星空浩淼
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请教两个问题，谢谢！
1）不知有没有这种说法：对于紧致李群的生成元，它们的本征值必定是量子化的。
2）S.Weinberg的量子场论第一册第61页讲到，Lorentz boost vector不是守恒的，所以我们不用它的本征值作为标记量子态的标签（我们知道，三维空间总角动量矢量守恒，我们可以用总角动量的量子数来作为量子态的一个下标）。
这里我有点迷惑，我目前认为这种说法，是S.Weinberg的一个失误。四维总角动量张量的每个分量都是守恒的，因为它们作为Lorentz 群的生成元，也对应守恒的Noether荷（因为Lorentz对称性和Noether定理）。因此Lorentz boost vector作为四维总角动量张量的分量当然是守恒的——按照此书这个地方的意思，生成元是指总角动量张量
况且我自己也可以通过计算严格验证自由电子场的总角动量张量守恒。
我认为之所以用到三维空间角动量量子数而不是用Lorentz boost vector的量子数来标记量子态，因为三维空间转动子群是紧致的，对应的生成元（三维空间角动量）本征值是量子化的，才有“量子数”，而纯粹的boost不构成Lorentz群的子群，而且由于boost变换的存在，使得整个Lorentz群本身不是紧致的，Lorentz boost vector的本征值不是量子化的，不存在相应的离散量子数，这才是我们只用通常的角动量量子数来标记量子态的原因。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我呆，我呆故我笨；我笨故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在，我在故我寻
| 发表时间：2006-02-26, 22:35:26 |
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卢昌海
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Re: 请教两个问题，谢谢！
Weinberg在这种问题上犯错误的可能性是微乎其微的，尤其是他还在“不守恒”的“不”字上加了着重记号（斜体），因此连笔误也不可能。:)
我们平时说四维角动量的六个分量都守恒是指四维守恒律\part_{\mu}J^{\mu\nu\rho}=0意义下的守恒。但是要注意的是在boost情形（对应于t-x_i空间的旋转）下坐标变换显含时间，因此对应的守恒量也显含时间，它是四维意义下守恒的，但却不是量子理论中与Hamiltonian对易的意义下守恒的（即Weinberg书中2.4.24式），因此在量子理论中不用来标识状态。
至于本征值是连续还是离散，它与是否可以用来标识状态无关。非束缚态的能量，自由空间中的动量等都具有连续谱，它们都可以用来标识状态。
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| 发表时间：2006-02-27, 06:44:11 |
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Re: 请教两个问题，谢谢！
尽管Weinberg很少犯错误，但在这个问题上他的确犯错误了。：）
关于这个问题我在我关于光子的量子力学中给了说明，但没有直接指出他错了。只是有心得读者可以知道谁错谁对。
我认为他把相对论中的与时间平移算子是否对易看作是否为守恒量的判据是缺乏根据的。关于boost引导的守恒问题大家也可以参考Penrose的road to reality.
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| 发表时间：2006-02-27, 08:11:26 |
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卢昌海
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Re: 请教两个问题，谢谢！
星空兄因要赶末班车来不及回帖， 通过 email 给我发了一段他以前所做的有关量子力学下 boost vector 守恒 - 即 dK_i/dt=∂K_i/∂t+i[H, K_i]=0 - 的证明， 让我在这里回复他。 那个证明是完全正确的。 由于∂K_i/∂t≠0， 因此从星空兄的证明也可以得到 [H, K_i]≠0， 即 Weinberg 书中 2.4.24 式所表示的结果。
至于 Weinberg 那句 boost vector “不守恒”， 如果单独表述， 的确不妥， 因为它与 Noether 定理意义上的守恒不同。 但是 Weinberg 在同一页的第一句中已经对他所说的守恒下了定义， 即 “In quantum mechanics a special role is played by those operators that are conserved, i.e., that commute with the energy operator H=P^0”。 有了这个定义， 他的说法就自洽了。 他所说的不守恒并不是 dK_i/d≠0， 因此与星空兄证明的结果不矛盾。
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| 发表时间：2006-02-27, 18:26:39 |
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Re: 请教两个问题，谢谢！
看来，我应该说Weinberg这个定义不是很好了。有点非相对论的影子。：）
Faith, Fashion and Fancy.
| 发表时间：2006-02-27, 20:47:21 |
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星空浩淼
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Re: 请教两个问题，谢谢！
谢谢昌海兄的精彩回答和HPC兄的参与！
“至于本征值是连续还是离散，它与是否可以用来标识状态无关。非束缚态的能量，自由空间中的动量等都具有连续谱，它们都可以用来标识状态。”
的确如此，当时发完帖子就觉得不妥了:-)事实上，连续的动量常常也是用来标识状态的。连续指标可以对应一个自变量；反过来，把一个自变量空间离散化的时候，该自变量就沦落为离散的指标。
对于这个问题，在昌海兄的启发下我终于完全明白了：
通常解量子力学方程，用Hamiltonian，动量和自旋投影等组成一个力学量完备组，也可以用Hamiltonian和角动量平方什么的组成另一组力学量完备组来求解，总之选择的力学量都与Hamiltonian对易，给出的解对应它们共同的本征态，自然可以用它们的本征值来共同标识确定一个具体的态；而Lorentz boostvector不跟Hamiltonian对易（虽然它在我们的意义上守恒——不是Weinberg的意义上守恒），就无法用它的本征值对Hamiltonian的本征态进行这种标识。这应该就是Weinberg所要表达的意思。
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| 发表时间：2006-02-27, 21:35:37 |
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