henring
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萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
事情是这样的：作为一名物理专业学生。当时学量子力学时为了对其数学结构有所了解，看了一些泛函分析的书，但没做习题。现在希望能认真学好这门学问（希望能学到作为一个物理学生能够为以后发展在这方面有足够多的知识），为了能少走弯路，尽快抓住重点，烦请各位给予指导：
1.这门学问最核心的东西（概念，定理。思想）是什么？要学懂这门学问，什么最关键？
2.这门学问的各部分对应的物理问题是什么？与物理的联系如何？
3.这门学问有那些后续的数学分支？这些数学分支有什么物理理论的对应应用？
4.这门学问学完以后，在知识结构上，我应该有什么样的认识？既泛函分析在数学中处于什么位置？
5.特别的：泛函分析与代数几何（微分几何，整体微分几何）该如何衔接？有没承上启下？
6.我还需要注意什么问题？您有什么建议？
＋＋＋＋
这里我先万分感谢一下给我提意见帮助我的前辈们，以上我所列的几点并非要前辈逐点回答，仅仅是作为你们回答范围的参考。谢谢你们的指导！也让这里所有可能学到泛函分析的人受益！
Love is patient and kind ;it is not jealous or conceited or proud;love is not ill-mannered or selfish or irritable;
| 发表时间：2006-03-05, 03:24:32 |
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henring
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
忘了说，我手头有基本泛函分析的书
这里我想那一本问一下各位前辈的评价：
Walter Rudin著<functional Analysis> （他的三本著作我都有），自我感觉是，这本书可以称为泛函分析无废话版，都是一个定义接着一个定义，一个定理接着一个定理，似乎太紧凑了，这本书用来学习我应该注意什么？当然我页参考了其他的几本书。
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| 发表时间：2006-03-05, 03:49:23 |
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萍踪浪迹
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
1.这门学问最核心的东西（概念，定理。思想）是什么？要学懂这门学问，什么最关键？
==================================================
最关键的在于所谓的延拓定理，闭图定理等定理。概念中核心的是Banach空间、Hilbert空间以及相关的算子。
2.这门学问的各部分对应的物理问题是什么？与物理的联系如何？
===================================================
在量子力学中应用Hilbert空间，是Banach空间的特殊情形，要对这两个空间有深刻了解
3.这门学问有那些后续的数学分支？这些数学分支有什么物理理论的对应应用？
===================================================
后续学科是算子代数之类的课程
4.这门学问学完以后，在知识结构上，我应该有什么样的认识？既泛函分析在数学中处于什么位置？
===================================================
当你看到一些它的应用时，就知道它的重要性了。量子场论中的泛函积分（路径积分的对应）就是一个例子。这个课题至今都有着很大的吸引力。
5.特别的：泛函分析与代数几何（微分几何，整体微分几何）该如何衔接？有没承上启下？
===================================================
与微分几何中的“几何分析”有很大联系。
6.我还需要注意什么问题？您有什么建议？
===================================================
多做些题目，不然等于什么都没有学。虽然所有数学分支都是这样。但是泛函因为其抽象性，尤其如此。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-03-05, 04:05:38 |
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萍踪浪迹
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
泛函分析在现代数学中几乎无处不在。变分法本质上是泛函分析的特例。于是物理中作用量有关的东西都和泛函有关了
微分几何和代数几何中，泛函分析同样显眼。例如Kahler流形上的Kahler-Einstein度量的存在性就是一个泛函极值问题。
测地线、极小曲面以及它们高维类似物——极小子流形都是二阶变分的产物。
如此等等，不甚枚举。
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| 发表时间：2006-03-05, 10:21:10 |
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季候风
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
你的情况可能比较适合读这套书：
Methods of Modern Mathematical Physics Vol. 1，2，3，4:
by Michael Reed, Barry Simon
不过读完这个以后，估计你的物理直觉就完全丧失了，呵呵。
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-03-07, 18:44:48 |
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gage
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
Rudin的书，如果要做教材，那么可以说相当的垃圾；如果作为参考材料还将就。最好连翻都不要去翻。这本书希望把每个定理都搞成最一般的形式。还自创了若干记号，主要体现在Fourier分析以及广义函数这一部分，我还没有见过第二个人用它那些记号，虽然不多，但看着挺烦。这是一本Bourbaki喜欢的书，所以不适合阅读。
另外，Freed和Simon书肯定非常好，我个人感觉是最好的泛函分析教材。但不一定适合学习物理的人。事实上，我不太清楚物理学家的数学到底是怎样修炼的，但是肯定不是通过这些专门的数学系的教材，这对于他们来说太慢，也有太多的内容在物理中从来都没有用处。
泛函分析发源于偏微分方程和量子力学，比较起来，更加主要的是面向偏微分方程。所以，学习泛函分析，一开始的时候接触到的例子多半来自于微分方程，这些东西和量子力学关系很小。和量子力学关系很大的部分主要是算子的谱理论和无界算子。但是完全的理解无界算子又需要知道有界算子的性质。而从头开始学习这些内容相当费事。所以我很难对此给出一
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
一只小小的温度计，却透露了宇宙那无比的寒冷和荒凉。
| 发表时间：2006-06-19, 08:17:06 |
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gage
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
Rudin的书，如果要做教材，那么可以说相当的垃圾；如果作为参考材料还将就。最好连翻都不要去翻。这本书希望把每个定理都搞成最一般的形式。还自创了若干记号，主要体现在Fourier分析以及广义函数这一部分，我还没有见过第二个人用它那些记号，虽然不多，但看着挺烦。这是一本Bourbaki喜欢的书，所以不适合阅读。
