星空浩淼
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请教一个数学问题，相当感谢！
给定一个微分算子（比如包含求一阶和二阶偏导数符号的一个多项式），假设它的一个本征态集合是正交归一和完备的。
我的第一个问题是：这表明该微分算子的所有可能的本征态都已经给出了吗？
可能你会说，是的，因为本征态集合是完备的。但是，这个本征态集合，可能只是构成某个完备的子空间。同一个算子，在不同的表示空间有不同的具体表示，从而可能有不同的谱结构以及不同的本征态集合。比如空间转动操作算子，在二维空间有一个表示，可以求出它的完备的本征态集合，但这个集合只是属于三维空间表示下的完备本征态集合的子集。
那么，给定一个微分算子（例如一个哈密顿算子），我们去求它的本征态时，得到的，是它所有可能的本征态集合，还是某个完备的子空间中的元素？换句话说，我们能否根据算子本身一次性地给出它的所有可能的本征态、使得这些本征态构成这个算子所有可能的表示空间的直和空间？
反过来，已知算子的某个完备的表示空间，有没有一种系统的办法，对这个表示空间进行扩张，从而得到该算子的所有可能的表示空间？
不好意思，问题有点长，不过也许你会觉得问题有趣。
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| 发表时间：2006-03-21, 06:46:09 |
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萍踪浪迹
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
哦.........对泛函有关的问题我认识不深,还是小心点,别掉陷阱
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| 发表时间：2006-03-21, 07:06:26 |
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卢昌海
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
呵呵，这里有研究微分算子的吗？
一般来说，微分算子的谱问题中要预先给定三类信息：
１ 微分算子本身。
２ 它所作用的空间。
３ 边界条件。
因此，如果得到一个完备的本征态集合，它表明的是本征态集合在２和３所限定的空间中是完备的。星空兄是想要在不指定２的情况下求解吗？
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去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2006-03-21, 08:31:11 |
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星空浩淼
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
谢谢昌海兄的回答！
估计由你提到的（1）微分算子本身和（3） 边界条件，通过求解特征方程，可以给出它所作用的空间（2）。我想知道的是，如果不考虑边界条件时，微分算子的谱会不会都是在（－∞，＋∞）之中？
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| 发表时间：2006-03-21, 20:20:19 |
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季候风
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
当然不可能离开边界条件来谈算子的谱。因为边界条件实际上影响到算子作用的空间。比如同样是 d'Alembert 算子，两端固定的弦就有驻波解，而不固定的弦就没有驻波解。这是因为两端固定的弦可能的状态空间比较小。还有一个例子我忘记了，好像是讨论 i d/dx 这个算子在什么样的边界条件下是自伴（粗略来说就是物理上说的 Hermitian，但要满足更多的跟扩张有关的条件）的。复习一下泛函分析吧，比如张恭庆那本泛函分析下册，无界算子那一章。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-21, 23:00:58 |
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季候风
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
那么，给定一个微分算子（例如一个哈密顿算子），我们去求它的本征态时，得到的，是它所有可能的本征态集合，还是某个完备的子空间中的元素？换句话说，我们能否根据算子本身一次性地给出它的所有可能的本征态、使得这些本征态构成这个算子所有可能的表示空间的直和空间？
反过来，已知算子的某个完备的表示空间，有没有一种系统的办法，对这个表示空间进行扩张，从而得到该算子的所有可能的表示空间？
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这里还有一个概念问题。“表示” 一般指一个代数或者群的表示。“一个算子的表示” 不是有固定意义的概念。任意性太大。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-21, 23:05:34 |
