rainbow
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关于极限的一个问题
对正实数a,定义数列{b(n)}如右:b(1)=a,b(n+1)=a^(b(n)),n是任意自然数,那么当a满足什么条件时,{b(n)}有极限?
| 发表时间：2006-04-09, 07:34:25 |
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student
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Re: 关于极限的一个问题
发信人: yapollo (绿太阳*淡出~~不再放任*), 信区: IQDoor
标 题: Re: [fw]灵机一动——数学史上的一桩错案
发信站: BBS 水木清华站 (Sun Mar 10 20:39:30 2002)
题 目 出 来 以 后 ， 许 多 读 者 说 太 难 。 这 题 确 实 不 太 容 易 。
我 把 它 出 在 我 们 的 专 栏 里 的 原 因 是 它 的 答 案 太 漂 亮 了 。
这 个 函 数 序 列 的 收 敛 区 间 是 ［ （ １ ／ ｅ ） ＾ ｅ ， ｅ
＾ （ １ ／ ｅ ） ］
这 种 对 称 性 不 是 太 美 妙 了 吗 ！
答 案 给 出 来 ， 证 明 步 骤 就 不 重 要 了 。 没 有 兴 趣 的 读
者 可 以 跳 过 。
证 明 所 用 到 的 主 要 定 理 是 单 调 有 界 序 列 收 敛 。 我 们
大 致 列 出 一 些 主 要 思 路 。 具 体 的 细 节 读 者 可 以 自 己 加 入
。
对 于 ｘ ＞ １ ， 序 列 的 单 调 性 是 显 然 的 。 其 有 上 界 可
以 用 它 与 ｘ ＝ ｅ ＾ （ １ ／ ｅ ） 比 较 。 也 可 以 通 过 ｌ ｎ （
ｙ ） ／ ｙ 有 上 界 来 证 明 。
０ ＜ ｘ ＜ １ 时 情 况 要 复 杂 一 点 。 因 为 此 序 列 不 是 单
调 的 。 但 仔 细 跟 踪 一 下 就 会 发 现 此 序 列 的 所 有 偶 数 项 为
单 调 的 ， 所 有 奇 数 项 也 为 单 调 的 。 而 且 其 有 界 性 也 是 显
然 的 。 剩 下 的 情 况 就 是 要 求 出 什 么 时 候 奇 数 序 列 与 偶 数
序 收 敛 到 同 一 点 。
详 细 的 证 明 大 家 可 以 参 考 一 个 读 者 给 出 的 答 案 。
还 有 一 位 读 者 给 出 用 罗 毕 塔 法 则 的 证 明 ， 虽 然 不 是
很 严 格 ， 但 还 算 比 较 有 新 意 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 去 看 一
看 。
| 发表时间：2006-04-09, 09:41:17 |
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冠臻
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Re: 关于极限的一个问题
这 个 函 数 序 列 的 收 敛 区 间 是 ［ （ １ ／ ｅ ） ＾ ｅ ， ｅ
＾ （ １ ／ ｅ ） ］
======================================
这答案给的。。。
不对吧
比如 a=2,显然不对哦
| 发表时间：2006-04-09, 13:46:15 |
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冠臻
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Re: 关于极限的一个问题
很简单的题目啊，a 只能等于 1
奇怪，二楼的还搞得那么玄乎。。。
| 发表时间：2006-04-09, 13:50:25 |
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kanex
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Re: 关于极限的一个问题
我来出道题，如果可以用解析延拓，那么
a + a^a + a^(a^a) + a^(a^(a^a)) + ... = ?
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-04-09, 22:46:09 |
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kanex
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Re: 关于极限的一个问题
不过这个summation在哪都没定义，也不知道有没有办法了。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-04-09, 23:10:37 |
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冠臻
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Re: 关于极限的一个问题
我想错掉了
二楼的正确
特来道歉
| 发表时间：2006-04-10, 00:30:01 |
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青青鸟
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Re: 关于极限的一个问题
这个题目在好多年前研讨形式主义时琢磨过，当时以为存在新的数学常数，花了不少工夫折腾，后来就找到这个区间。因看到是e的表达，以为早被人研究烂了就仍了。现在才知道问题并不简单。
青青子矜 悠悠我心
| 发表时间：2006-04-14, 23:45:19 |
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rainbow
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Re: 关于极限的一个问题
对此问题应有更深入的探讨,例如,前述数列若有极限,它一定是a^x=x的根,数列的极限如何与函数不动点相联系,这是我所思考的问题.
| 发表时间：2006-04-15, 07:25:29 |
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kanex
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Re: 关于极限的一个问题
这种问题不简单。例如b(1)=pi/10, b(n+1)=4*(b(n))(1-b(n))。
……是的，报纸说得对：整个爱尔兰都在下雪。……再往西，又轻轻落在香农河黑沉沉的、奔腾澎湃的浪潮中。它也落在山坡上那片安葬着迈克尔·富里的孤独的教堂墓地的每一块土地上。它纷纷飘落。……他的灵魂缓缓地昏睡了，当他听着雪花微微地穿过宇宙在飘落，微微地，如同他们最终的结局那样，飘落到所有的生者和死者身上。
| 发表时间：2006-04-15, 13:43:29 |
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gulong
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Re: 关于极限的一个问题
这道题好像是50年最佳征解问题之一
| 发表时间：2006-04-24, 05:36:29 |
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rainbow
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Re: 关于极限的一个问题
问题实际并不简单,例如本人可以提出如下问题:
(1)a>1时数列的极限对应于a^x=log(a)(x)的那一个根?
(2)a<1时a^x=log(a)(x)有一个或三个根,那么数列的收敛子列的极限是否是这几个根中的某一个?
| 发表时间：2006-04-28, 02:27:20 |
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那一剑的寂寞
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Re: 关于极限的一个问题
你这个题目是不是普特兰数学竞赛题目，貌似看到过。
| 发表时间：2006-05-03, 07:24:36 |
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rainbow
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Re: 关于极限的一个问题
I'm sorry to say I do not know either,and what makes me feel much more terrible is that I have much more question than I expect--I'm always like that!
| 发表时间：2006-05-06, 08:44:11 |
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megatron
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Re: 关于极限的一个问题
为什么我觉得是(0,1]呢？
只考虑a>0的情形
1) a在(0,1)上时：
0 < a = a^1 < a^a < a^0 = 1 , 故a^a也在(0,1)上；
而对任意0<x<1, 0 < x = x^1 < x^a < x^0 = 1 ；
依次类推，可知数列全部落在(0,1)上，且单调递增，故必有极限。
2) a=1时：
显然极限就是1。
3) a>1时：
对任意y>0, (1+y)^a > 1+ay > 0 (证明见注) ;
a^a > 1+ a*(a-1) > 1 ;
依次类推, 可知数列的每一项不小于 1+ (a-1)*[a^(n-1)] 的相应项（皆大于1）, 故数列趋向正无穷大。
注: 函数 f(y)= (1+y)^a -1-ay 的性质有(a>1):
1) f(0)=0
2) 对任意y>0有, f`(y)= a*(1+y)^(a-1) -a = a*[(1+y)^(a-1) - (1+y)^0] >0
从而对任意y>0有 f(y)>0 成立。
好象没什么毛病，为什么和答案不一样呢？请高手不吝赐教。
| 发表时间：2006-05-07, 09:11:37 |
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