另外，Freed和Simon书肯定非常好，我个人感觉是最好的泛函分析教材。但不一定适合学习物理的人。事实上，我不太清楚物理学家的数学到底是怎样修炼的，但是肯定不是通过这些专门的数学系的教材，这对于他们来说太慢，也有太多的内容在物理中从来都没有用处。
泛函分析发源于偏微分方程和量子力学，比较起来，更加主要的是面向偏微分方程。所以，学习泛函分析，一开始的时候接触到的例子多半来自于微分方程，这些东西和量子力学关系很小。和量子力学关系很大的部分主要是算子的谱理论和无界算子。但是完全的理解无界算子又需要知道有界算子的性质。而从头开始学习这些内容相当费事。所以我很难对此给出一
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| 发表时间：2006-06-19, 08:22:03 |
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gage
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
Rudin的书，如果要做教材，那么可以说相当的垃圾；如果作为参考材料还将就。最好连翻都不要去翻。这本书希望把每个定理都搞成最一般的形式。还自创了若干记号，主要体现在Fourier分析以及广义函数这一部分，我还没有见过第二个人用它那些记号，虽然不多，但看着挺烦。这是一本Bourbaki喜欢的书，所以不适合阅读。
另外，Freed和Simon书肯定非常好，我个人感觉是最好的泛函分析教材。但不一定适合学习物理的人。事实上，我不太清楚物理学家的数学到底是怎样修炼的，但是肯定不是通过这些专门的数学系的教材，这对于他们来说太慢，也有太多的内容在物理中从来都没有用处。
泛函分析发源于偏微分方程和量子力学，比较起来，更加主要的是面向偏微分方程。所以，学习泛函分析，一开始的时候接触到的例子多半来自于微分方程，这些东西和量子力学关系很小。和量子力学关系很大的部分主要是算子的谱理论和无界算子。但是完全的理解无界算子又需要知道有界算子的性质。而从头开始学习这些内容相当费事。所以我很难对此给出一些有意义的建议，左右为难。
有几个小的建议，也许有用。
第一，先将所有的空间先想象为有限维的。
第二，将所有空间看作Hilbert空间。
从楼主的情况看，学习泛函分析应该以理解为主，没必要做过多的题目。
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| 发表时间：2006-06-19, 08:23:37 |
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gage
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
faint
网络出故障，居然发了三次。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
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| 发表时间：2006-06-19, 08:26:27 |
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星空浩淼
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
本人建议，先从低起点的教材学起，再拿高深一点的教材学第二遍，这样才会扎实。
首先是正确地理解和掌握，然后是应用能力。
在国内教材中，个人认为：
童裕孙，《泛函分析教程》，复旦大学出版社，2003年
比较好。
在国外教材中，个人认为：
John B. Conway, A Course in Functional Analysis (Second Edition), Springer-Verlag, 1990
比较好。
如何选择最佳教材，依据之一是：你学习它，准备拿它来干什么？以上建议适合于准备在量子力学方面进一步深入学习和从事量子力学研究的物理工作者。如果只是为了学习一般的量子力学和高等量子力学，就基本上用不着专门去学泛函分析。那些书上会讲一点初等基础以备用。
One may view the world with the p-eye and one may view it with the q-eye but if one opens both eyes simultaneously then one gets crazy
| 发表时间：2006-06-19, 22:36:06 |
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gage
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
童裕孙的书，
其一，干瘪，例子太少
其二，注意，这是研究生教材
Conway的书，
其一，内容太多，正如Conway的另一本书--复变函数，处理不够简洁，比较啰嗦
其二，离物理很远
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| 发表时间：2006-06-20, 01:02:12 |
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星空浩淼
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
Conway的书，
其一，内容太多，正如Conway的另一本书--复变函数，处理不够简洁，比较啰嗦
其二，离物理很远
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
我曾经为了弄清一个物理问题，翻了很多泛函分析教材，最后还是在这本书上才找到自己想要的内容。
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| 发表时间：2006-06-20, 01:16:44 |
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
什么问题？
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
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| 发表时间：2006-06-20, 01:47:30 |
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星空浩淼
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
我那个问题是：对于量子力学中的某个算子，我可以证明它是一个对称算子，但需要进一步判断它是否存在自共轭扩张（extension）。即需要了解有关亏指数（deficiency index）方面的内容。
当然，复旦大学童的书里面也有这方面内容。
我上面建议的两本书，属于“提高学习”部分，不是起点低的哪一种。好教材有两种：一是便于学习和掌握的教材；二是有助于科研工作的教材。国内人编的教材，弱项在于缺乏第二种即有利于科研的优秀教材。这种教材除了具备一定的全面性与深度，更需要作者知识面宽广。
我觉得，让讲解风格和内容取舍不同的几种教材同时使用，对照学习，是自学知识的一个好办法。
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| 发表时间：2006-06-20, 23:30:20 |
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Re: 萍踪浪迹 saga 站长等众多前辈请进：关于泛函分析的学习
我觉得，让讲解风格和内容取舍不同的几种教材同时使用，对照学习，是自学知识的一个好办法。
=================================
同意。以某一本书为基础，同时参考其它的。
还有一种，学一些基本的东西，然后找个小题目做一下，需要什么再去学。
亏指数也不一定容易计算，说不定还不如直接证明快。
繁星满目的夜晚，我举头四望，却发现众星都离我远去。
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| 发表时间：2006-06-21, 00:10:13 |
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