semi
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洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
考虑Dirac电子方程(中微子等其它方程也有类似问题)在作洛伦次变换同时作规范变换,此时得到一个总的变换,我们可以将她看作新的洛伦次变换,在此变换下Dirac电子方程及其拉氏密度仍满足相对论协变,但这样一来此时变换呈现的是任意自旋子的特性(自旋可取为任意实数),但除1/2自旋外(对应没作规范变换)都不满足洛伦次群表示,这样只有1/2自旋是物理真实的,即作洛伦次变换同时不作规范变换的总变换才是物理的.这样规范变换是无意义的.
但从另一个角度看,即先作洛伦次变换,且满足洛伦次群表示,再作规范变换,可以看作内部变换,这样规范变换又是有意义的.事实上人们也是如此理解使用的.
所以我有以下疑惑:规范变换到底有没有意义,或满足洛伦次群表示这个条件该如何使用?
我想单独作规范变换时,若使用洛伦次群表示这个条件来要求它,则它是违反洛伦次群表示的.这是本问题的关键点,也许单独作规范变换时,不需要洛伦次群表示这个条件来要求它.但这样理论就不是自恰的,所以我还是搞不清楚?,请各位大虾解答.
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| 发表时间：2006-04-15, 05:25:39 |
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星空浩淼
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
你讲的我看得不太明白。
一般地说，坐标变换时，场量也要发生相应的变化，最后总的变换，要在每个地方都显示出来，凡是可能发生变化的，不能遗漏，再来比较变换前后的拉格朗日密度（或者作用量）的变化。物理规律不因为变换而变，则变换前后的拉格朗日密度应该相等，再根据这个相等，来推导对称性变换所满足的方程。
不知semi兄是否把时空坐标变换时，场量作相应的变换，当成另外加入的规范变换？
如果两种变换同时实施，则是两种变换之积，先按照一个进行变换了，接着来第二个。罗伦次变换与通常意义下的规范变换，是不同空间不同自由度上的变换，对应不同空间中的对称性，对这两种变换可以定义成张量积形式。
波函数的相位发生变化时。其模的平方不变，从而进入观察之中的概率密度和平均值不变，这可以作为对规范变换对称性的最简单理解，但这个理解只是初步的、不完善的。但是相位在叠加干涉中起作用，产生可观察性的物理效应。
“所以我有以下疑惑:规范变换到底有没有意义”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
规范变换的意义，首先通过它揭示一种对称性，进而由Noether定理引入相互作用的规范荷，相互作用的理论框架建立于此（包括定域规范变换对称性，由它引入规范场）。
理论的任务之一，就是揭示出所有可能的对称性，从中找出这些对称性包含的物理内容。
规范场论思想其实很优美，可以追溯到人们试图沿袭爱因斯坦用时空弯曲看待相互作用的观点。semi不妨现多看看这些方面的介绍文章，如Mills写的，在国内的中文杂志《自然杂志》上的文章，我不记得是哪年的，估计是86年，反正可以在图书馆找。
我的代理很慢，现在又很忙，如果有直接针对我的帖子，其他人能帮我回复一下，请帮我回复，谢谢！
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| 发表时间：2006-04-16, 00:56:00 |
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semi
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
为了更清楚表达我的观点,还是引入数学来表述:
1、为了简化，考虑中微子方程，(其它方程也可类似处理)；
2、独立作洛伦次变换：作坐标变换，则中微子态作相应的变换Λ=exp[iwσ/2-εσ/2],w=(w_x，w_y，w_z)，σ=(σ_x，σ_y，σ_z)为泡利矩阵，在此变换下方程相对论协变及其拉氏密度不变，并且态变换满足洛伦次群表示；
3、独立作规范变换：坐标不变，内部分量作变换即中微子态作整体规范变换U=exp[iθ],由于θ的任意性，可以进一步写成U=exp[iw_xθ_x+iw_yθ_y+iw_zθ_z]，θ_x,θ_y,θ_z可取任意实值。在此变换下方程协变及其拉氏密度不变，态变换不满足洛伦次群表示，（不知规范变换是否要求满足洛伦次群表示，这也是我的问题）；
4、在作洛伦次变换同时作规范变换：作坐标变换，则中微子态作相应的总变换UΛ=ΛU=exp[iwσ/2-εσ/2+i(w_xθ_x+w_yθ_y+w_zθ_z)]，,此时变换呈现出任意子的特性(自旋可取为任意实数),不失一般性，取特殊情形,绕X轴旋转情形，则态变换ΛU=exp[iw_xσ_x+iw_xθ_x)。绕X轴旋转一周2π,态变换ΛU=-exp[i2πθ_x],由于θ_x的任意性，态变换旋转角度是任意的，即任意子的特性。由3、4、两点知在此总变换下方程相对论协变及其拉氏密度是不变的.
