流形
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关于流形的微分同胚群的小问题
1 流形的微分同胚群自然的成为李群么？可以是有限维的吗？
2 任意连通流形都是齐性的？即对任意两点都存在微分同胚使得两点交换。
3 是否有这样的流形，其上任意两点的局部微分同胚都可扩张为流形的自微分同胚，这种流形的充要条件为何？
4 有限维李群的完全不变量是否已经找到？
5 偶数维李群可复化的充要条件为何？其完全不变量为何？
| 发表时间：2006-04-08, 22:29:14 |
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季候风
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Re: 关于流形的微分同胚群的小问题
这些问题每一个都是大问题而不是小问题，呵呵。
我只能作一些非常业余的回答。
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1 流形的微分同胚群自然的成为李群么？可以是有限维的吗？
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首先你需要定义什么叫无穷维李群。抛开具体定义（群上的拓扑和光滑结构），
我们仍然可以谈论这个群的 “李代数” ，在紧流形的情况就是所有
光滑向量场组成的李代数。非常明显，这个李代数是无穷维的。
看看最简单的流形，圆周，定向微分同胚群的 “李代数” 是
Witt 代数，这个代数的中心扩张就是 Virasoro 代数。
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2 任意连通流形都是齐性的？即对任意两点都存在微分同胚使得两点交换。
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这个问题我没有任何概念
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3 是否有这样的流形，其上任意两点的局部微分同胚都可扩张为流形的自微分同胚，这种流形的充要条件为何？
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没概念
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4 有限维李群的完全不变量是否已经找到？
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我只知道半单李群的分类结果，非半单的想起来都挺难。
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5 偶数维李群可复化的充要条件为何？其完全不变量为何？
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“复化” 不需要偶数维。把实维数变成复维数。
你是问哪些偶数维李群可以赋予复结构使它成为
一个实李群的复化？
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-04-12, 19:47:23 |
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萍踪浪迹
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Re: 关于流形的微分同胚群的小问题
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2 任意连通流形都是齐性的？即对任意两点都存在微分同胚使得两点交换。
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这个问题我没有任何概念
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连通流形不等于齐性流形，齐性流形包含对称流形。
这个问题的答案是否定的~
漫漫长夜不知晓 日落云寒苦终宵
痴心未悟拈花笑 梦魂飞度同心桥
| 发表时间：2006-04-13, 10:13:12 |
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流形
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Re: 关于流形的微分同胚群的小问题
首先谢谢两位的回帖
这些问题是不是大问题我不知道，他们的难度我也不知道．他们都是我学习当中自己提出来得问题，我查了身边所有的书，都没有这些问题的线琐．这些问题对应用来说不重要，我觉得他们都是很基本的问题，虽然大部分的基础问题都没有多么重要的东西，但我只想知道他们的答案．另一方面我也想通过他们获得进一步学习的线索．
我知道论坛很多人都学过很多东西，我希望得到大家的帮助．
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1 流形的微分同胚群自然的成为李群么？可以是有限维的吗？
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无穷维李群就是局部微分同胚与希尔伯特空间的可微拓扑群。
这个问题我想知道流形的微分同胚群有多大。流形的连通性质非常好，所以它们不是流形论中的重要的东西。有这样的齐性定理：对连通流形的任意两点p,q，存在微分同胚把p映为q。所以流形的微分同胚群应该是很大的。
Witt 代数 ，Virasoro 代数是怎么定义的？
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2 任意连通流形都是齐性的？即对任意两点都存在微分同胚使得两点交换。
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齐性定理：对连通流形的任意两点p,q，存在微分同胚把p映为q 能否加强为
对连通流形的任意两点p,q，存在微分同胚把p映为q 和把q映为p？（即可传递性）
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3 是否有这样的流形，其上任意两点的局部微分同胚都可扩张为流形的自微分同胚，这种流形的充要条件为何？
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类似于问相同维数同定向性的连通流形的完全不变量是什么
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5 偶数维李群可复化的充要条件为何？其完全不变量为何？
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问题是
哪些偶数维李群可以赋予复结构使它成为
一个实李群的复化？
智能并非成功的唯一要素
| 发表时间：2006-04-13, 20:11:33 |
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季候风
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Re: 关于流形的微分同胚群的小问题
齐性定理：对连通流形的任意两点p,q，存在微分同胚把p映为q 能否加强为
对连通流形的任意两点p,q，存在微分同胚把p映为q 和把q映为p？（即可传递性）
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有趣...不知道.
Witt 代数 ，Virasoro 代数是怎么定义的？
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google!
哪些偶数维李群可以赋予复结构使它成为
一个实李群的复化？
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不知道
书山有路勤为径
学海无涯苦作舟
| 发表时间：2006-05-10, 16:55:25 |
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gage
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Re: 关于流形的微分同胚群的小问题
1 流形的微分同胚群自然的成为李群么？可以是有限维的吗？
是无限维Lie群，不可能是有限维的。其Lie代数为无限光滑向量场全体，所以是一个Frechet类型的无限维空间，而不是Banach空间。从技术上说，这非常本质，比如隐函数定理在Frechet空间不成立。指数映射就是向量场生成的单参数微分同胚群。需要指出的是，对微分同胚群及其Lie代数，指数映射在局部上既不是单射也不是满射，这完全不同于
有限维Lie群。圆周的Lie代数中的有限形式构成的子代数的中心扩张是Virasoro代数。而即使Virasoro代数这个几乎可以算是最简单的无限维Lie代数也比有限维Lie代数难于处理。
2 任意连通流形都是齐性的？即对任意两点都存在微分同胚使得两点交换。
显然成立。取一条不自相的交光滑曲线连接给定的两个点，取其上每一点的切向量，然后扩张为流形上的光滑向量场。由此生成一个单参数子群，显然有一个微分同胚将一个点映射为另一个点。你提的问题可以类似解决。原因是微分同胚群太大。其实这个群在流形上的作用有更大的齐性。
3 是否有这样的流形，其上任意两点的局部微分同胚都可扩张为流形的自微分同胚，这种流形的充要条件为何？
参考2.答案仍然是肯定的，只要流形连通即可。
4 有限维李群的完全不变量是否已经找到？
你的不变量是什么意思呢？就是像Dynkin图那样的东西吗？
5 偶数维李群可复化的充要条件为何？其完全不变量为何？
Lie群的复化如下，对其Lie代数复化，然后考虑复化后的Lie代数对应的Lie群。确切的说，先将Lie群嵌入到某个一般线性群中，然后复化。这样做是为了在复化后得到一个复解析Lie群。例如，SU(n)的复化就是SL(n,C).反过来说，你问的相当于：什么Lie群是复解析。一个trick,先考虑无穷小形式，即什么样的Lie代数是复的Lie代数。然而这是一个平凡的问题。由Lie代数到Lie群，差别只在于一个离散的中心子群，这不影响Lie群是否为复的以及
解析性。
| 发表时间：2006-06-05, 08:37:45 |
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