快刀浪子
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特殊抽奖的概率问题(2)
这个帖子还是讨论抽奖问题。在那个问题中，大家基本上达成了共识，应该改选，因为改选后得到车的概率为2/3。
现在将原来的题目改一下。还是有三扇门，一扇门后是车，另两扇是羊。在抽奖人选定了一扇后（假设是a），再让抽奖人（不是主持人）在另一扇门后任选一扇门打开。假如他把b打开了，刚好b门后是羊。现在有一次改变选择的机会，现在问要不要改选。（这题目其实就是我在上个帖子中说的主持人不知情的那种情况，不过那里的分析比较简略，这个帖子详细地阐述一下。）
这里和原来不同的地方在于，开门的是抽奖人而不是主持人。那么这对结果有什么样的影响呢？乍一看，好像没有影响。因为抽奖人和主持人的不同在于，抽奖人开的门可能有车而主持人开的肯定没有车。而现在既然抽奖人打开门后发现也没有车，那么就和主持人开门的结果没有什么不同了。不过具体的分析却表明并不是这样。
在抽奖人选了a而没有开门时，可能发生的基本事件有6个：
1、车在a而打开b（可能性为1/6)
2、车在a而打开c（可能性为1/6)
3、车在b而打开b（可能性为1/6)
4、车在b而打开c（可能性为1/6)
5、车在c而打开b（可能性为1/6)
6、车在c而打开c（可能性为1/6)
现在抽奖人把b打开了，并且b碰巧没有车，那么就把事件2、3、4、6都排除了。即实际中发生的事件可能是只能是1或者2，而这两个事件又是等概率的，即各为1/2。因此无需改选。
（这里计算概率的方法可通过下面例子来理解。在投骰子的时候，1到6这6个数字每一个向上的概率各为1/6。在投掷了之后，知道不是1向上，那么其余的5个数字向上的概率各为1/5。即除了被排除的事件概率为0外，其他的事件的概率的比例没变。本来是等概率的现在还是等概率。）
而如果是由主持人开门，那么在抽奖人选了a后，可能发生的基本事件是这样的：
1、车在a而打开b（可能性为1/6)
2、车在a而打开c（可能性为1/6)
3、车在b而打开c（可能性为1/3)
4、车在c而打开b（可能性为1/3)
现在主持人把b打开了，这时发生的基本事件只可能是1或者4，即事件1和4的概率之和为1。而1与4的概率比值为1比2，所以1的概率为1/3，4的概率为2/3，这时应该改选。
这类题目还可以从另一个角度理解。
事件的概率是相对于观察者来说的，它的大小与观察者所获得的信息有关。比如对抽奖人来说，在开门前c的概率是1/3，在主持人打开b后，c的概率是2/3。之所以概率发生了变化，就是因为抽奖人获得了新的信息。在抽奖人开门的题目中，一开始车在a的概率为1/3，而抽奖人在开门前并不知道车在哪里，所以开门后a的概率有可能变为0。现在打开b发现没有车，说明a通过了一次考验。也就是说抽奖人获得了关于a的新信息，所以它的概率发生了变化，至于具体的变化如何则要通过更详细的分析才知道。而在主持人开门的情况下，抽奖人却无法获得关于a的新信息，因为他开的门肯定是没车的，不构成对a的考验，所以a的概率没变。
最后再说几句关于概率的理解。“事件的概率与观察者所获得的信息有关”这句话可能会造成误解。因为不同的人获得的信息不一样，那么在他们看来相同的事件就有不同的概率。因此可能有人认为概率是主观的，带有一定的随意性。其实事实并不是这样，概率是完全客观的，想一想条件概率这个概念就明白了。条件概率表明事件的概率是相对于一定的前提而言的，不同的前提下事件的概率是不一样的。不同的人知道的情况不一样，这时对于他们来说某一事件发生的前提就是他所知道的情况。因为他们在不同的前提下计算事件的概率，所以得到的结果就不一样了。如果大家都以同样的前提来计算，那么得到的概率也是一样的。
举一个例子。还是上面所说的那个掷骰子的例子，一开始我们认为各个数字向上的可能性均为1/6，在知道不是1向上后，2到6这5个数字的可能性变为1/5。这里2向上的可能性从1/6变成了1/5。之所以发生这样的变化，是因为它发生的前提已经变了，一开始可能发生的基本事件有6个，而后来却变成了5个，即可能发生的基本事件已经变了。
冷风如刀，以大地为砧板，视众生为鱼肉。
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| 发表时间：2006-04-14, 20:40:40 |
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快刀浪子
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
上面有个地方写错了，修改一下。
::现在抽奖人把b打开了，并且b碰巧没有车，那么就把事件2、3、4、6都排除了。即实际中发生的事件可能是只能是1或者2
实际发生的事件只能是1或者5，而不是1或者2
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| 发表时间：2006-04-14, 21:19:55 |
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流形
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
对于要不要改选的问题，谁开门都不重要
因为改选就意味着有车的门没有打开
最终的结果应该和以前的问题一样虽然基本事件可能不同
快刀的问题结果应该不变
对于概率问题的解决有一个模式：
1 明确问题：试验是什么？基本事件是什么（可能是简单事件也可能是联合事件（简单事件空间乘积空间的元素））？所要求概率的事件是什么？
2 确定概率：首先要知道一些基本的概率（不一定是基本事件的概率,基本事件的概率就是通过试验的结构和基本的概率来确定)，这些基本的概率的决定有：先验概率（古典的组合概率） 经验概率（通过试验来获得或通过样本分析）．然后决定基本事件的概率．
３ 计算
快刀的问题的基本事件为：
设a 为车，b,c为羊
1 选a开b改选
