元江
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请教一个量子力学问题
都说狄拉克给出了海森伯量子力学和薛定锷量子力学
的等价性证明。有谁能将这个证明的前提和假设，证
明的主要思路，以及结论给总结一下么？
道可道非常道
名可名非常名
| 发表时间：2006-03-01, 09:52:04 |
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星空浩淼
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内力值: 617/617
Re: 请教一个量子力学问题
一般人只知道有这么个事实，没有人去关心原创者们当年的具体推导过程。如果要知道，可能只有去找原始文献。
不过，从一般量子力学教材中，完全可以看到这一点，只要那里同时讲到波动力学和矩阵力学，从波动力学过渡到矩阵力学的讲解中，你就能从那里看得到。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
| 发表时间：2006-03-01, 22:42:52 |
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季候风
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Re: 请教一个量子力学问题
海森堡那个时候发明矩阵力学，但是他连矩阵是什么都不知道，所以当然不知道表示论，不知道这些矩阵可以作用在一个无穷维空间上，而这个无穷维空间里的元素就是系统状态的 l^2 坐标。
从薛定谔的角度，他当然更容易从波函数想到矩阵，因为波函数容许一些微分算子的作用。取某个特定微分算子的所有本征函数，其它微分算子在这些本征函数上的作用就表现为无穷维矩阵。这就是希尔伯特嘲笑海森堡的典故。传说当年海森堡不明白为什么会出现矩阵这种数学对象，然后去拜访希尔伯特，希尔伯特告诉他说这种类型的矩阵往往出现在求解偏微分方程的过程中，但是海森堡认为希尔伯特在敷衍他，未予理睬，结果错过了发现薛定谔波动方程的绝好机会。
矩阵理论和波动理论的等价性是多层次的。首先它们描绘了不同的图像。对一个系统测量一个力学变量，测量到的值是随机分布的，这个分布的期望随时间变化。海森堡的观点是，系统处在一个固定的状态，而力学变量在随时间演化；薛定谔的观点是，力学变量是固定的东西，而系统的状态随时间演化。
这两种图像的对偶关系其实在经典力学里已经存在，只是人们没有把它们区分得很清楚，或者说没有必要区分得很清楚。一个粒子系统的状态可以由相空间的一个点 x 描述，而力学变量是相空间上的（不明显依赖时间的）函数 p(x), q(x)，力学变量在不同时刻的值随着状态的演化而改变，p(x(t)), q(x(t))。这是薛定谔图像的经典对应。
或者一个粒子系统的状态可以由相空间上的一条运动曲线 c 描述， 而力学变量现在是 p_t, q_t, 它们在所有运动曲线组成的空间上取值。p_t(c), q_t(c)。这是海森堡图像的经典对应。
经典理论中这两个图像的等价性是这样实现的：任取相空间一点 x, 把它作为初值，然后依据哈密顿函数随时间演化，演化的过程是一个“流” L_t 作用在初值上，那么我们得到一条运动曲线 c(t) = L_t(x) = x(t). 这就实现了从相空间（状态空间）到运动曲线的空间（运动态空间）的一一对应。在这个对应下，p(x(t)) = p_t(c)。建立这个对应的恰恰是“流” L_t, 又叫单参数辛群。它就是经典力学系统的时间演化。
量子情形没有太大不同，主要区别是，现在状态空间是无穷维的。而建立薛定谔图像和海森堡图像等价性的是单参数酉群，它是量子力学系统的时间演化。在经典力学的时间演化是单参数辛群因为要保证 p, q 的共轭性，其数学抽象是所谓相空间上的辛结构。量子力学的时间演化是单参数酉群因为要保证波函数的归一性，其数学抽象是函数空间上的内积。
顺便感叹一下，辛群和酉群是很好的翻译。它们分别对应于 symplectic 和 unitary, 所以是音译；并且辛属天干，酉属地支，它们也正好对应到经典时间演化和量子时间演化。可惜的是，现在很少有人做一些仔细的翻译工作了。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-02, 02:15:46 |
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季候风
发表文章数: 291
武功等级: 太极剑法
(第四重)
内力值: 370/370
Re: 请教一个量子力学问题
写着前面的忘了后面的。刚才说多层次，除了两种不同的图像以外，还涉及两种不同的表示。状态空间是一个希尔伯特空间。从数学上说，任何测度空间上的平方可积函数都组成希尔伯特空间。物理上常用的有 R^n 上的 Lebesgue 平方可积函数空间 L^2 和 自然数集 N 上 计数测度 的平方可积函数空间 l^2. 后者其实就是平方可加序列空间。任一组 L^2 的规范正交基建立一个 L^2 到 l^2 的等价。每个函数对应到其傅立叶系数序列。
薛定谔的波函数本来是坐标的函数，也就是说，他使用了坐标空间上的 Lebegue 平方可积函数空间；海森堡的矩阵作用的空间是平方可加序列空间。经过Dirac 的推广，波函数可以是任何一组可观察量完全集的函数。可观察量的完全集的共同本征函数系组成态空间的一组正交基。
这样薛定谔表示和海森堡表示的等价可以用两种观点来看：一种是，在坐标的平方可积函数空间里，特别对于束缚态，存在能量的本征函数组成的正交基，微分算子在这组正交基上的作用给出海森堡的矩阵；另一种是，在抽象的状态空间里，有两组基，一组由坐标的共同本征函数组成，另一组由能量的本征函数组成，这两组基之间的变换关系就是 L^2 和 l^2 的关系，即函数和其傅立叶系数的关系。
这两个表示的关系和两个图像的关系是相容的，因为能量的本征态是所谓“定态”， 这样海森堡意义下的“运动态”和薛定谔意义下的“态”是一回事。而与能量对易的力学变量，从而属于海森堡的可观察量完全集，都是守恒的，它们成为薛定谔意义下的力学变量。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-02, 02:51:41 |
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983
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内力值: 645/645
Re: 请教一个量子力学问题
这就是希尔伯特嘲笑海森堡的典故。
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Hilbert经常嘲笑物理学家，不过Weyl说得对，Hilbert在物理上的成就比不上他在数学上任何一个方面的成就。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-03-02, 07:04:26 |
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萍踪浪迹
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Re: 请教一个量子力学问题
Shrodinger方程和Heisenberg理论在量子力学基本教材中都有清晰说明。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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| 发表时间：2006-03-02, 07:08:09 |
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StChenhua
