萍踪浪迹
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（书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
作者：萍踪浪迹（shanqin-wang）
其实我这个人一直后知后觉，去年八月Arithmetic 兄就说到这本书的新版，问我是否应该买。我凭着以前对初版的看法，坚决推荐。但我却不知道这本书的新版又增添了不少内容，直到前几天到书店才看见了这本书的新版，虽然价格是56RMB，我还是强烈要求自己买，虽然我电脑上有这本书的初版的电子版。
这本书是整体微分几何（Global Differential Geometry）的经典大作。两位作者都是分析功底极其深湛的几何学家，几何功底极其深湛的分析学家。如果要看懂这本书，建议先学好基础微分几何和偏微分方程（PDE），最好学一些非线性PDE。
由于此书大量应用分析学进行估计，因此对于一些习惯于以几何方式看几何的人，无疑是很难习惯的。虽然Yau是Chern最得意的学生，但是在风格上不尽相同。Chern在示性类方面的伟大工作是拓扑学味道很浓的工作，从Poincare、de Rham一路传承，到Chern的关于Hermite流形的工作，拓扑学的风格强于分析学，虽然大家也知道Cartan和Kahler的工作对Chern的影响也很深。
Yau作为一个微分几何大师，除了对其师工作精髓深有把握外，更精擅于非线性分析在几何中的应用，例如Complex Monge-Ampere方程等方面的研究。Yau的风格在Calabi猜想、正质量猜想（与Schoen合作）等一系列工作中以及其后关于Kahler-Einsten metric的工作（我们当然可以看作是他关于Calabi猜想方面工作的延续）和Calabi-Yau manifolds即Ricci平坦Kahler（-Einsten）manifolds的研究，都彻底展现出惊人的分析功底。在Yau的大力发展下，微分几何形成很有影响力的“Yau学派”，或者说就是“几何分析学派”，这方面有很多前人作过先驱性质的工作，但是却是在Yau及其学生手中发扬光大的。
在《微分几何讲义》中，S.T.Yau和他当年的学生、合作伙伴R.Schoen将这个风格大大展示一番。从第一章开始就直接应用Jacobi场理论进行比较定理的论证，这是典型的大范围微分几何课题，然后就是关于梯度估计和Ricci曲率非负的完备Riemann流形的体积增长等问题的探讨。第二章的分析气息更浓烈，因为直接和调和分析相关联，历史悠久的Dirichlet问题的可解性分析我们可以追溯到Riemann时代与Hilbert时代，在Rauch比较定理和Topologov比较定理的应用先获得必要的估计后，直接应用到“无限远球面”的性质分析。
接着两位作者讨论了Harnach不等式与Poisson核、Martin边界与Martin积分表示的相关课题，这些课题在原书上有精彩的计算，就不照搬了，大家有机会得到此书后细看。我这里要提及的是，这些东西与多复变函数论中的积分理论有着极其密切的关系，所以掌握这些内容对多复变函数论的学习有着非常好的启示作用。
（未完待续）
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| 发表时间：2006-03-08, 18:29:27 |
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萍踪浪迹
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Re: （书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
在第一版时Yau和Schoen还打算写第二第三分册，使得一众Fans等到花儿也谢了还是没有看到。
第二版序言终于宣示：“作者原意再写极小子流形与Monme-Ampere方程在几何中的应用，时光荏苒，作者二人自从加州分开后，竟无机会再聚在一起续写前书，调和映射已有英文版，希望中文版不久即可以面市。”
看来，大家的期待是落空了，现在唯一可以希望的就是调和映射的中文版的价格可以比手上这本便宜点。。。。。。。
我晚上继续写这本书的书评。现在有点事情要办。
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| 发表时间：2006-03-08, 18:50:55 |
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卢昌海
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Re: （书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
老Yau的《Lectures on Harmonic Maps》出版已有九年了，说不定可以买到影印本，不过价格低于￥５６的可能性。。。
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2006-03-09, 10:30:14 |
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萍踪浪迹
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Re: （书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
（续前）
无疑，经典的大范围微分几何或者说整体微分几何中著名的一些问题在Yau和Schoen的这部著作都会涉及，如Gauss-Bennet定理以及高维推广的Gauss-Bennet-Chern定理、Cartan-Hardamard定理等等，比较定理是微分几何中的重要课题，该书第一章就开始的比较定理就是考虑了两个模型空间（常曲率空间）的夹挤分析，得出一系列精彩结果。
在昨天评论第二章时，我说起了Poisson Kernel等积分表示问题在多复分析（多复变函数论）方面的延伸，感觉意犹未尽，今天多提几句。
单复变函数论中将Cauchy积分公式的主要部分称为Cauchy核，由此进行很多推广，如Poisson核等等，通过对这些积分核的研究，开展出一大堆分析学工具。在多复变情形，推广形式更加多姿多采，著名的有Cauchy-Szego核、Cauchy-Fantappie核、Henkin-Ramirez核、Bergmann核、Bochner-Martinelli核、Stein-Kerzman核等等，相关的积分表示是多复分析中极其重要的课题之一，如Bochner-Martinelli的积分表示，以及由此推出的Bergmann Weil积分表示，华罗庚关于四类典型域上的全纯函数的积分表示更是多复分析的经典工作，Cauchy-Fantappie积分表示可以看作是这些著名的积分表示的推广形式。这些形形色色的积分表示搭建起复分析中各个分支的密切关系。华罗庚的工作开创了矩阵几何这个重要课题。
（先写到这里，明天继续切入正题。）
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| 发表时间：2006-03-09, 20:16:50 |
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萍踪浪迹
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Re: （书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
Yau的《Lectures on Harmonic Maps》出版已有九年了，说不定可以买到影印本，不过价格低于￥５６的可能性。。。
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我们所希望的事情，往往是因为实现起来很渺茫所以才产生这种希望。。。
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| 发表时间：2006-03-09, 20:18:23 |
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冠臻
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Re: （书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
呵呵，很早就买了这本书。可惜很多地方看不懂，因为我还没有学过Riemann几何。最关心的是里面的第四章，Riemann流形上的热核，主要是热核的上下界估计。
因为有些退化的椭圆算子是Subelliptic, 那么我们就要研究所谓的 SubRiemannian Geometry, 利用经典力学的方法(Hamilton-Jacobi Theory), 可以研究这种流形上的测地线（测地线与 Riemann 流形的情况有本质的不同）。这样可以导出所谓的 Carnot-Caratheodory 距离。这样就可以表示出 Sub-Laplacian 的基本解或者相应的热核。
在流形上，Laplacian 的热核之所以比基本解重要，是因为积流行上的热核表示很简单，而且基本解可由热核导出？而且热核可以给出流形的很多性质。好像Hamilton 的Ricci流以及后来 Perelman关于PC的工作都与此有关。
那么对于一般的Sub-Laplacian 给出热核估计应该也是很重要的，我想。
以上只是很浅显的认识，可能有不对的地方，因为我对Riemann流形的一般概念都不明白。
| 发表时间：2006-03-10, 04:43:37 |
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Re: （书评）《微分几何讲义》（丘成桐&孙理查 著）的札记
Riemann流形的一般概念的概念是很好理解的，加上有些初等计算就可以解决问题
倒是Ricci flow要求的基础比较高，楼上兄弟了解了Ricci flow，要掌握Riemann流形的基本概念是非常容易的。
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| 发表时间：2006-03-10, 22:28:11 |
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