星空与道德
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27条直线
复射影空间P3中的一个一般三次曲面X上有27条直线。
1. Grassmanian G(2,4)。
首先，我们从简单的开始，什么是P3中的所有直线的空间？P3是射影空间，它是4维向量空间C4的射影化，也就是说P3的点与C4中过原点的直线一一对应。大多数P3中的射影几何问题可以在C4上有对应的表述。P3中的直线的空间也就是C4中过原点的平面的空间，这就是Grassmanian G(2,4)。实际上G(2,4)是一个射影代数簇（Projective Variety），他的维数是4（想想为什么）。这是一个简单的模空间的例子，G(2,4)的每一个点对应于C4的一个过原点的平面，所以它是C4的所有2维子空间的分类空间。这里重要的是这个模空间有一个自然的几何结构，它不仅仅是一个集合。
2. 解法基本思想。
因为三次曲面X是P3中的一个曲面，X上的直线自然也是P3中的直线。前面说过P3中的所有直线的集合是G(2,4)，所以X上的直线的集合是G(2,4)的一个子集，不妨将这个子集合记做Z。现在我们要数数这个子集合中有几个元素，答案也就是X上的直线条数。
下面介绍解决这个问题的关键，很大一类计数问题都采用这种方法。我们可以在G(2,4)上构造一个向量丛E，然后有一个自然的方法找到这个向量丛的一个截影（section），叫做s，s的零点集合就是前面说的子集合Z。如果向量从E的秩（rank）正好等于G(2,4)的维数，则E的最高陈类（Top Chern class）就是一个整数（陈数），他正好是E的一个一般的截影的零点个数。回到我们的问题，E的秩正好就是4，所以子集合Z的基数就是陈数(Chern number)c_4(E).
3. E的构造。
要谈E的构造，需要先回顾一下线性代数。一个向量空间V的对偶空间记做V*，它是V的线性函数的空间。什么是V上二次齐次函数的空间呢？他是对称积S^2(V*),也就是V*和他自己的张量积的对称化，
V* \otimes V*/{xy-yx 生成的理想}
\otimes 是张量积，O里面一个X。
所以V上n次齐次多项式的空间是S^n(V*).
回到我们的问题，我们有一个空间G(2,4)。在G(2,4)上有一个平凡向量从P，P的秩为4，P在G(2,4)的每个点上的纤维空间都是原来的向量空间C4。大家回忆一下G(2,4)的点实际上对应于C4的2维子空间，这样我们可以在P上找到一个子向量从U，U在G(2,4)的点上的纤维空间就是这个点对应的C4的2维子空间。所以U的秩为2。我们将E定义为S^3(U*).在下面我们会看出来为什么选这个向量从E。
4. E上的一个标准（canonical）截影s。
给定一个C4上的3次齐次多项式，它在C4的任何一个2维子空间W上的限制是W上的一个3次齐次多项式。也就是空间S^3(W*)的一个向量。现在将这个构造整体化。三次曲面X是C4上的一个3次齐次多项式f的零点。P3中的一条直线属于X单且仅单f在这条直线上的限制为零。因为C4的每一个2维子空间都是向量从U在G(2,4)上某点的纤维空间。考虑f在C4的所有2维子空间的限制，我们可以得到向量从S^3(U*)的一个截影s。这个截影的零点就是X上直线的集合。这样我们同时解释了如何选择这个向量从E和他的截影。
5. c_4(E)=27.
这一部分涉及到一些Schubert Calculus技术细节，这里就不讲了。
堕落吧，朋友！
| 发表时间：2006-04-03, 01:35:26 |
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萍踪浪迹
发表文章数: 1983
武功等级: 深不可测
内力值: 645/645
Re: 27条直线
呵呵，好文章
Mumford所说的宝石级别的定理。
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-04-03, 21:03:51 |
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