轩轩
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第25章 四元数
(1)
广义相对论是一副绝世名画,当很多人欣赏这个画的时候,有的人看不太懂。以为这个是凡高的画，你横直看不懂的时候，除了赞美之外只能保持缄默不语。而相对论的历史发展却不能停止,当代还活着的广义相对论画家中，彭罗斯却一意孤行，有了很高的见地。从他的旋量手法出发，他几乎一个人做出了扭量（twistor），这是一个曲高和寡的计划。在扭量计划中，一直以来物理学家习惯的时空点不再是最基本的，光线取代了时空点的地位。这确实是疯狂了，凡高因为他的疯狂割掉了自己的耳朵，最后还饮弹自戕。这是一种艺术的疯狂，而彭罗斯浑身充满了科学的理性的色彩，他生活在优美的世界里，有美丽的妻子，安静的日子。
会画画的人多数知道射影几何。当一个画家站在野外写生的时候，画板竖立在面前，画家看到一对平行的铁路线，当在画在纸上的时候，所有跟铁路一起平行的线应该在纸上交于一个点的。
光线是世界上最重要的因素。在前面已经看到，上帝说要有光，于是就有了光。同时，人类是有眼睛的生物，眼睛是最伟大的生物器官之一。上帝对多数人足够仁慈，他不曾考验多数男人，出过二难绝境：如果让你失去眼睛，或者失去男根，二选一，你将做何选择？
人的眼睛是很重要的，这是审美的工具，也是这个世界有意义的大部分理由。一条光线从远处跑来，它一路经过了很多时空点，但在视网膜上仅仅是同一点。
在扭量计划中，通俗地讲，视网膜相当于扭量空间。所以，眼睛是心灵的窗户，这句话背后完全有数学的基础。人类通过讲废话达到相互确认，但心灵上总是感觉空虚，这原因在于，多数废话背后没有数学的基础。
什么是一个扭量呢？？（这个问题的答案很长，读者请漫漫往下读，读到最后就明白了。）
最简单的说，在闵氏时空有一个点R，也称为一个事件（event），当选择好一个参考点作为原点后，需要（t，x，y，z）四个实数来刻画。而这个点的四个实数相对于一个原点,构成了一个四维矢量。这个四矢量背后，有一个美丽的故事。
对于三维矢量，矢量之间可以定义叉乘，矢量A和矢量B的叉乘的几何意义是以矢量A和矢量B为邻边的平行四边形的有向面积，方向与A和B都垂直。这不是一件平庸的事情。也仅仅在三维中，一个矢量和另外一个矢量的叉乘，得到的还是一个三维矢量。
（2）
威廉.哈密顿,历史上最伟大的数学家之一。
1805年8月3日出生于爱尔兰的都柏林，1865年9月2日卒于都柏林附近的敦辛克天文台。哈密顿是一位罕见的语言奇才。14岁时就学会了12种欧洲语言。13岁就开始钻研牛顿和拉普拉斯等人的经典著作。17岁时掌握了微积分，并在光学中有所发现。22岁时大学还未毕业就被聘任为他就读的都柏林三一学院的教授，同时获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号。哈密顿在物理学和数学领域里都有杰出的成就，他是一位勤奋工作而酷爱真理的人。他和妻子在一起散步的桥头，已经有一个纪念碑。
四元数是由哈密顿在 1843年爱尔兰发现的。爱尔兰有一个很多人熟悉的英雄，威廉.华莱士。在电影《勇敢的心》中，有一柄长剑，叮地插在大地之上，长剑在风中微颤，你仿佛听见爱尔兰的英雄在高呼：Freedom！！
在通往数学的自由或者奴役的道路之上，哈密顿的四元数是一个丰碑。从物理学上讲，它就是非相对论性自旋的泡利（pauli）矩阵，有了泡利矩阵，就有了2分量旋量。所以天才总是相互感应，而有了泡利矩阵，才有了扭量，这亦是自然的事情。
当时哈密顿正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）。他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数。根据哈密顿记述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家运河散步,突然灵感扑面而来,他在桥上写下乘法表:
i2＝j2＝k2＝-1，i•j＝k，k•i＝j，j•k＝i；j•i＝-k；i•k＝-j，k•j＝-i。
这是一个普通的桥,它以前的名字叫布鲁穆桥（Brougham Bridge，现称为金雀花桥 Broom Bridge）。
哈密顿创造了把四元数描绘成一个有序的四重实数：一个标量（a）和向量（bi + cj + dk）的组合。
根据上述乘法表，四元数显然是复数的扩充，它将复数作为特殊形式包含在自身之中，它属于超复数。但这种数对乘法的交换律不再成立，哈密顿为此考虑了十几年，最后直觉地想到：必须牺牲交换律，于是第一个非交换律的代数诞生了，在以前的乘法中,乘法是交换的,比如从小学数学开始,没有人告诉你为什么1x2=2x1,但这背后其实埋藏无穷秘密。哈密顿的这个创造，把代数学从传统的实数算术的束缚中解放出来，人们开始认识到数学既可来自现实世界的直接抽象也可以来自人类的思维的自由创造，这种思想引起了代数学领域的一次质的飞跃，现代抽象代数的闸门被打开了。
我们知道，S0（n）群中，只有so（4）不是单李群。也只有在4维之上，霍奇算子能把曲率映为曲率。也只有在4维欧空间之上，唐纳森发现了无穷多微分结构。圈量子引力被人诟病，因为她不能回答为什么时空是4维的，但上帝用数学来回答。
在19世纪到20世纪，哈密顿之后，物理学家洛仑次写了300多页的《电子论》，当时还没有发现电子。这是历史上一个伟大的事情，虽然洛仑次不是最出色的，但人们应该注意到，在洛仑次力公式
f=qE+ｖＸ Ｂ
出现了点乘与叉乘。
这个是一个经典电动力学里的假设,但可以相信,这个假设说明,在四元数中,结合方法必须既有点乘又有叉乘.这个假设是实验证实的,所以洛仑次是伟大的.
