上同调群非零，而紧致Kahler流形上所有实偶数维上同调群都不为零，C-Y流形是特殊的Kahler流形，要求第一Chern类为零从而是Ricci平Kahler流形。
C-Y流形在进入弦论之前就被代数几何和微分几何学者深入研究。著名的K3曲面就是2维C-Y流形。
C-Y流形的紧致化（Calabi-Yau compactifications）是弦论和几何学的重要课题。紧致复流形上有许多优美的性质，如Gauss-Bonnet-Chern定理等。这使得C-Y流形的的研究成为最近二十多年的大热门。
这篇帖子才开头，以后数天会在回帖中陆续进行这方面的讨论，欢迎大家的热烈参与与讨论。
（站长注：应作者要求，站长对网友跟帖中提及的笔误做了更正）
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-02-17, 15:28:04 |
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