kanex
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有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
季候风兄应该是专家。我总觉得这类文章在“大致理解”和“具体计算”与“推广”之间的gap相当大，不知道能否介绍几篇有具体详细计算过程的，谢谢！另外譬如gauge group推广到GL(n)的情况如何，与Khovanov homology〔非常漂亮的思维方式！〕的联系，等等。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-03-22, 12:47:09 |
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季候风
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
做具体计算的就不能是文章而是书了.......
Witten 定义的这个东西在数学上做起来颇为复杂，而且从中几乎完全读不出物理意义。这方面的书当然首推 Quantum Invariants: A Study of Knot, 3-Manifolds, and Their Sets (Hardcover)
by Tomotada Ohtsuki
如果图书馆没有，以下这个电子书也很好：http://www.math.sunysb.edu/~kirillov/tensor/tensor.html
微扰展开有几篇文章值得一读：
Dror Bar-Natan's PhD thesis, http://www.math.toronto.edu/~drorbn/
Scott Axelrod, I. M. Singer:
http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9110056
http://www.arxiv.org/abs/hep-th/9304087
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-22, 23:49:55 |
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季候风
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
另外譬如gauge group推广到GL(n)的情况如何，与Khovanov homology〔非常漂亮的思维方式！〕的联系，等等。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~`
GL(n) 比较麻烦，它们不是半单的。SL(n) 如果只考虑有限维表示应该没有什么新东西，跟 SU(n) 得到的理论一样，是 HOMFLY polynomials. 无穷维表示又太复杂，Sergei Gukov 和 Joerg Teschner 在这方面有些见解，但远未成熟。
与 Khovanov homology 的关系还非常不清楚。在物理上似乎比较明显它们会有关系，比如
Sergei Gukov, Albert Schwarz, Cumrun Vafa 的提议，通过 topological string. 但是在数学上意味着什么还不太清楚。
Chern-Simons 理论产生的是一个 TQFT, 对闭流形里的扭结生成一个数，而不是一个同调群。现在同调不变量的解析构造主要通过 Floer 理论，所以有理由猜想 Khovanov homology 是一种 Floer homology. 最近 Ciprian Manolescu 取得了一点进展，http://www.arxiv.org/abs/math.SG/0601629，但依然是猜测性的。
到这里你可能会怀疑 Chern-Simons 和 Floer 理论应该有关系，这个就更玄乎，好像只有 Fukaya 这个狂魔做过一些研究，文章名字好像叫什么 Morse homotopy and Chern-Simons. 我粗粗扫了几眼，内容好像跟两边都没啥关系。不过大牛的风格就是这样的，眼光比较超前以至于难以理解。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-23, 00:09:19 |
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kanex
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
赞！真是高手。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-03-23, 02:17:43 |
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萍踪浪迹
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
旁征博引，牛啊！佩服佩服！
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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| 发表时间：2006-03-23, 03:54:39 |
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季候风
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
呵呵，两位太客气。我无地自容啊。俗话说见过猪跑不一定吃过猪肉，知道一些方向不代表我真正懂这些方向。
昨天就犯一错误，把 SU(n) 说得太简单......只有在用 SU(n) 的 n维定义表示的时候得到的才是 HOMFLY 的一周特殊情况－－－Jones-Conway polynomials. 如果用 SU(2) 的 n 维不可约表示 （旋量表示），就得到跟体积猜想有关的 colored Jones polynomials.（准确地说，Chern-Simons 理论中 Wilson loop 的期望值是这些对应的多项式在单位根上的取值）。
既便是这些不变量，也无法从数学上严格证明它们就是 Chern-Simons 理论的真空期望值。或者说，少数人可能知道怎么证，比如 Atiyah, Segal 和 Witten 自己，但是他们都没有写下一个证明。关键是要证明三维 Chern-Simons 生成的 TQFT 和 共形场论生成的 Modular functor 是一回事，也就是 "2+1" 理论 和 "1+1+1" 理论的关系.......Kanex 你可以看看 Witten 那篇文章的最后一节。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-23, 11:27:27 |
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kanex
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
我就是只想知道真空期望值那个积分是怎么算出来的，呵呵。。。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-03-23, 12:14:41 |
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季候风
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
我就是只想知道真空期望值那个积分是怎么算出来的，呵呵。。。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
那你可以重点看那本电子书
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-23, 12:46:15 |
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萍踪浪迹
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
季兄，我昨天把你的有关扭结、量子化、Atiyah-Floer猜想的几张帖子整理后发给站长，现在收录于“繁星物语”，你看后若有什么要补充和修正的，就提出来。
如果你乐意再写一些这样的帖子，站长将为你开设文集。不知你意下如何？
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| 发表时间：2006-03-24, 05:39:32 |
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萍踪浪迹
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
哦~原来站长在茶室已经公布了，呵呵。具体的，就到茶室讨论吧~
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痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-03-24, 06:01:45 |
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萍踪浪迹
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
：：Witten 定义的这个东西在数学上做起来颇为复杂，而且从中几乎完全读不出物理意义。
===============================================
他发表在Commun. Math. Phys上的那篇文章和这个杂志的其他很多文章一样，只看得到数学，而物理呢。。。。。
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| 发表时间：2006-03-24, 09:21:43 |
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yinhow
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
而物理呢。。。。。
================
这才是最重要的。
| 发表时间：2006-03-24, 20:04:49 |
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kanex
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
综观历史，数学的进步与物理的进步总是相辅相成。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-03-24, 20:28:23 |
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季候风
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
季兄，我昨天把你的有关扭结、量子化、Atiyah-Floer猜想的几张帖子整理后发给站长，现在收录于“繁星物语”，你看后若有什么要补充和修正的，就提出来。
如果你乐意再写一些这样的帖子，站长将为你开设文集。不知你意下如何？
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
再次感谢～～～
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-03-25, 21:42:10 |
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那一剑的寂寞
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
今天搞到Witten的一篇谈Topology String的文章，60页，对里面的数学比较感兴趣，但是物理内容就完全看不懂了。看的脑袋好痛！后悔自己当初为什么不多学一些物理。
| 发表时间：2006-03-26, 03:31:03 |
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Casimir
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
从量子群和HopfAlg的角度是熟悉的,不知算熟悉不?
| 发表时间：2006-03-27, 08:49:55 |
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星空与道德
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
其实对物理系学生来说string theory也不是初等的玩意，所以数学系的人看不懂这些也是正常的。如果真懂了也是大牛了。现在既懂物理也懂数学的是极少数，搞来搞去都是那几个人。而且这些文章都是很深入的，不要指望博士毕业以前可以都弄明白，还是把注意力放在简单的东西上，循序渐进。
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2006-03-29, 22:03:57 |
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leo2000
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
“既便是这些不变量，也无法从数学上严格证明它们就是 Chern-Simons 理论的真空期望值。”
----------------------------------------------
I think people can show that those quantum invariants are finite type, and correspond to weight systems on the space of oriented Jacobi diagrams.
They are certain (but not any) linear combination of the configuration space integrals.
On the other hand, Chern-Simon perturbative invariants can be asymptoticly computed by
configuration space integral over Jacobi diagrams and some weight system
over them.
Chern-Simon purturbative invariant is an infinite sum which should not be finite type invariant.
数学是贵族的游戏.
| 发表时间：2006-04-12, 01:32:33 |
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季候风
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Re: 有朋友熟悉witten那篇qft<->jones polynomial么
Kontsevich integral 本身不是 finite type 吧。这些多项式对 h 的展开系数才是 finite type. 还是我搞错概念了？
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-12, 20:47:40 |
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