5、但除1/2自旋外(对应没作规范变换)都不满足洛伦次群表示,这样只有1/2自旋是物理真实的,即作洛伦次变换同时不作规范变换的总变换才是物理的.这样规范变换是无意义的？
6、问题：从是否要求满足洛伦次群表示的要求出发看规范变换似乎是无意义的；但从内部自由度变换（并导致守恒荷）的角度看又是有物理意义的；所以我本人的倾向是规范变换不需要满足洛伦次群表示，但我不确定？
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| 发表时间：2006-04-16, 21:47:01 |
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星空浩淼
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
独立作规范变换：坐标不变，内部分量作变换即中微子态作整体规范变换U=exp[iθ],由于θ的任意性，可以进一步写成U=exp[iw_xθ_x+iw_yθ_y+iw_zθ_z]，θ_x,θ_y,θ_z可取任意实值。在此变换下方程协变及其拉氏密度不变，态变换不满足洛伦次群表示，（不知规范变换是否要求满足洛伦次群表示，这也是我的问题）
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我看不懂“态变换不满足洛伦次群表示”这句话。
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| 发表时间：2006-04-17, 03:47:21 |
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semi
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
1、先让我们明确洛伦次群表示的含义:令坐标变换（即坐标旋转与推动变换)为R,若R_1R_2=R_3,物理的要求态变换必须满足Λ[R_1]Λ[R_2]=Λ[R_3]=Λ[R_1R_2],即是物理要求的态是洛伦次群的表示.当然一般考虑应为无穷小变换,因为旋量只有无穷小变换意义下才满足洛伦次群表示。可以参见温伯格的《引力论与宇宙论》中洛伦次群表示的一节。
2、考虑规范变换,态变换不满足洛伦次群表示:因为规范变换时，坐标不变为零变换或恒等变换I，两次坐标变换不变的变换仍为坐标不变即I_1I_2=I,（I_1,I_2也都是恒等变换，只是为了便于区分），若要态变换满足洛伦次群表示必有Λ[I_1]Λ[I_2]=Λ[I]，但由于规范变换U(θ)=exp[iθ]中θ的任意性，前式一般是不成立的，即规范变换时,态变换不满足洛伦次群表示。
3、以上的方法可能感觉不是很自然，以下方法可能更为自然，更为全面，也更容易理解些：将规范变换与普通洛伦次变换同时施行，然后再验证是否满足洛伦次群表示，也可以得到同样类似的结论。当然本质就在于2中所述。
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| 发表时间：2006-04-18, 21:38:36 |
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sage
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
2、考虑规范变换,态变换不满足洛伦次群表示:因为规范变换时，坐标不变为零变换或恒等变换I，两次坐标变换不变的变换仍为坐标不变即I_1I_2=I, （I_1,I_2也都是恒等变换，只是为了便于区分），若要态变换满足洛伦次群表示必有Λ[I_1]Λ[I_2]=Λ[I]，但由于规范变换U(θ)= exp[iθ]中θ的任意性，前式一般是不成立的，即规范变换时,态变换不满足洛伦次群表示。
I do not understand this statement at all. gauge transformation has nothing to do with coordinate transformation. they trivially commute.