电磁理论与四元数的结合是自然的，天然的，同时是微妙的。因为电磁场在4维时空才是天然的。
我们知道一个3矢量与一个3矢量的叉乘，但不知道如何把这种叉乘推到高维。能不能做到呢？？格拉斯曼（Grasmann（1809-1877)生于德国Stettin（今属波兰），曾经在柏林大学攻读神学，哥廷根大学没落之后,柏林大学似乎已经成为德国最出色的大学.格拉斯曼大学毕业后长期在家乡中学任教，业余从事科学研究，成为梵文权威和数学家。1844年他了发表《线性扩张论》。建立了所谓的“扩张的量”（即有n个分量的超复数）的概念和运算法则，其中包括了非交换乘法和n维空间的重要思想，形成了张量理论的初步思想。
格拉斯曼代数又叫外代数，超对称代数就是由庞加莱代数与外代数组成的。
柯里福德（clifford）代数已经是当代数学家讲旋量必须的出发点之一，数学家不讲这个而谈旋量显得有点脱离潮流。n维矢量空间上的外代数和n维矢量空间（含内积）上面的柯里福德代数具有相同维数，全部是2的n次方维。这样的话，作为有限维的矢量空间，它们是同构的。但作为代数，它们不是一样的事情。柯里福德代数比外代数复杂一点，或者说，前者是后者的量子化或者畸变。
总的来说，外代数很重要，因为外微分很重要。柯里福德代数很重要，因为我们有复数，有四元数，我们希望推广到更加高的维数，但一般的代数，到了8元数就终结了，要找新的代数，只能去发现柯里福德代数了。旋量最早起源于嘉当。旋量与群论关系密切，但也可以说与柯里福德代数关系密切。物理学家比如咯兴林的《高等量子力学》把狄拉克矩阵乘起来的16个矩阵叫做狄拉克群，其实这就是一个柯里福德代数。
旋量具体来说就是N维度量空间上的正交群的表示。最简单的莫过于三维欧氏空间的转动群SO(3)的表示了，其最低维的双值表示便是二维的旋量表示，这个是转动群的通用覆盖群的SU(2)单值表示。把这个结果推广到一般维数的空间。其结果是：最低维旋量的表示维数是：2^{n/2-1} 当n是偶数的时候；2^{n/2-1/2} 当n是奇数的时候。当维数为六时，SO(2,4) 的旋量表示便是扭量。这是从抽象的代数语言来说扭量，扭量如何在时空点和光线空间实现对应呢？？
对应的关键在于把4个泡利矩阵写出来，然后把四矢量的第i个分量和第i个泡利矩阵相乘，求和是一个四乘四的矩阵。这个矩阵，记做N。
那么，一个扭量（z1，z2，z3，z4）满足如下对应（incidence）方程。
z1 t+z x+iy Z3
z2 = x-iy t-z Z4
这个对应方程里z1，z2，z3，z4全是复数，所以一个扭量就是四个复数，所以扭量空间就是C4，但考虑到等价类，射影扭量空间是CP3，这与上一章讲的电子自旋和黎曼球面是类似的。对应方程顾名思义是把一个时空点对应成为一个扭量，一个时空点在CP3中被对应为一个CP1。和爱因斯坦方程一样这也是一副名画。但不专业的读者们可以暂时忘却它，不能忘却的是，扭量理论中最重要的是光线，光线最重要。对对应方程求导一次，就可以得到扭量方程。
在广义相对论中，光线是以光速运动的无质量粒子的世界线。而在扭量理论中，我们还可以考虑这个无质量粒子的自旋。对于多数人来说，光线意味着光明。对广义相对论来说，光明意味着光线，也意味着扭量。
《相对论通俗演义》
i will love you till the null infinity.
| 发表时间：2006-04-16, 03:24:29 |
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