2 选a开b不改选
3 选a开c改选
4 选a开c不改选
5选b开c改选
6选b开c不改选
7选c开b改选
8选c开b不改选
9选b开a
10选c开a
虽然多了9，10 两个事件，但是是否改选却与它们无关
所以问题的本质没有改变
智能并非成功的唯一要素
| 发表时间：2006-04-14, 21:43:13 |
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快刀浪子
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
to流形：
你列出的基本事件：
设a 为车，b,c为羊
1 选a开b改选
2 选a开b不改选
3 选a开c改选
4 选a开c不改选
5选b开c改选
6选b开c不改选
7选c开b改选
8选c开b不改选
－－－－－－－－－－－－－－－－
改选的事件有1、3、5、7，这里5和7是得到车的。即改选的成功率为1/2
不改选的事件有2、4、6、8，这里2和4是得到车的。即不改选的成功率为1/2
所以改选和不改选都一样。而在主持人开门的时候是应该改选的。
所以抽奖人开门与主持人开门的效果是不一样的。
建议：要仔细思考！
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| 发表时间：2006-04-14, 22:06:35 |
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流形
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
基本事件的概率是不一样的
这是你曾经说过的
智能并非成功的唯一要素
| 发表时间：2006-04-14, 22:08:50 |
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快刀浪子
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
主持人开门时基本概率不一样，而抽奖人开门时它们的概率一样。
因为主持人事先知道结果在哪里，在抽奖人第一次选择不正确时，他总是选择开没车的门。导致这一事件的概率增大。而抽奖人自己开门时却不会出现这种情况。
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| 发表时间：2006-04-14, 22:14:16 |
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流形
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
你的意思是：
1 选a开b改选 概率为1/3*1/2*1/2
2 选a开b不改选 概率为1/3*1/2*1/2
3 选a开c改选 概率为1/3*1/2*1/2
4 选a开c不改选 概率为1/3*1/2*1/2
5选b开c改选 概率为1/3*1/2*1/2
6选b开c不改选 概率为1/3*1/2*1/2
7选c开b改选 概率为1/3*1/2*1/2
8选c开b不改选 概率为1/3*1/2*1/2
9选b开a 概率为1/3*1/2
10选c开a 概率为1/3*1*2
我明白了，那这样的话，问题就应该是：在有车的门没有被打开的情况下，改选和不改选哪个更有利？或者说
对两种规则的选择：
规则1抽奖人自己开门，若开门之后不是车可改选
规则2抽奖人自己开门，若开门之后不是车不可改选，等价于抽奖人可以开两个门
智能并非成功的唯一要素
| 发表时间：2006-04-14, 22:36:53 |
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青青鸟
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
其实，最早贴中流形写对的规则1排列在我误导之下反而改错了，罪过啊。
呵呵，我也是被快刀考验一说迷惑了（我一直理解与考验相对应的是无记忆概率），主持人知道背景实际上是排除了一些不可能事件（或说是确定了一些必然事件），所以流形在原规则1排列中的两个重复是对的，反映出必然关系。
感谢快刀的耐心讲解。
青青子矜 悠悠我心
| 发表时间：2006-04-14, 23:21:49 |
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流形
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
快刀的问题和和星空的问题有本质的不同
快刀的问题：等驾于开两扇门
规则1：改选
1 选a开b 概率为1/3*1/2
2 选a开c 概率为1/3*1/2
3 选b开c 概率为1/3*1/2 得到车
4 选c开b 概率为1/3*1/2 得到车
5 选b开a 概率为1/3*1/2得到车
6 选c开a 概率为1/3*1/2得到车
得到车的概率为2/3
规则2：不改选
1 选a开b 概率为1/3*1/2 得到车
2 选a开c 概率为1/3*1/2 得到车
3 选b开c 概率为1/3*1/2
4 选c开b 概率为1/3*1/2
5 选b开a 概率为1/3*1/2 得到车
6 选c开a 概率为1/3*1/2 得到车
得到车的概率为2/3
所以两种规则的结果一样
一切不违背逻辑的东西都是数学研究的对象
物理是研究宇宙结构的学问
| 发表时间：2006-04-16, 20:30:01 |
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快刀浪子
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
::得到车的概率为2/3
::所以两种规则的结果一样
改选与不改选得到车的概率都为2/3，这可能吗？
不详细说了，你自己仔细思考一下错在哪里吧!