| 发表时间：2006-04-18, 22:20:17 |
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semi
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
to sage兄：
<<gauge transformation has nothing to do with coordinate transformation. >>
1、从物理角度看，规范变换是内部变换，确实独立于坐标变换；但从数学角度看，原则上可以认为它们有以上联系(规范变换的态变换不满足洛伦次群表示)。
2、若考虑洛伦次变换与规范变换同时施行的情形，则更易看出两者关系：作坐标变换，则中微子态作相应的总变换=exp[iw·σ/2-ε·σ/2+i(w_xθ_x+w_yθ_y+w_zθ_z)]，在此总变换下方程仍是相对论协变的，其拉氏密度也是不变的；总变换简写为exp[iw·A+ε·B],定义a=(A+B)/2,b=(A-B)/2;按洛伦次群表示要求必须满足：a×a=ia,b×b=ib;可以根据以上条件推得θ_x=θ_y=θ_z=0，即排除了规范变换，此时才满足洛伦次群表示。所以从这意义上讲规范变换与坐标变换是有一定联系的，不过此时规范变换被洛伦次群表示这个物理条件排除了。
3、也许在洛伦次协变性情形下，规范变换是被排除了；在独立做内部变换时，规范变换是允许存在的；但这样一来规范变换似乎有两种不同意义在其中，感觉不自洽。
4、从以上可知相对论协变性包含两层含义：一，在坐标变换下(态也作相应变换)，拉氏密度保持不变；二，态变换必须满足洛伦次群表示，只有这样才是物理的。
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| 发表时间：2006-04-20, 03:35:06 |
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sage
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
1、从物理角度看，规范变换是内部变换，确实独立于坐标变换；但从数学角度看，原则上可以认为它们有以上联系(规范变换的态变换不满足洛伦次群表示)。
mathematical or physics, the fact is that they have nothing to do with each other.
2、若考虑洛伦次变换与规范变换同时施行的情形，则更易看出两者关系：作坐标变换，则中微子态
The gauge symmetry as we know in the Standard Model are independent of lorentz.
for example, in the case of neutrino. Lorentz transformation act on the spinor itself, on components of the spinor if you write it as a two component colume vector. On the other hand, there is no SU(2) gauge transformation on neutrino along. left-handed neutrino alone does not form a irreducible representation of SU(2)_L. A SU(2)_L gauge transformation act on a doublet formed by (nu_L, e_L) where e_L is the left handed electron. such a transformation does not act on spinor indices at all.
there is even a stronger statement. People considered the possibilty of extend Poincare algebra to include some other symmetry before. It has been shown, called Coleman-Mandula theorem, that this is not possible for all gauge symmetry. The only possible extension is supersymmetry.
作相应的总变换=exp[iw·σ/2-ε·σ/2+i (w_xθ_x+w_yθ_y+w_zθ_z)]，在此换下方程仍是相对论协变的，其拉氏密度也是不变的；总变换简写为exp[iw·A+ε·B], 定义a=(A+B)/2,b=(A-B)/2;按洛伦次群表示要求必须满足：a×a=ia,b×b=ib;可以根据以上条件推得θ_x=θ_y=θ_z= 0，即排除了规范变换，此时才满足洛伦次群表示。所以从这意义上讲规范变换与坐标变换是有一定联系的，不过此时规范变换被洛伦次群表示这个物理条件排除了。
| 发表时间：2006-04-20, 10:07:38 |
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星空浩淼
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
我根据自己猜测到的semi 兄所要表达的意思，来尝试回答一下：
1）如果ψ可以承载Lorentz群的一个表示（即ψ可以张成Lorentz群的一个表示空间），那么aψ也属于Lorentz群的一个表示，其中a是一个常数因子。
因此，对于整体规范变换ψ→exp(-iθ)ψ，由于θ是常数，故exp(-iθ)也是常数因子，从而exp(-iθ)ψ仍然属于Lorentz群的同一个表示。
2）对于定域规范变换ψ→exp[-iθ(x)]ψ，其中θ(x)是时空坐标x的函数。但是要注意的是，θ(x)是Lorentz标量函数，在Lorentz变换下，θ(x)保持不变，因此exp[-iθ(x)]ψ仍然属于Lorentz群的同一个表示。
