星空与道德
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4维流形的拓扑学（yc）
大家知道，对流形的整体性质的研究通常从紧致和单连通流形开始。4维流形在所有维度的流形中有很特别的拓扑结构。
每一个流形的上同调环是拓扑不变量，这在近一百年前就已经知道。如何计算或利用这个不变量来分类却不是一个简单的问题。有关这方面的问题和进展一直延续到今天。现在我们谈谈4维时的情况。
流形上的基本结构有拓扑（连续）结构和光滑结构。如果仔细分的话还有C^r结构，解析结构等等。谈到分类问题，我们自然需要给定一个范畴，也就是说，我们要说明是对哪种结构的分类。
拓扑学的一个重大问题是Poincare猜想，这个猜想的解决会导致一系列问题的迎刃而解。最早的突破是Smale在1961年证明5维及5维以上的Poincare猜想成立。1982年，Michael Freedman证明了4维的Poincare猜想，这个成果以及他的一系列相应的结论让他拿到1986年的Fields Medal。值得注意的是，同年另一位年仅29岁的数学家也因为拓扑学贡献而得奖，他就是S.K.Donaldson。他们两人的工作合在一起开创了4维流形的分类的新局面。
Freedman证明了每一个整系数酉模（unimodular）正定对称双线性形都可以实现为一个4维流形的相交形式：
H^2(X,Z) X H^2(X,Z) --> H^4(X,Z)=Z.
Donaldson后来证明任何一个4维单连通光滑流形的正定相交形式都可以对角化成恒等矩阵。
这样取一个不可对角化的正定对称双线性形，他对应的拓扑流形上就没有光滑微分结构。
故事到这里不是结束了，而是刚刚开始。Donaldson的证明很变态的用了selfdual联络的模空间，后来他又发现用antiselfdual connection才更加自然。selfdual connection的研究在他之前已经取得重大进展，Atiyah，Hitchin等人都是这方面专家，而这两人又都是Donaldson的导师。Atiyah在构造S4上的instanton时（ADHM construction）早已观察到这个instanton的模空间与原来的S4有很微妙的关系。Donaldson发展了这个想法，将他推广到一般的4维流形上（适当的拓扑限制）。
光滑微分结构的分类依然是未解决的问题。也就是说，如何判断两个光滑流形是否微分同胚。微分同胚的一类不变量是Donaldson Polynomial和Seibeig Witten不变量。这些不变量还不足以完全刻画微分结构。
最后，作者不是拓扑学专家，欢迎大家批评指正。
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2006-04-01, 17:02:53 |
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萍踪浪迹
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
：：流形上的基本结构有拓扑（连续）结构和光滑结构。如果仔细分的话还有C^r结构，解析结构等等。
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我倒不觉得这是粗分细分问题，考虑C^r结构结构，r=0是，是连续结构，r为无穷大时是光滑结构。
如果不仅是光滑结构而且局部上总可以展开为幂级数，就是解析结构。
：：Atiyah，Hitchin等人都是这方面专家，而这两人又都是Donaldson的导师。
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哈哈，原来大名鼎鼎的Hitchin也是Donaldson的导师，这下我长见识了~
另外，老兄，太懒了吧，原创都表示成“yc”。。。。。。。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-04-02, 20:44:55 |
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星空与道德
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
我倒不觉得这是粗分细分问题，考虑C^r结构结构，r=0是，是连续结构，r为无穷大时是光滑结构。
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没错，但在实际上，没有什么人会去考虑C^r结构。通常问题就集中在拓扑结构（C^0）和微分结构（C^\infty）上。有微分结构的拓扑流形是所有拓扑流形的一个子类，所以可以考虑这类流形上的微分结构分类。在这个意义上我说它是粗分和细分。
归根结底只是出发点不同，说法不一样而已。
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2006-04-02, 23:04:28 |
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萍踪浪迹
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
归根结底只是出发点不同，说法不一样而已。
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是的。我同意。
因为我们侧重不同的应用，所以有不同的划分~
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-04-03, 21:02:35 |
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季候风
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
r>0 的 C^r 结构和光滑结构是一回事吧
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-04-04, 21:51:09 |
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星空与道德
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
r>0 的 C^r 结构和光滑结构是一回事吧
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为什么一样？
