kanex
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还是顺着John Baez的一些东西说说...
还是顺着John Baez的一些东西说说...
学代数拓扑的人都知道，H^n(X; G) = [X, K(G; n)].
John Baez说了一句很精彩的话：当我们看到一个homotopy invariant，就应该去想如何构造一个topology space去represennt它。我狗尾续貂，看到一个"homology invariant" [locally defined的都是]，就可以去考察它是从哪个generalized cohomology theory / exact sequence来的。〔例如first chern class与0->Z->C->C0->0，first stiefel-whitney class与1->SOn(R)->On(R)->Z2->1。这个正在看...〕
我们这里来看看K(Z; n)。在Homotopy下，K(Z; 0)是discreet topology；K(Z; 1)从Eilenberg-Maclane构造可能看不清是什么，但我们可以猜出来它是S^1，或者按物理的习惯叫U(1)；不过K(Z; 2)是什么就麻烦些了。我们现在先claim它是CP^infinity，Infinite-dimensional complex projective space。那么大家都知道projective space就是取原来空间的所有一维子空间，取C^n的limit然后变成CP^infinity。
不过物理学家可以给出一个更有趣的定义：先取一个countable infinite的Complex Hilbert space，然后取unit vector的空间，modulo phase就是了－－没错，就是pure quantum state！量子力学中最神秘的莫过于complex number的“无端出现”，这是否揭示着K(Z; n)与QM有着些神秘的联系呢？John Baez问。那么大家一定会想K(Z; 3)是否和string有关系......事实上真的有一点迹象。K(Z; 2)是U(1) bundle的classifying space [因为BG是G-bundle的classifying space，而B(K(Z;1))=K(Z;2)，而K(Z;1)可以看成U(1)]，而K(Z; 3)正是某种Gerbe的classifying space。有待大家研究。
Wait a minute，这里有些问题：何谓bundle的classifying space？很显然，在CP^infinity上有一个canonical的complex line bundle，因为其中每一个点其实是由一个1-d subspace变来的。我们把这个bundle叫L。L很重要，因为如果我们有一个f: 某空间X -> CP^infinity，那么当然可以把L给pullback过去，而这里最关键的是，任何空间X上的任何complex line bundle都对应到一个homotopy class of f，当且仅当两个bundle是isomorphic时对应到同一个class！我们注意到[X, CP^infinity] = [X, K(Z; 2)] = H^2(X)，这正是first chern class。
如果我们以S^2为例，那么H^2(S^2) = Z，所以S^2上的complex line bundle可以用一个整数来classify ---- first Chern number. 这就是monopole的故事。如果我们依此类推去classify CP^infinity上的bundle的话，L所对应的整数就是1。
下面来看为什么CP^infinity是K(Z;2)，一个非常美妙的trick。
那么我们都知道：
... ->pi_n+1(X) -> pi_n(G) -> pi_n(P) -> pi_n(X) -> pi_n-1(G) -> ...
G->P->X部分挺trivial。LX->G是把base space中某一点的loop space给send到bundle上的connection的holonomy，想一想也会明白。
不过，如果P是contractible会如何呢？我们会得到 0 -> pi_n(LX) -> pi_n(G) -> 0！所以LX就是G [under homotopy, of course]，所以X就是BG！
现在，我们只要show一下CP^infinity上的principal U(1) bundle〔例子：S^infinity -> CP^infinity〕可以contract到一个点上就可以了。换了有限维空间的话这很荒唐，因为我们事实上是把一个球面给缩成一个点。不过在Hilbert space里面没有问题。例如我们取L^2[0,1]，就是square-integrable functions between [0,1]，然后看看unit sphere，就是积分等于1，然后很明显是全部可以缩成一个constant function的。
所以CP^infinity就是K(Z;2)。
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以下图做结，正在探索euler characteristic和homotopy cardinality的神秘联系......
K(G; n)
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S^n ---->X
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-03-22, 12:23:11 |
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季候风
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Re: 还是顺着John Baez的一些东西说说...
老弟的见识已经足够广足够深了。不过别太相信 Baez ---- 这位老兄跟 Atiyah 比较像，都喜欢瞎想，区别在于 Atiyah 想的多半都是对的，至少是可以实现的，而 Baez 是真正的瞎想，呵呵。至于说弦论跟代数拓扑的关系，肯定没有 Baez 想的那么简单。最近有个看上去很大的进展（当然，都是道听途说，我自己对此一无所知），
http://www.arxiv.org/abs/math.QA/0509264
你估计会有点兴趣，作者使用的语言应该是你比较熟悉，或者至少是你比较欣赏的那种。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-22, 23:40:07 |
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轩轩
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Re: 还是顺着John Baez的一些东西说说...
kanex 你上次说的那个欧拉等于同伦的连乘积
这个是baez的猜想 还是已经证明出来了?
《相对论通俗演义》
i will love you till the null infinity.
| 发表时间：2006-03-23, 00:20:59 |
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kanex
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Re: 还是顺着John Baez的一些东西说说...
http://www.arxiv.org/abs/math.QA/0509264
this is intense。目前看不懂。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-03-23, 02:15:45 |
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