只有当θ(x)是Lorentz标量函数时，才可以定义规范协变微分，因为从中引入的规范势为时空矢量，这个规范势又对应θ(x)的时空导数。
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| 发表时间：2006-04-20, 21:56:38 |
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semi
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
谢谢sage兄与星空兄的讨论。
to sage兄:
<<for example, in the case of neutrino. Lorentz transformation act on the spinor itself, on components of the spinor if you write it as a two component colume vector. On the other hand, there is no SU(2) gauge transformation on neutrino along. left-handed neutrino alone does not form a irreducible representation of SU(2)_L. A SU(2)_L gauge transformation act on a doublet formed by (nu_L, e_L) where e_L is the left handed electron. such a transformation does not act on spinor indices at all. >>
我讨论的仍是U(1)整体规范对称性，不是SU(2)，θ_x，θ_y，θ_z是数值，非矩阵;对于两个中微子方程联立，此时有SU(2)整体规范对称性，按我以上的思路可以排除很多任意子情形，剩下两种自旋情形满足洛伦次群表示：1/2自旋情形，1自旋情形（此时的方程就是电磁场方程的Penrose旋量形式）。
to 星空兄
可能我没说情楚，我的意思不是星空兄所猜的，考虑简单情形：坐标绕X轴旋转角度为w_x，此时中微子态正常洛伦次变换为exp[iw_xσ_x/2],我的意思是中微子态变换再添加一项规范变换=exp[iw_xθ_x],这个规范变换中w_x就是坐标绕X轴旋转角度，这一点梢不同于一般规范变换，所以总变换为ψ—>exp[iw_x(σ_x+θ_x)]ψ,并且此时中微子方程按此总变换仍是协变的。一般情形与此类似。
我讨论的是U(1)整体规范对称性，没有考虑定域规范变换。
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| 发表时间：2006-04-20, 22:56:24 |
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sage
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
我讨论的仍是U(1)整体规范对称性，不是SU(2)，θ_x，θ_y，θ_z是数值，非矩阵;对于两个中微子方程联立，此时有SU(2)整体规范对称性，按我以上的思路可以排除很多任意子情形，剩下两种自旋情形满足洛伦次群表示：1/2自旋情形，1自旋情形（此时的方程就是电磁场方程的Penrose 旋量形式）。
any U(1) rotation multipy the spinor by a complex phase. Lorentz transformation rotates the components of the spinor. they trivially commute.
I do not understand why you want to put them together,
| 发表时间：2006-04-20, 23:06:07 |
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星空浩淼
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
可能我没说情楚，我的意思不是星空兄所猜的，考虑简单情形：坐标绕X轴旋转角度为w_x，此时中微子态正常洛伦次变换为exp[iw_xσ_x/2],我的意思是中微子态变换再添加一项规范变换=exp[iw_xθ_x],这个规范变换中w_x就是坐标绕X轴旋转角度，这一点梢不同于一般规范变换，所以总变换为ψ—>exp[iw_x(σ_x+θ_x)]ψ,并且此时中微子方程按此总变换仍是协变的。一般情形与此类似。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这里需要注意的是：在Lorentz变换x→y下，有两种方式来描述ψ的变换：
一种是（场量与坐标都变换）
ψ(x)→φ(y)=exp[iw_xσ_x/2]ψ(x) （1）
此时的生成元（称为无穷小生成元）是自旋角动量σ_x/2
另一种是（只分析场量本身的变化，让坐标相同）
ψ(x)→φ(x)=exp[iw_x(σ_x/2+θ_x)]ψ(x) （2）
此时的生成元是总角动量：σ_x/2+θ_x
根据坐标变换x→y，上面（1）和（2）可以相互推导
因此我估计semi兄可能还是犯了我在第一个回帖中指出的混淆：把ψ的Lorentz变换与规范变换混淆了，这里根本就没有涉及到规范变换。
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| 发表时间：2006-04-20, 23:23:24 |
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流形
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
首先声明 我不懂物理学，很难把物理的东西对应到数学上来，你们的讨论我也看的不太懂，只是想参与你们的讨论
也希望大家能够更多的从数学的角度谈论物理这样我更容易理解
我先说说我对semi的问题的理解：