可以看这个简单的例子，函数y=x+x^{5/3}在平面上的图像是一条曲线X，拓扑上与R^1相同。他上面的点的x坐标和y坐标是两个不同的函数，分别定义了两个曲线坐标系，这两个坐标系的坐标变换是C^1的。但却不是C^{\infty}的。这说明如果考虑C^1微分结构，他们是相容的，也就是说这时恒等映射是C^1同胚。但考虑光滑结构时，恒等映射不是微分同胚。当然，曲线X上的不同光滑结构都是diffeomorphic的，因为X可以由一个coordinate chart覆盖。
至于另一个问题，微分同胚的流形是否一定光滑同胚？我不知道答案。季兄说的可能是这个问题的回答是肯定的。即便如此，上面的例子说明他们还是不一样的，只是他们的等价类一样。
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| 发表时间：2006-04-05, 04:11:19 |
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kanex
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
弱弱地问：满足什么性质的空间上 r>0 的 C^r 结构和光滑结构是一回事？例如complex plane是一个例子吧。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
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卢昌海
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
季兄的问题可能是指李群流形。我记得已经被解决的Hilbert第五问题是说对李群流形，它究竟属于哪个C^k类是无关紧要的，群结构保证它只要是连续的就一定光滑（细节有可能记错）。不过我对这个不熟，哪位网友介绍一下？
宠辱不惊，看庭前花开花落
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| 发表时间：2006-04-05, 08:33:35 |
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星空与道德
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
弱弱地问：满足什么性质的空间上 r>0 的 C^r 结构和光滑结构是一回事？例如complex plane是一个例子吧。
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弱弱的答，我觉得complex plane也就是R^2上可能也不对，就像上面我给的R^1的例子一样。
这里要澄清一点，我认为当我们说C^r 结构和光滑结构是一回事时，是说给定一个C^r 结构必然诱导唯一的一个光滑结构，而不是说与他相容的所有光滑结构都微分同胚。如果是后者，则所有R^n（n不是4）都是对的。
关于n=4，Freedman & Donaldson
R^4上存在拓扑同胚但不光滑同胚于标准欧氏空间R^4的微分结构。
我不知道这里的拓扑同胚可不可以加强为C^1或C^k微分同胚。
| 发表时间：2006-04-05, 19:34:19 |
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星空与道德
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
季兄的问题可能是指李群流形。我记得已经被解决的Hilbert第五问题是说对李群流形，它究竟属于哪个C^k类是无关紧要的，群结构保证它只要是连续的就一定光滑（细节有可能记错）。不过我对这个不熟，哪位网友介绍一下？
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昌海说得没错，我看了一下这个问题的表述，好像是这个意思。但这里群结构是附加的。所以C^1或C^\infty的分类被蕴含在群结构的分类中了。这个上面R^1的例子没有矛盾。谁熟悉这个报告一下。
| 发表时间：2006-04-05, 19:40:50 |
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卢昌海
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
我觉得奇怪的是，印象中我很少在有关李群的书中见到这个结果，许多书-即便是一些从其它方面看很注重公理化结构的书-都直接将李群定义为具有群结构的微分流形（那些书中微分流形指的就是光滑流形）。如果光滑性可以从更弱的要求推出，照理说那些作者应该从更弱的定义出发才是啊？即便这个结果太困难了，不适合在一般教材中给出证明，也应该叙述一下其结果才是。这其中是否有什么特殊原因？
宠辱不惊，看庭前花开花落
去留无意，望天空云卷云舒
| 发表时间：2006-04-05, 20:02:37 |
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萍踪浪迹
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
拓扑群成为Lie群，似乎不是很重要（虽然一度很困难）的问题，所以很多书没有提及这个Hilbert提出的问题的解决。
这是我个人看法，不知道大家认为有什么原因？
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| 发表时间：2006-04-05, 20:29:19 |
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季候风
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
我有点胡说八道，我要说的正是星空与道德兄说的这个意思：
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当我们说C^r 结构和光滑结构是一回事时，是说给定一个C^r 结构必然诱导唯一的一个光滑结构
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不过用 “诱导” 好像不太确切。给定一个 C^r 结构，那么它光滑化在 C^r 同胚下是唯一的。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-05, 21:57:09 |