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星空浩淼
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武功等级: 九阳神功
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
谢谢季兄的回答！
“当然不可能离开边界条件来谈算子的谱。因为边界条件实际上影响到算子作用的空间。比如同样是 d'Alembert 算子，两端固定的弦就有驻波解，而不固定的弦就没有驻波解。这是因为两端固定的弦可能的状态空间比较小。”
的确如你所说。不过我想，假定求解一个算子F的特征方程：Fψ＝λψ （1）
在不施加边界条件时，求出的ψ是不是对应F所有可能的本征态，而边界条件相当于对所有可能的ψ加上一个额外限制，使得我们事实上得到的只是{ψ}的一个完备的子集，这个子集中的ψ才符合边界条件。现在我的问题是：如果不加边界条件，由一般微分算子F的特征方程（1），给出的本征值λ是不是分布在（－∞，＋∞）上？
关于算子的“表示”，我有特指的含义：我们知道，量子力学有波动力学描述方式和矩阵力学描述方式，一旦给定一个Hilbert空间（假定由ψn张成, n=1,2,3...），那么算符F在这个“表示空间”{ψn}中就有对应的矩阵表示，例如矩阵元Fmn=<ψm|F|ψn>，（m，n=1, 2, 3 ...)。
由线性代数我们知道，给定一个矩阵，单凭这个矩阵就可以确定它的所有本征值和本征态，不需要其他条件。但实际上，一个矩阵对应某个算符的具体表示，相当于算符的表示空间已经确定了，所以这里仍然可能有边界条件，只是它隐含在求解这个矩阵具体形式的过程中了
“还有一个例子我忘记了，好像是讨论 i d/dx 这个算子在什么样的边界条件下是自伴（粗略来说就是物理上说的 Hermitian，但要满足更多的跟扩张有关的条件）的。”
应该是i d/dx 所作用的空间元素满足无穷远边界条件（通常称作自然边界条件）。
有些微分方程求解，没有专门给出边界条件，但在求解过程中，把一些物理要求逐渐地加进去，这些物理要求就相当于边界条件。例如简谐振子的量子力学方程求解，只用到无穷远边界条件。
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| 发表时间：2006-03-22, 01:09:23 |
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卢昌海
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
:: 现在我的问题是：如果不加边界条件，由一般微分算子F的特征方程（1），
:: 给出的本征值λ是不是分布在（－∞，＋∞）上？
所谓分布在（－∞，＋∞）上指的是λ遍布整个实轴吧？否则的话显然任何实本征值都分布在（－∞，＋∞）上，问题变成trivial的了。一般微分算子的本征值不一定遍布整个实轴，比如恒正算子谱不包括负实轴。另外，在你说“不加边界条件”的时侯，很难把自然边界条件也排除在外，因为否则的话你所考虑的空间将不再是Hilbert空间，甚至将超出广义函数所能表示的范围。大量分析学的东西都得抛弃。如果包含自然边界条件，那么即使不附加任何其它边界条件，本征值也将进一步受限，比如谐振子的本征值谱是离散谱。
:: 假定求解一个算子F的特征方程：Fψ＝λψ （1）在不施加边界条件时，求出的ψ是不是
:: 对应F所有可能的本征态，而边界条件相当于对所有可能的ψ加上一个额外限制，使得
:: 我们事实上得到的只是{ψ}的一个完备的子集，这个子集中的ψ才符合边界条件。
这个与上面的问题有关，我还是假定你并不想把自然边界条件也排除在外，在这种情况下上面的说法不成立。还是以谐振子为例，在不附加任何边界条件（自然边界条件除外）时，{ψ}是对应于λ=n的各本征态的集合（注意因为你的问题讨论的是本征态集合与边界条件的关系，因此这个集合是本征态的集合而非本征态的任意线性组合的集合，后者并非本征态）。现在我们加一个边界条件，比如让波函数在x<0与x>1均为零，则显然原先那些ψ_n都不再是本征态，因此新的本征态集合不是原本征态集合的子集。新定义域下算子的谱也并非λ=n的子集。
算子的谱与边界条件密切相关，我们无法通过对不带边界条件的算子的谱分析得到任意边界条件下的谱。尤其是，一个算子在有边界条件下的谱通常并不是没有边界条件下谱的子集。
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| 发表时间：2006-03-22, 06:38:06 |
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萍踪浪迹
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Re: 请教一个数学问题，相当感谢！
Hilbert和Courant的书好象有比较多这方面的东西吧，我以前没有细看。
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| 发表时间：2006-03-22, 06:49:56 |
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