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| 发表时间：2006-04-16, 20:53:57 |
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星空浩淼
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
而如果是由主持人开门，那么在抽奖人选了a后，可能发生的基本事件是这样的：
1、车在a而打开b（可能性为1/6)
2、车在a而打开c（可能性为1/6)
3、车在b而打开c（可能性为1/3)
4、车在c而打开b（可能性为1/3)
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
对于各个等概率事件进行编号，很容易犯理解错误，上述表述不如这样表达：
1、车在a而打开b（可能性为1/3*1/2=1/6)
2、车在a而打开c（可能性为1/3*1/2=1/6)
3、车不在a而打开c（可能性为2/3*1/2=1/3）
4、车不在a而打开b（可能性为2/3*1/2=1/3）
这样更好理解。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
| 发表时间：2006-04-17, 05:20:11 |
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星空浩淼
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
“现在将原来的题目改一下。还是有三扇门，一扇门后是车，另两扇是羊。在抽奖人选定了一扇后（假设是a），再让抽奖人（不是主持人）在另一扇门后任选一扇门打开。假如他把b打开了，刚好b门后是羊。现在有一次改变选择的机会，现在问要不要改选。（这题目其实就是我在上个帖子中说的主持人不知情的那种情况，不过那里的分析比较简略，这个帖子详细地阐述一下。）
这里和原来不同的地方在于，开门的是抽奖人而不是主持人。那么这对结果有什么样的影响呢？乍一看，好像没有影响。因为抽奖人和主持人的不同在于，抽奖人开的门可能有车而主持人开的肯定没有车。而现在既然抽奖人打开门后发现也没有车，那么就和主持人开门的结果没有什么不同了。不过具体的分析却表明并不是这样。”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
一旦已经知道b门后是羊，开门的是抽奖人也好，是主持人也好，结果都一样，这是“条件概率”的数学规律所决定的。详细的看我下面的讲解。
“在抽奖人选了a而没有开门时，可能发生的基本事件有6个：
1、车在a而打开b（可能性为1/6)
2、车在a而打开c（可能性为1/6)
3、车在b而打开b（可能性为1/6)
4、车在b而打开c（可能性为1/6)
5、车在c而打开b（可能性为1/6)
6、车在c而打开c（可能性为1/6)
现在抽奖人把b打开了，并且b碰巧没有车，那么就把事件2、3、4、6都排除了。即实际中发生的事件可能是只能是1或者2，而这两个事件又是等概率的，即各为1/2。因此无需改选。”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这里出的错误，就在于不应该对等概率事件进行事先编号。即使门事先被编号，但对于随机选择时所发生的事件而言，却没有区分。在抽奖人选了一扇门之后，此时被选的门可以用a来标记，但是对于剩下的两扇门进行随机选择，这两扇门是平等的、没有区分的。你只能说，抽奖人选择a之后，再面对剩下两扇门，选择其一，发现后面没有羊，此时被排除的事情只有上面的3和6！不能执着于事先编的号码是b还是c，因为无论你打开的是它们中的哪一扇，只要后面是羊，你都称之为b，即你在上面给出的b和c之间其实没有分别，它们谁后面是羊并且被打开，谁就扮演b的角色。
我在故我寻，我寻故我痴；我痴故我傻，我傻故我贫；我贫故我苦，我苦故我悲；我悲故我思，我思故我在
| 发表时间：2006-04-17, 05:45:45 |
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快刀浪子
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
星空兄的思路是用一种方法同时处理主持人开门与抽奖人开门两种情况，即分成4个基本事件：
1、车在a而打开b
2、车在a而打开c
3、车不在a而打开b
4、车不在a而打开c
但这里要区分清楚a、b、c的含义是什么。可以有两种理解：1、它们是门的号码，字母与门的对应是预先确定的。2、一开始选择的门是a，打开（并且后面是羊）的门是b（不管是抽奖人还是主持人开的门），剩下的门是c。
星空兄在讨论的时候有点混乱，主持人开门的时候使用的是含义1，而抽奖人开门的时候使用的是含义2（并且在使用含义2的时候也分析得不对）。
改天再写个长帖具体分析。
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| 发表时间：2006-04-17, 09:59:50 |
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流形
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Re: 特殊抽奖的概率问题(2)
谁开门都不重要，重要的是打开门之后如果是车的话，这个车是不是属于抽奖人！！
如果不是的话，试验就是星空的那个问题
如果是的话，试验就是快刀的那个问题
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| 发表时间：2006-04-17, 22:15:33 |
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