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季候风
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
如果光滑性可以从更弱的要求推出，照理说那些作者应该从更弱的定义出发才是啊？即便这个结果太困难了，不适合在一般教材中给出证明，也应该叙述一下其结果才是。这其中是否有什么特殊原因？
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可能是因为大多数涉及李群的场合，讨论的都是光滑范畴，所以没有必要提到拓扑范畴的东西。一些专门介绍微分流形和李群的书上应该还是会提到这个结果，比如 Warner 的书和 Helgason 的书。
对于这个结果，我还有一点疑问。这个结果准确的说法是， If G is a topological manifold with continuous group operations, then there exists exactly one differentiable structure on G which turns it into a Lie group in our sense. 但是在 R^4 的情况，群运算是固定的，放上任何一个微分结构应该都成为一个李群，但这些李群应该不能算做光滑同构吧？
书山有路勤为径
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| 发表时间：2006-04-05, 22:06:42 |
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
但是在 R^4 的情况，群运算是固定的，放上任何一个微分结构应该都成为一个李群，但这些李群应该不能算做光滑同构吧？
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好问题，值得想一下。我觉得群运算不像是固定的。
平面上的x轴和y轴有标准的群结构。在y=x^3定义的三次曲线上如果用到x轴的投影和到y轴的投影可以定义不一样的群运算。但他们通过一个非恒等映射可以建立同构。
R^4上可能还会有其他不平凡的连续群结构吗？
另外Hilbert李群的问题最终解决是不是需要一定的可微性假设C^1或C^2。
| 发表时间：2006-04-06, 04:52:41 |
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萍踪浪迹
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
：：另外Hilbert李群的问题最终解决是不是需要一定的可微性假设C^1或C^2。
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似乎不用。在可微性方面只要是拓扑群就可以了。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
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| 发表时间：2006-04-06, 05:49:19 |
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
但是在 R^4 的情况，群运算是固定的，放上任何一个微分结构应该都成为一个李群，但这些李群应该不能算做光滑同构吧？
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即使我们固定群运算，如果给定一个拓扑结构T1与群运算相容，那么我们有一个拓扑群G1，按照Hilbert问题，拓扑结构T1唯一决定了它上面的光滑结构M1。现在任给一个另一个光滑结构M2，如果M2作为拓扑结构T2和群运算是相容的，那么M1和M2作为光滑结构必然相容（这是由于Hilbert问题中的唯一性）。
现在的问题是一般来说两个光滑结构M1和M2是不是微分同胚？
我觉得这里的关键是拓扑结构T1和T2是拓扑同胚的，但并不是说在恒等映射下同胚。换句话说，这两个拓扑结构并不相容，从而不能合并为一个拓扑结构。如果他们相容，那将他们合并为一个拓扑结构后，按照Hilbert问题，微分结构M1和M2也一定要相容。
所以在R^4的情形，我们说它上面有拓扑同胚但不微分同胚的光滑结构时，这两个光滑结构之间的拓扑同胚并不是恒等映射。假如这个拓扑同胚记为h，问题是我们要证明h不是光滑的。
所以季兄说的”放上任何一个微分结构应该都成为一个李群“是不对的。最后的结论是，Hilbert第五问题给我们的仅有的启示是，R^4上如果有与标准光滑结构拓扑同胚但不微分同胚的光滑结构时，这个怪异的光滑结构在R^4的标准群运算下不是拓扑群。
| 发表时间：2006-04-06, 18:50:43 |
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星空与道德
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
最后的结论是，Hilbert第五问题给我们的仅有的启示是，R^4上如果有与标准光滑结构拓扑同胚但不微分同胚的光滑结构时，这个怪异的光滑结构在R^4的标准群运算下不是拓扑群。
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这个结论是错的。即便怪异的光滑结构在R^4的标准群运算下是拓扑群。也不能说明这个怪异的光滑结构作为拓扑结构和标准结构相容。不相容性才是关键推论。但这个结论很弱。
| 发表时间：2006-04-06, 19:03:14 |
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季候风
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Re: 4维流形的拓扑学（yc）
是我迷糊了......有必要搞清楚 R^4 的非标准光滑结构是些啥。加法在这些光滑结构下应该不是光滑运算。
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-06, 19:41:15 |
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