洛伦次变换应该是时空流形的坐标变换或者说参考系的变换，而不是时空流形的同胚变换。
它不会引起物理量的改变，只会导致物理量表示的改变
规范变换应该是指流形上度量张量的变换
或者指被时空流形所参数化的向量丛的纤维的自同构变换或者说是每个时空点上内部空间的
变换。
对于规范变换我（赞同并理解）引用星空的话：
规范变换的意义，首先通过它揭示一种对称性，进而由Noether定理引入相互作用的规范荷，相互作用的理论框架建立于此（包括定域规范变换对称性，由它引入规范场）。
理论的任务之一，就是揭示出所有可能的对称性，从中找出这些对称性包含的物理内容。
我的理解：一种物质场就是以时空流形为底流形向量丛的截面
我的问题是：更详细的规范场论的数学图景是什么？规范场论的物理内容是怎样对应到一些数学概念的？
规范荷是什么？定域规范变换是否是指局部规范变换
拉哥朗日密度为何物？
能否简要的介绍旋量的概念？
因为他们被那样的对待，所以他们也那样的对待你们
| 发表时间：2006-04-21, 05:15:19 |
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duality
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
我的问题是：更详细的规范场论的数学图景是什么？规范场论的物理内容是怎样对应到一些数学概念的？
规范荷是什么？定域规范变换是否是指局部规范变换
拉哥朗日密度为何物？
能否简要的介绍旋量的概念？
The questions you ask are all basical phyiscal concepts in field theory , you can understand them easily after studying.
| 发表时间：2006-04-21, 06:43:14 |
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semi
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
这段时间对洛伦次变换、规范变换、坐标变换的疑惑仍未能尽释?
我又仔细看了几遍星空兄与sage兄的回复内容，星空兄与sage兄的观点是：洛伦次变换与规范变换是独立，无关系，规范变换与坐标变换也是毫无关系。
对于此点，我很早以前也是这样明确认为的。
疑惑产生的根由源于以下尝试：我试探性地想考虑一个方程在坐标变换下所有满足协变性的所有可能的态变换，我发现中微子方程、电子方程在坐标变换下除了经典的态变换可以满足相对论协变性外，还可以在经典的态变换再乘上一个新项，仍可以满足相对论协变性。而此新项可以看作一个特殊的U（1）规范变换项，当时我马上产生一个疑惑，为何教科书中只采用经典的态变换，仔细考虑后发现除经典的态变换外全部不满足洛伦次群表示，所以非经典的态变换都是非物理的。
所以我意识到相对论协变性必须包含两层含义：一，在坐标变换下(态也作相应变换)，拉氏密度保持不变；二，态变换必须满足洛伦次群表示，只有这样才是物理的。
进一步我考虑了将两个中微子方程联立，再如此考虑，发现可以有两个态变换有物理意义：除了经典的态变换，即1/2自旋表示：两个独立中微子，还有一个非经典态变换也满足相对论协变性与洛伦次群表示，即1自旋表示：光子（电磁场方程的旋量形式），此非经典态变换中的新项可以看作一个特殊的SL（2，z）规范变换项。
所以由上我就认为洛伦次变换、规范变换、坐标变换还是有一定联系的。
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| 发表时间：2006-05-05, 04:48:57 |
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
其实我认为你这么说还是不清楚, 如果可能你最好有个Latex文件才好. 这样也许大家都没有错.
Faith, Fashion and Fancy.
| 发表时间：2006-05-05, 04:56:30 |
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sage
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
所以我意识到相对论协变性必须包含两层含义：
一，在坐标变换下(态也作相应变换)，拉氏密度保持不变；
Of course.
二，态变换必须满足洛伦次群表示，只有这样才是物理的。
I am not sure i understand what you mean. by definition, any physical state transform under some representation of Lorentz group.
Please give me an example where U(1) gauge transformation is not Lorentz invariant.
| 发表时间：2006-05-05, 23:42:51 |
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semi
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Re: 洛伦次变换与规范变换同时施行的疑惑?
<< by definition, any physical state transform under some representation of Lorentz group. >>
就是这个意思。
<<Please give me an example where U(1) gauge transformation is not Lorentz invariant. >>
我说的不是这个意思。
也许按HPC兄的意思最好有个Latex文件才能说清楚，只可惜我一直没时间学精Latex。
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| 发表时间：2006-05-06, 04:03:50 |
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